空间向量与立体几何-2026高三一轮复习讲与练

7.6空间向量与立体几何

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解

及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用

向量的数量积判断向量的共线和垂直.

3.理解宜线的方向向旱:及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关

系的一些简单定理.

住备知识回顾自主学习•基啾回扣

教材回扣

I.空间向量及其有关概念

名称定义

共线(平如果友示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那

行)向量么这些向量叫做共线向量或平行向量

共面向量平行于同一个平面的向最,叫做共面向量

共线向对于任意两个空间向量〃，bSM),的充要条件是存在实数九

量定理使a=/.b

共面向如果两个向量％力不共线，则向量〃与向量a,，共面的充要条件

量定理是存在唯一的有序实数对(x,y),使〃=工〃+】力

空间向量如果三个向量a,b,。不共面,那么对任意一个空间向量p,存在

基本定理哇一的有序实数组(y*z),使得p=x〃+*+zc

2.空间向量及其运筝E的坐标表示

(1)空间向量运算的坐标表示：设a=(m，4/2»。3)，b=®b[,九)，则a+/>=(m—每，

s+aa+岳),a-b=(a\-bi,a?——力2,aa——/?；),=hn、〃3),2£R,a-b=a\h\+

4262+。323.

(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设4=(<7],心，卬)，h=(bt,Z>2»

%3),则当/>#)时，a〃b=a=Xb=a\=工b\、6=电,43=/44%£R)：当府0,b邦时，aLb<=>ab

=Ooa#1+〃2力2+aM=0;\a\=a，a=屏+源+海；当存0,/>#)时，cos〈a,h}=""=

同回

。而1+。血+。363

屏+质+道屏+星+岳

(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设PG1，”，Z1),尸2。2，歹2，Z2),则»2=

(*—X1.以一I'l,Z?一二1),\PlT2\=(X2-X1)2+(12-J'lF+(22—二1)?.

3.用空间向量研究直线、平面的位置关系

位置关系向量表示

直线八，/2的方向向量h//hn\//〃2=〃i=i〃2

分别为“1，"2/山2-L〃2=〃l〃2=0

直线/的方向向量为l//a〃_!_/〃=〃•/»=()

〃，平面a的法向量为

Z±ait//mgn=hn

niyiCa

平面a,夕的法向量分a/邛n〃=Z/M

别为〃，aLp〃_Lfw=/r/〃=0

基础检测

1.判断(正确的画7“，错误的画“X”)

(1)空间中任意两个非零向量。，b共面.(7)

(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(x)

(3)若力，B,C,。是空间中任意四点，则有3+於+&)+忌=0.(7)

(4)若直线。的方向向量和平面a的法向量平行，则o〃a(x)

2.(人教A版选择性必修第一册Pl2T3改编)如图，在四面体215。中，E是力。的中点,

泳=3彷，设成=心防=〃，Pt=c,则彷=(B)

A.—

232

2I2

C.D.〃一3+气

243343

解析：屋=屋一班=1⑸+用」协=)一》+I.故选B.

24242

3.(人教A版选择性必修第一册Pl2Tl改编)已知空间向量a=(l,0,3),b=(2,1,0),

c=(5,2,z),若a,b,c共面，则实数z的值为(D)

A.0B.1

C.2D.3

解析：因为明b,c共面，所以存在实数对(x,y),使得c=xa+j"即(5,2,z)=x(\,

x+2y=5,x=l,

0,3)+j《2,1,0)=(x+2y,乂3x),所以y=2,解得，y=2,故选D.

3x=z,z=3.

4.(人教B版选择性必修第一册P39例1改编)若直线/的方向向量a=(l,0,1),平面

£的法向量〃=(1,1,一1),则(D)

A./c/?B./±/?

c.D./u0或/〃£

解析：因为a〃=l-1=0,所以a_L〃，所以/u少或，〃用.故选D.

陕键能力提升互动探究•考点精讲

考点1空间向量的线性运算及共线、共面定理

［例1］⑴如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PQ的中点,若可

=“，曲=b,Pt=c,则彷=（C）

1

A.

2!22

131

B.a~nt-c

222

3,.1

C.a-h\-c

222

11..3

D.a-b-rc

2!22

［解析］或=屋一防=；协一协=；（闻+熬）一协=；（筋一屈）=；（阖+比_丽）

=1（⑸一闻+无一助一用）=।中一3瓦+।园=）一3〃+故选C.

