函数的应用（一）（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）原卷版

第13讲函数的应用（一）

【人教A版2019】

模块一一次函数、二次函数模型的应用

知识梳理

1.实际问题中函数建模的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

⑵建模:将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

⑶求解:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原:应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果

要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

2.一次函数模型的应用

一次函数模型：flx)=kx+b(k.b为常数,原()).

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

3.二次函数模型的应用

二次函数模型：f(x)=a.\2+bx+c(a.b,c为常数《翔).

二次函数为牛.活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值

问题常用到二次函数模型.

题型归纳

【题型1一次函数模型的应用】

【例1】(24-25高一上•北京•期中)果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千

克2.5元，小王携带现金30()0元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x千克，小王

付款后剩余现金为y元，贝反与y之间的函数关系为()

A.y=3000-100%(100<x<1200)

B.y=3000-lOOx(100<%<1200)

C.y=3000-2.5x(100<x<1200)

D.y=3000-2.5x(100<x<1200)

【变式1.1](24-25高一上•湖北武汉•期中)从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器

加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第攵次后，前k次共倒出

纯酒精”升，倒完第1+1次后，前A+1次共倒出纯酒精/"(%)升，则f(x)的解析式是()

A./(%)=1(%+2)B.f(x)=4-2C.fix')=1x+2D./(x)

【变式1.2](2025高一•全国・专题练习)南通至通州的某条公共汽车线路收支差额)，与乘客量x的函数关

系如图所示(收支差额=车票收入一支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：

建议(I)不改变车票价格，减少支出费用；建议(II)不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四

个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则()

A.①反映了建议（I）,②反映了建议（II）

B.②反映了建议（I）,④反映了建议（1【）

C.①反映了建议（I）,③反映了建议（II）

D.④反映了建议（【），②反映了建议（II）

【变式1.3］（24-25高一•全国♦课后作业）一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数，则它

的解析式为（）

A.y=20-2xB.y=20-2x（0<x<10）

C.y=20-2x（5<%<10）D.y=20-2x（5<x<10）

【题型2二次函数模型的应用】

苣J【例2】（24-25高一上•河南新乡•期木）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量

），（单位：件）与销售价格工（单位：元）之间满足如下关系式：y=-10%+500（20V%工40且%WN）.则

灯具商店每月的最大利润为（）

A.3000元B.4000元C.3800元D.4200元

【变式2.1］（24-25高一・全国•课后作业）某文具店购进一批新型台灯.，若按每盏台灯15元的价格销售，

每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获

得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价式单位：元）的取值范围是（）

A.{x|10<x<16}B.{x|12<x<18}

C.{x|15<x<20}D.{x|10<x<20}

【变式2.2］（24-25高一上.湖南衡阳•阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立

即投入使用，该设备使用后，每名的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为2*2+

5x（xe旷）万元，盈利总额为y万元.

（1）写出），与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，使用该设备开始盈利？

A.10%B.20%C.22%D.32%

【变式3.2]（24-25高一上•青海西宁・期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需

要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理为：发送方由明

文一密文（加密），接收方由密文一明文.现在加密密钥为、二攵/，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接

受方接到密文“三”，则解密后得到的明文是（）

256

A.-B.-C.2D.-

248

【变式3.3]（2025・广西•模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系

通常以显函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重"满足'=左/，其中Z和a为正常数，该

类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态

的8倍，则0为（）

B.；C.；D.-

234

模块三\分段函数模型的应用瓶|

事知识梳理

1.分段函数模型的应用

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有

广泛的应用.

题型归纳

【题型4分段函数模型的应用】

「|【例4】（2025•安徽淮南「模）我国在202（）年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争广

2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和.为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门

的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单

位：万元）与处理量单位：吗）（工£[120,S00]）之间的函数关系可近似表示为y=

（-x3-80%2+5040%,%G[120,144）

H,当处理量不等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）

l-x2-200x+80000,%G[144,500]