2222222

（2）（多选）下列选项中正确的是（AC）

A.若存在实数x,y,使/办=工宓+卜施，则点P,",A,8共面

B.若p与跖力共面，则存在实数x,y,使p=x“一）协

C.若向量防力所在的直线是异面直线，则向量。，力一定不共线

D.若mb,c是空间三个向量，则对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组（x,户

z）,使p=xa+m+zc

【解析】由向量失而定理可知，若存在实数x,yt使称=*总+〃施，则点尸，A/,

A,8共而，故A正确；若a,b共线，p不与a,力共线，则不存在实数x,y,使〃=xo+）E

故B错误；若向量明。所在的直线是异面直线，则dA的方向不相同也不相反，所以向量

明。一定不共线，故C正确；若a,b,c是空间三个基底向量，则对空间任一向量p,总存

在唯一的有序实数组（x,y,z）,使p=x〃+i办+zc,故D错误.故选AC.

"规律总结

1.用己知向是表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.

(3)在空间中，向量加法的三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较

空间四点(M,P,A,8)共面且任意三点不共

三点(P,A8)共线

f线

中=2丽/办=工笳+产施

对空间任一点。，分=为+/丸对空间任一点O,9=0+工宓+产谛

对空间任一点O,舁=x6t/+j，勿+(1—X-

对空间任一点。，0p=x0k-^-(\-x)0h

y)oh

【对点训练1】(1)设⑨，C2是空间两个不共线的非零向量，已知成=2①+Ag，Bt=

4+3«2,Dt=2e\-ei，且4B,。三点共线，则实数A的值为(A)

A.-8B.-4

C.-2D.8

解析：因为4B,。三点共线，所以弘£R,使得法=烧，又成=2幻+〃。2,Bt=e\

+3。2,Dtj=2ei~C2,所以彳力=港+衣"一方t'uQei+船2)+(。1+3。2)—(2ei—C2)=ei—(左+

4)62,则2ei+ke2=2[ei+G+4)e2],则2=2,X(k+4)=k,解得〃=-8.故选A.

(2)(多选)如图，平面相C内的小方格均为边长是1的正方形，力，B,C,。，E,F均为

正方形的顶点，尸为平面厘AC外一点，则(ABD)

、、、、、、、

A.Ak=Pk-Pt

B.E=一可+,闻一反

55

C.许=向一3建一2的

55

D.初一用+加-6比

55

解析：在平面力8C内选取两个互相垂直的单位向量i,,j,且祀=2i+j,则无'一局:

+j,协一中=-3i+j,Pt~Pi=5i,则：=一；闻+；无，j，=一就+2译+3代,所以彳

55

-2i-j=P^~Pt：t亚=-2i+j=_^+；励+；逑，注=1唠+#=扇+―/=2可一步

2P&,必=可+力=届+4=—用+4/+6反.故选ABD.

5755

考点2空间向量的数量积及其应用

【例2】(1)如图，在斜三棱柱力8C-48cl中，AC=BC=CCi=4,N8CG=N4CG

=N,NACB=K,则刀I•（动+不）=（C）

34

A.48

C.32+82D.32-82

【解析】刀।•（国+口）=（&i+B）•（仍+口）=&\•仍+++=

Hn2

4x4xCos+4X4XCOS"+4X4XCOS+4=8+8+82+16=32+82.故选C.

334

（2）在四面体中，BC±BD,/ABC=/ABD=；,BA=BD=2,BC=3,贝ijX。与

8C所成角的余弦值为（A）

【解析】如图，由题知，孔=耿一曲,令夕为应与质的夹角，

DABt正限一此键

则cos0===

\DAY\BC\\Bk-Bb\\Bt\I城F+前|2-2：成II协|cos；|殖

网成|cos兀一函品|cos7t2x3x1

32=；.故选A.

I后F+I防|2—2|后II筋|cos「I型4+4-2x2x2xk

"规律总结

由向量数量积的定义知，要求〃与，的数量积，需已知同，网和Q,b),a与b的夹角

与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使〃力计算准确.

【对点训练2】(1)向量次1=(1,2,3),彷=(2,1,2),办=(1,1,2),点。在直

线”上运动，则)•砂的最小值为(B)

解析：•・•芬=(1,1,2),点0在直线0P上运动，：.可设(5。=2分=(尤2,22).又向量

0^=(1,2,3),份=(2,i,2),.*.0^=(1-z,2-z,3-2A),0^=(2-z,1-2,2-2A),

则/@=(1一，)x(2—Q+(2-/l)x(i—,)+(3—2#x(2—2；)=6万一162+10,易得当4=:时，

力•效取得最小值一;•故选B.

(2)如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，M为4G与&D的交

点，NB4D=NB44=ND44=60°,则8M的长为(C)

解析：依题意鼠=胡1+瓦%/=丽|+1工)产丽i+匕工)L/1弦i)=刀兄)」力，所

2222

以8游=43+Ab—=41/+”»+Ah2-\-AA\Ab-AA\Ah-'AI)A8=12+*x12+

224424

^Xp+jxjx1—lx]x^—1xlxlx1=所以|就/|=5即8M=5.故选C.

42222422

考点3利用向量法解决平行、垂直问题

【例3】如图，在直三棱柱4中，N4BC=90。,50=2,CCi=4,点E在

线段4小上，且£3=1,D,F,G分别为CG，CMCM的中点.求证：

(1)平面小与。_1_平面.44。；

(2)平面EG/7〃平面ABD.

【证明】(1)易得历I,BC,881两两垂直，以8为坐标原点，BA,8C,881所在直线

分别为x轴、歹轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0),£)(0,2,2),51(0,

0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),Ct(0,2,4).

设则4(a,0.0),4(a,0,4),

因为晶=(d0,0),Bb=(0,2,2),瓦力=(0,2,-2),所以氏力晶=0,氏力励=0,

所以氏力_1_瓦5,Q力屁)，HPB\D.LBA,BiDLBD.

又BAC\BD=B,BA,BDJ干曲ABD,所以6|OJ_干面/6D

因为8iZ)u平面A\B\D,所以平面48iQ_L平面ABD.

(2)因为劭=(2‘1'",济=(0,1,1),帅=(0,2,-2),所以瓦力花=0,帅•赤

=0,

所以BiDLEG,BiD_EF.

因为EGC\EF=E,EG,£7七平面EGF,所以SOJL平面EGF.

又由(1)知4Q1.平面ABD,所以平面EGFH斗画ABD.

」规律总结

1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，

准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).

2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的

有关定理.

【对点训练3】如图，正方形力。痔与梯形48CD所在的平面互相垂直，ADLCD,

AB//CD,AB=AD=2,CD=4,也为CE的中点.求证：

(1)8/W〃平面力。EE；

(2)8C_L平面BDE.

证明：(1)根据题意可知平面力。£7口_平面/8C。，斗面4DEFC平面＜BCD=4。,

又四边形《。匹/是正方形，所以/ID工ED,EDa^-^jADEF,

所以EQJ_平面/BC。，从而可得忌，皮，用两两垂直.

以力为原点，扇，皮，方方的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间

直角坐标系，则。(0,0,()),A(2,0,0),5(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,

2),

义M为CE的中点、,所以M(0,2,I),则破=(一2,0,1),亦=(一2,0,0),斤=(0,

0,2),

所以或=力十1赤，故而。，力，力共而.

2

义BMC平面ADEF,所以BM〃平面ADEF.

(2)衣=(-2,2,0),加=(2,2,0),初=(0,0,2),易知展•协=-4+4=0,所以

SCJ_。及又於51=0,可得6CJLOE.

叉DBCDE=D,DB,DEu平面BDE,所以8C_L平面

|高考创新方向雷新定义

O-----------------------------------

【例】(多选)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：

(1)过点R)(xo,yo,zo)且以〃=(mb,c)(岫今0)为方向向量的空间直线/的方程为*一"°=

y—yo_z—zo^

hc,

(2)过点尸(x(),yo，zo)且以y=(〃?，〃，f)(w〃原0)为法向量的平面a的方程为m(x—x())+〃(y

-yo)+«z-zo)=O.