A.120B.200C.240D.400

【变式4.1]（24-25高一上•全国•课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行

求解，然后根据结果去解决实际问题.小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆

通行能力可改善整个城巾的交通状况，那么，怎样力可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一

般情况下，大桥上的车流速度xH单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车

流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为

60千米/小时.研究表明，当％日20,200］时，车流速度v是车流密度x的一次函数.问：当车流密度多大时,

车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆〃卜时）可以达到最大？（）

A.60B.100C.200D.600

【变式4.2］（24-25高三上•安徽安庆•阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转

变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为

了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为

'2x2+80%,0<x<40

100台，每生产力台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）=201%+%_210040V%V100，由市场调研

、X9一

知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

（1）写出年利润WQ）万元关于年产量工台的函数解析式（利润=销售收入一成本）；

（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

【变式4.3］（24-25高一上•全国•课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产工件，

x2

需要另外投入成本R万元，其中R=-+4X,0<X<7,X£N^每件产品的售价为8万元，若该公司所生

10x-32,x>7,xeN*

产的产品本年度都可以销售完毕，求：

（1谓利润P（单位：万元）表示为月产量》的函数；

（2）为了让公司所获得利润。不低710万元，求月产量%的取值范围.

【题型5分式型函数模型的应用】

1J［例5］（24-25高一上•山东潍坊•期中）奋进新征程，建功新时代.某单位为提升服务质量，花费3万

元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.15万元，已知使用％年的维修总费用为兽万元，则该设

备年平均费用最少时的年限为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式5.1］（24-25高一上・江苏扬州•阶段练习）网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内，

成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体

验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间

满足函数关系式乃=3-后.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万

元，若每件产品的售价定为“进货价的15（）%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公

司最大月利润是（）万元.

A.45.5B.37.5C.36D.35

【变式5.2］（24-25高一上•浙江宁波•期中）天气转冷，宁波某暧手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.

根据前期调研，获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用3万元（工工0）满足关系式。=8-3（k为常

数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家

将每件产品的销售价格定为（36+千）元，设该产品的利润为y力元•（注：利润=销售收入-投入成本-促销

费用）

（1）求出k的值，并将y表示为x的函数；

（2乂足销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？

【变式5.3］（24-25高一上•山东聊城•期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现,

（1）求y与％之间的函数解析式；

（2）设经营此商品的FI销售利润为P（单位：元），写出P关于》的函数解析式，并求销售单价为多少元时,

才能获得最大日销售利润？

模块四“对勾”函数模型的应用

知识梳理

1.“对勾”函数模型的应用

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：产以+2（〃>0.比>0）,当QO时,

X

在<0,、产1上递减,在"产,+8）上递增.另外,还要注意换元法的运用.

题型归纳

【题型6“对勾”函数模型的应用】

LJ【例6】（24-25高一上•上海•期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商

业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年I月起开展网络销售与实体店体验安

装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用，万元之间

满足函数关系式已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32

万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求

该公司最大月利润.

【变式6.1］（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之

路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为

x€［6,8］（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价

方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为PQ）；

方案二：其给出的整体报价为/（父）=1200m（：+l）元，（m>0）

（1）求P（x）的函数解析式，并求报价的最小值.

（2）若对任意的工£［6,8］时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围.

【变式6.2］（24-25高一上•山东济宁・期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制,

（T7—,0<x<m

会生生一些次品，其次品率〃与日产量x（万件）之间满足关系：口二甘-：（其中机为小于

（2fX>m

24的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故

厂方希望定出合适的日产量（注：次品率二次品数/生产量，如p=0.1表示每生产10件产品，有1件为次

品,其余为合格品）.

（1）试将生.产这批羽绒服每天的盈利额），（万元）表示为日产量万件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

【变式6.3］（24-25高一上.湖南.期中）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品

的年销售量（即该厂的年产量）/万件与年促销费用小万元（小20）满足x=4-一J（改为常数），如

果不搞促销活动，那么该产品的年俏售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万

件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平

均成本按3元来计算）的1.5倍.