现已知平面a：x+2y+3z=6,/i：—''b：x=y=2-z,h："L'=z,

3y~2z=1,5—4I

则(CD)

A.I}//aB.h//a

C.h//aD./i±a

【解析】平面a:x+2y+3z=6,即x—1+2(y-l)+3(z—1)=0,则平面a的法向量为w

I,1

[2A—y=Lx—,yz+

=(1,2,3).对于/i：则6x-3=3y=2z+l,即2='.=2,所以/过点

3y-2z=1,111

632

Q'°'―J,方向向量为〃1=1，3'2),所以v=6〃i,所以了〃“I,所以故A错误，

D正确；对于，2：X=y=2-z,即x=J'=z-,所以12过点(0,0,2),方向向量为“2=(1,1,

11—1

一1),点(0,0,2)适合平面a的方程x+2y+3z=6,所以心与平而a有公共点，故B错误；对

于，3：“-1=•)'=',所以，3过点(1,0,0),方向向量内=(5,-4,1),因为可“3=(1,2,

5—41

3)(5,-4,1)=5-8+3=0,所以NJL〃3,所以/3UZ或h〃a,但点(1,0,0)不适合平面a的

方程x+2p+3z=6,故hCa,所以4〃a,故C正确.故选CD.

创新解读

本题属于新定义理解问题，解题过程中需将直线方程表示为给出的公式形式，从而找到

直线经过的定点和方向向量，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决新定义问题的能力，

体现新高考的趋势和变化.

课时作业50

▲;亚基础巩固,

1.(5分)己知“=(2,2,I),力=(一1,-1,k),且aJ_2b,则A的值为(D)

A.5B.-5

C.3D.4

解析：由题意可得2/>=(-2,-2,2k),则。・26=—4-4+2%=0,解得女=4.故选D.

2.(5分)已知点—3,5),8(0,b,2),C(2,7,-1),若4,B,。三点共线,

则a，b的值分别是(D)

A.—2,3B.-I,2

C.I,3D.-2,2

解析：因为4(a,-3,5),8(0,b,2),C(2,7,-1),所以港=(一a,b+3,—3),Bt

=(2,1-h,-3),因为/,B,C三点共线，所以存在实数丸使前=k忒,所以(一出b+

—a=2k,k=l,

3,-3)=A<2,7-b,-3),所以b+3=k(7-b),解得a=-2故选D.

-3=一乂,b=2.

3.(5分)若向量〃=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则m〃的夹角的余弦值为(C)

721

A.B.

321

_521_21

C.D.

4221

解析：向量a=(l,-1,2),b=(2,1,—3),则〃力=1x2—1x1—2x3=—5,|a|=

12+(-1)2+22=6,步|=22+12+(-3)2=14,所以心力的夹角的余弦值为cos〈*b〉

ab61二=一5丁,故选C.

W\b\

4.(5分)在正三棱锥A48C中，。是△48C的中心，PA=AB=2,则说•(用+协)

=(D)

10

A.B.

97

解析：如图，在正三棱锥P-48C中，。为正三角形48C的中心，PA=AB=2,OA=OB

232

=xJA8=,则PO_L平面力8C,而04,O8u平面.48。，所以PO_LCM,POA.OB,且

323

PO2=22-（3）2=8,所以用•（用+或）=巾（用+冉+用+彷）=2防2=2x8=16

333

故选D.

；：C\

二。〕、、\

----1^4

5.（5分）如图，三棱柱中，G为棱/。的中点，若反5=〃，豉=b,应）=c,

则江=（A）

a~b+c

22

解析：散=a,Bt=b,Bb=c,则江=B+筋+5&=—6+。+1次=—b+c+l（赤

22

+厩）=—〃+c+%—。+〃）=」一〃+%故选A.

222

6.（5分）如图，在正方体/JBCQ-MSGOi中，点M,N分别是棱。口和线段8c上的

动点，则满足与力。।垂直的直线MN（D）

!」力-----

一'

A.有且仅有1条B.有且仅有2条

C.有且仅有3条D.有无数条

解析：以。为原点，扇，皮，协।的方向分别为x粘、y轴、z轴的正方向建立空间直角

坐标系，如图，设正方体棱长为I,M（0,0,a）（0<a<l）,N（x，1，1-X）（0<Y<1）,则4（1,0,

0),Di((),0,1),所以/加=(x,1,\~x~a),/i75i=(-l,0,1),若ADJMN,则向「历1

=一工+1—x-a=0,即2<=1—.(0人1,OS?<1),方程有无数组解.故选D.

7.（5分）如图，在直三棱柱力8C-45G中，NBAC=90。,AB=AC=AA\=\,G,E,

尸分别是棱CG和"的中点，点。是线段4C上的动点（不包括端点）.若GDLEF,

则线段4。的长为（A）

4

4

解析：在直三棱柱力6C-小41cl中，NA4c=90。，以/为原点，祀，成，筋i的方向分别

为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则4（0,0,0）,fC'0,2I

k\11/L-1,-11w」〕

d2J,M2J,设O（x,0,0）（0<x〈l）,则9=12J,助=〔22）.

由于GOJ_E£所以⑸存=一五一1+1=0,解得所以线段力。的长为1.故选A.

4244

8.（6分）（多选）下列说法正确的是（BD）

A.若向量a,b,c共面，则它们所在的直线共面

B.若G是四面体。相C的底面△月8c的重心，则次7=1（为+仍+求）

3

C.若（5&=—;况+；彷+：求，则力，B,C,G四点共面

D.若向量p=〃?x+〃『+kz，则称（/〃，〃，2）为〃在基底｛x，八力下的坐标，已知〃在单

位正交基底历，b,c｝下的坐标为（|,2,3）,则P在基底｛。一4c｝下的坐标为（一？‘2,3]

解析：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上，故A错误；设

0(0,0,0),A(x\,y\,zi),8(X2,yi,Z2),C(X3,yy,Z3),则。力=(内，y\,zi),Ob=gyi,

,|+也+冷yi+v+yjzi+z：+z3

z2）,ot=（x3,J，3,Z3）,又因为G是底面AABC的重心,则（f

333

所以帅=1（为+励+虎）成立，故B正确；因为（5&=—2况+3加比，一2+3+3,],

3555555

所以4R,C,G四点不共面，故C错误；设〃在基底一6a+b,c｝下的坐标为（x,y>

z),则p=x(“-A)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(-x+y)力+zc,

t=->

x+y=1,2,

因为"在基底｛%b,。下的坐标为（1,2,3）,所以一x+y=2,解得_3

r

二=3,

二=3,

所以…底—下的坐标为马鸿

,故D正确.故选BD.

9.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，若点力（-1,3,1）,8（—1,3,4）,D（l,1,1)，

且赤=2或，则|用|的值为23.

解析：设点P（x,>>,z）,因为#=2附，，4（一1,3,1),4(一1,3,4),所以(x+1,y-

x+1=2(—1—x),v=-l,

3,Z-1)=2(-1-A-,3—y,4—z),则),—3=2(3-y),解得丁=3,即。(一1,3,

z—1=2(4—z),z=3,

3),又。(1,I,1),所以协=(2,-2,-2),所以|瓦)|=23.

10.(5分)已知点?(0,2,0),0(0,0,0),力(I,2,4),B（-1,2,4）,过点尸作尸，

，平面。4氏，为垂足，则点，的坐标是

解析：设〃(访b,c),则丽=m,b-2,c),5^=(1,2,4),仍=(-1,2,4),因为

PH_L平面OAB,OA,OBu平面OAB,所以P4_LOA,PH±OB,则

丽"=a+2(b-2)+4c=0,4=0,

解得所以〃(0,2-2C,0).因为P〃1平面

丽.励=一。+2(/>—2)+4c=0,[b=2~2c,

OAB,〃为垂足，所以O,A,B,〃四点共面，则存在唯一实数对（x,y）使得殖=人苏+），彷,

O=x-y,

即(0,2~2c,c)=(x—yt2x+2y,4r+4y),所以2—2c=2x+2y,解得x=y=；o，c=

c=4x+4y,

所以；3.

11.(15分)如图，已知正四面体48co的棱长为1,E,尸分别为棱8C,CD的中点,

G为线段力尸的中点.

(1)用施，祀，历表示民：

(2)求动力的值.

解：(1)在正四面休MA8中，E,尸分别为棱AC,CO的中点，G为姣段/户的中点，

则花=1#=乂1(於+=)=1祀所以防=成+就+砧=一成+

22244

1团+〔祀+〔在=一成+](赤一祀)+】花+1加=一1苏一1祀

244244244

(2)正四面体48。的棱长为1,则施充=成,历="ixcos60°=；,

所以前•成=」(2初+花一历)•Z&=-1(2加+充・通一Xb•戏)=」.