X

（1胞2025年该产品的利润），万元表示为年促销费用，〃万元的函数；

（2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

课后作业（19题）

一、单选题

I.（24-25高一上・贵州遵义•阶段练习）面积为S的长方形的某边长度为，则该长方形的周长L与％的函数

关系为（）

A.L=x+(x>0)B.L=x+^(0<x<S)

C.L=2x+y(x>0)D.L=2x+^(d<x<S)

2.（24-25高一上•江西•阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，

是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆

裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面为高度h（单位：米）与时间£（单位：秒）

之间的关系式为/1=-3.6尸+28.83则烟花在冲击后爆裂的时刻是（）

A.第4秒B.第5秒C.第3.5秒D.第3秒

3.（24-25高一上•江苏南京•期中）学校宿舍与办公室相距am.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出

发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min,然后匀速步行lCmin返回宿含.在这个过程中，这位同学行

进的速度以£）和行走的路程S（t）都是时间C的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中

的（）

%)八

a

3~0

a

io-.0

0\35157

①

池)八

la-o

O\~~3^15^

③

A.①②B.③④C.①©D.@@

4.（24-25高一上•吉林长春•期末）根据统计，一名工人组装第工件产品所用的时间（单位：分钟）为/（切=

—>x<a

f（a,c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，那么c和a的

值分别是（）

A.75,25B.75,16C.60,144D.60,16

5.（24-25高一•全国•课后作业）某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km）,以后每1km价为

1.8元（不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图像大致为（）

，!

5,-n：：

B.0123456x

Oi23456-X

6.（24-25高一上•全国•课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长.茶

水的口感与茶叶类型和水的温度芍关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：°C）和泡茶时间t（单位：min）

f-10t+100,0<t<5,

满足关系式120若喝茶的最佳口感水温大约是60汽,则需要等待的时间为（）

（<CS10,

A.1.5minB.2minC.3minD.4min

7.（24-25高三上・北京西城•期末）“空气质量指数（AQD”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI

大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势

由函数y=「舞卡描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

I56vt—24,12<t<24

A.5小时B.6小时C.7小时D.8小时

8.（2025高二上・贵州•学业考试）某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投

12

1QQX

（X-2，。<-100,

5000,x>100.

则当该公司所获年利润最大时，年产量x为（）

A.50B.80C.100D.120

二、多选题

9.（24-25高一上•陕西西安・期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第X个月的需求量

y（万件）近似地满足、=一/+21%-5（%=1,2_.12）,按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是

（）

A.8月B.9月C.10月D.11月

10.（24-25高一上•河北•阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量

V:单位：cm3/s）与管道的半径r（单位：cm）的四次方成正匕，当气体在半径为5cm的管道中时，流量

为1250cm3/s,则（）

A.当气体在半径为3cm的管道中时，流量为162cm3/s

B.当气体在半径为3cm的管道中时，流量为152cm3/s

C.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为4cm

D.要使得气体流量不小于512cm3/s,管道的半径的最小值为3&cm

II.（24-25高三上•河南•阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有

商品一律"打八四折''的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略.某顾客计划消费x（x>

0）元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）

A.当0<xV200时，应进甲商场购物B.当200Wx<300时，应进乙商场购物

C.当400500时，应进乙商场购物D.当500时.应进甲商场购物

三、填空题

12.（2025高三・全国・专题练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客

车营运的总利润），（单位：万元）与营运年数工的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均

利洌最大，每辆客车营运年数为.

13.（24-25高一上•河南商丘•阶段练习）某超市开展优惠促销活动，下表是购买苹果的促销方案:

购买苹果的质量苹果单价

不超过4千克的部分8元/千克

超过4千克但不超过8千克的部分7元/千克

超过8千克的部分6元/千克

已知甲、乙顾客分别从这家超市购买了3千克、6千克苹果，若甲、乙两人合在一起购买9千克苹果，则可以

节省元.

14.（24-25高一上•全国•课后作业）在一个培养皿中的某种浮游植物的数量y（个）与时间£（单位：h）

的关系可用模型y=Q后口来描述，己知这种浮游植物在第32h时的数最比在第5h时的数量多24个，则

要使该培养皿中的浮游植物的数量不少于64个，则至少要经过_____h.

四、解答题

15.（24-25高一上•重庆•期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志

的单价每提高01元，销售量就减少2000本.

（1）试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？

（2）假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提汾后的价格，使杂志销售的利涧/•（%）最大？

16.（24-25高一上•上海•阶段练习）某公司欲将一批货物从A地运往B地，现有汽车、火车