442

12.(18分)如图，在正方体力〃。-小囱GA中，E,尸分别是89，。出।的中点.求

证：

(1)小。〃平面BCCB；

(2)EF±AiD.

证明：(1)如图，以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空

间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,则。(()，0,0),4(2,(),2),£(2,2,1),尸(1,

1,2),C(0,2,0),所以双=(0,2,0),山产(2,0,2),

因为。CJ_平面BCG3],所以皮=(0,2,0)为平面8CG历的一个法向量，

又比方丸=0,即成方丸，

义4。C平面BCCiBi,

所以40〃平面BCCM

(2)由⑴知彷=(一1,-1,1),

所以存•扇i=-lx2+(-l)x()+lx2=0,所以EF-LAiD.

理素养提升4

13.(5分)(2024•山东济南二模)如图所示，正方体/出CQ-48C。]的棱长为2,E,F,

G分别为8C,CCi，8用的中点，则下列说法正确的是(B)

A.直线与直线,4尸垂直

B.直线小G与平面4E/平行

C.三棱锥尽4的体积为:

O

D.直线8C与平面XE/所成的角为45。

解析：在正方体48CZ)-小囱GA中，DD\〃CC\,直线力/与直线CG不垂直，所以直线

N/7与直线力Qi不垂直，故A错误；如图，以。为原点，DA,DC,。力1所在直线分别为x

轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则力(2,0,0),E(l,2,0),F(0,2,I),GQ、2,

1),4(2,0,2),设平面/K厂的法向量为"一(x,y,z),

jJ*«=-x+2y=0,

则:

AP-n=—2x+2y+z=0,

令y=l,则”=(2,1,2),因为击七=(0,2,-1),所以/ii"〃=0x2+2xl-lx2=0,

所以因为小G在平面力跖外，所以直线小G与平面力平行，故B正确；SA48E

=，5EJB=1X1X2=1,所以三棱锥广48E的体积为4”1=1,故C错误：8(2,2,0),C(0,

2233

一|淤川1-41

2,0),比=(-2,0,0),设直线8。与平面力£尸所成的角为6,则sin3==

两川2x22+R+22

=2,故D错误.故选B.

3

14.(5分)如图1,在RtZU3C中，NC=90。，BC=3,AC=6,E分别是4C,AB

上的点，满足。E〃8C且DE经过△/14C的重心，将△/IDE沿OE折起到△小OE的位置，使

小CJ_C。，M是〃。的中点，如图2.点N在线段44上(N不与端点小，4重合)，使平面

CMN与平面。硒垂直，则4N=z.

BN

解析：在。中，因为DE〃BC,故。月_L/C,故在四棱锥小-QE4C中，有5C_L

CD,DE±A\D,DEA.CD,而小。0(?。=。，故QE_L平面小CD因为小Cu平面小CQ,所以

DElAiC,忘DE//BC,故4C_L8C,而小C_LCO,故以C为原点，CD,CB,C4所在直

线分别为人轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角生标系.

AF}0DF

在RIA48C中，因为OE经过△/8C的重心，则力〃="="匕故力。=4,CD=2,DE

AC3BC

=2.在RtA4OC中，A\C=16-4=23,则C(0,0,0),A\(0,0,23),D(2,0,0),

4((),3,0),E(2,2,0),M(1,0,3).设G=A/i^(0<lvl),则瓜=(0,32,~23z),

故N(0,32,23-232.),C^=(0,3A,23—23Q,彷=(0,2,0),麻=(-2,3/1,

23-232),cX/=(1,0,3).设平面CWN的一个法向量为〃i=(s,/,w),

〃i•说=3力+(23-23A)w=0,

则，

〃「原/=s+3H,=0,

(_q23A-23]

取w=l,则$=-3,Z=23a~23,故”=1—32'J.设平面OEN的一

3A

〃2•励=2h=0,

个法向量为〃2=(S],力，W),则

m-DK'=_2s,I+3z/i4~(23—23A)vvi=0,

取W|=I,则0=0,S1=3-32,故〃2=(3-3九0,I).因为平面。EML平面CNN,

故〃I_L〃2,所以(3—37)x(-3)+1=0,故2=2,所以4N=2.

3BN

/亚创新训练4

15.(6分)(多选)在空间直角坐标系中，过点尸()