解三角形培优归类（15题型）原卷版-2026年高考数学一轮复习

专题06解三角形培优归类

》炼压轴-弑高度4

题型1三角形形状判断

100^0

正余弦定理：化角为边型

\若式子中含有余弦的齐次式.优先考虑余弦定理"角化功”;

j正余弦定理：化边为角型

j若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”

】•（24・25高三・江苏阶段练习）在VA"中’已知曰*黑号贝W48C的形状为

2.（24-25高三江苏徐州•阶段练习）在VA8C中，若acosB+〃cosC=Z?+c,则该三角形为三角

形.

3.（21-22高一下•北京•阶段练习）已知AABC的三个内角4及。所对的边分别为”,尻j则下列条件能推

导出△A8C一定为锐角三角形的是.

ia2+b2>c2；（2）-^7-=-^7-=*®cos24+cos2B-cos2C=I；4tanA+tailB+tanC>0.

5o）

4.（24-25高三・上海•阶段练习）在VA8C中，c-acosB=（2a-b）cosA（服b、c分别为角4、8、C的

对边），则VA3c的形状为.

题型2三角形几解的判断

判断三角形解的个数有2种：

画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。

①若无交点，则无解；

②若有一个交点，则有一个解；

③若有两个交点，则有两个解；

④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。

公式法：运用正弦定理进行求解。

①a=bsinA,△=0,则一个解；

②a>bsinA,△>0,则两个解；

③a<bsinA,△<0,则无解。

1.（22-23高一下•湖北襄阳期中）在V4AC中，A=60.BC=26,BC边上的高为2,则满足条件的

V48c的个数为.

6.（22-23高三上海阶段练习）在AA8C中，角A8,。所对的边分别为公b、c,已知。=4,5=30。,要使

该三角形有唯一解,则〃的取值范围为.

2.（24-25高三北京阶段练习）在△AAC中，。=4,8=30。,请给出一个力值_____，使该三角形有两解

4.（24-25高三吉林模拟）V4EC的内角A,B,C的对边分别为。，〃，J且。=4,sinC=J,若

4

V48c有两解，贝"的一个可能整数值为.

题型3解三角形求角度（范围最值）

嫉

求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助

!其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。

1'""（25-26高三上］匕秦开单考试V4BC的内角人;及々的对血分别为苇二反b=3~~

则/B的最大值是____.

2.（2025高一•全国・专题练习）已知G是VABC的重心，aGAbGB+—cGC=（）,其中内角AB,C的对

3

边分别为4。,c,贝lJ/4=.

3.（2025高三・全国・专题练习）若V48c的内角A4满足"0+2cosC=0,则当角3取最大值时，角C

sia4

的大小为.

4.（2025高三・全国・专题练习）在V/WC内，内角A氏C的对边分别为。也J若/+/之4而cosC,且

cos（A-B）=，，贝iJcosC的取值范围是____.

6

题型4复合型三角函数最值

复合型角或者三角函数范围最值，

1.以给了函数值的角度为基角来拆角。

2.讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号

3.所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度

1.（2025高三・全国・专题练习）在VA8C中，内角A&C的对边分别为。也J已知州=普;，且

c6sin»

c九、r-insin/4+sin^,,.^_,.

则的取值范f围r为（）

2.（24-25高一下,湖南永州•期末）在锐角VABC中，角A,B,C所对应边分别为a,b,c,VA3C的面

,、2

积为£25+=c2sinC,则lan（C-4）+而彳的可能取值为（）

A.25/2B.3C.4D.472

芸=二三且〃=6,则锐角VA8C面积的取值范围为（）

6cosB

A.（0,4x/3）B.心后响C.（6行9码D.(0,66]

题型6边角互化：周长最值型

lg@点

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与

\角度有关的范围问题，

j常用处理思路：

i①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限

：制，通常采用这种方法；

:③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值

I♦

丁.…②以产东产丽模版预湎》巨锐角三角舷Me的卤角A氏而忌的近令另及j无「巨克8:2C.…

。=2,则〃+c的取值范围是（）

A.（2,6+1）B.（百+L”）C.（2,2女+2）D.（x/5+l,272+2）

2.（24-25高一下,内蒙古呼和浩特期中）在VA8C中,已知2"sinA=（26—c）sin8+（2c-b）sinC,

a=2,则VA3C周长最大值为（）

A.4B.6C.幽D.她+2

33

3.（24-25高三贵州贵阳•阶段练习）在锐角三角形A8C中，角A、B、。的对边分别为〃、b、c、

若c=6，且acos]=6sinA,则a+2〃+3c的取值范围为（）

A.（4+3>/3,6x/3）B.卜+3"2万+3向

C.（4+36,2不+36]D,（6+3x/3,2x/7+3x/3]

4.（2425高二上•河北张家口开学考试）在VA8C中，角A及。所对的边分别为外力,。，若

cccsA-\f3cfiinA-b+2a=0,且c=3,则VABC周长的最大值为（）

A.73B.迪C.6D.9

4

题型7边角互化：比值范围型

最值范围：分式比值型

化边为角型

1.通过正余弦定理，把边转化为角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式

3.对单变量（单角）求最值。

角化变型：

主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化

1.（23-24高三,陕西咸阳期中）在锐角VA4C中，角A,B,C的对边分别为仆6,c,若8=],

si弋则一^的取值范围是()

sinAaca+73b

JL-2P2lJ]。.扁(22J}

2.（24-25高一下,重庆万州期中）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，〃，JS为△ABC

的面积，且3s=『-s-c）2,则2的取值范围为（）

C

3.（24-25高三•山东枣庄•阶段练习）在VA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

c-b=2bcosA,则坐的取值范围是（）

a-b

A.（-U）U（3,+^）B.（1,2+⑹C.（3,2+百）D.（3,仔）

4.（24-25高三上•河北期中）已知VAAC是锐角三角形，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,s

为V极的面积,4s呜的取值范围为（）

题型8边角互化：四边形面积最值型

■（・■・・・■・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・■・・・・・・・■・■・・・・・・・・・■・■・・・・・・・・・■・・・・・・・・・・・・・■・■・・•■・・・・・・,・・・・■・・•■・■・■・■・・・■・■・・•・・・・・・,・・■・■・・・・・・■・■,・・■・・・・・■・・•■・■・，

四边形面积最值型

四边形面积最值型，i般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自

用余弦定理，构建数量关系。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件

1•(2025•浙江杭州,三模)如图，在三角形4BC中，Ssin2A+sin2J?+sin2C=25/5sinAsinSsinC,

DB=2,DC=4,则四边形的面积的最大值为

2.（2024・陕西安康模拟预测）如图，平面四边形A3CO中，AB=\AC=2BC,AD=DC,^ADC=90,

则四边形八BCO面积的最大值为.

3.（2023•新整阿克苏•一模）在如图所示的平面四边形A4CO中，AQ=3,AB=BC=CD=g,记

XABD、△比1。的面积分别为SS,则S；+S：的最大值为

4.（21-22高一下福建三明期中）如图，平面四边形4BCO中，AB_LADAB=AD,BC=2,CD=\,

则四边形ABCD的面积的最大值为

©。@点题型9射影定理型

:射影定理

Ia=Z?cosC+ccosB

Ib=«cosC+ccosA

jc=acosB+bcosA

1.（24-25高三・河南•阶段练习）在VA8C中，内角A,B,C所对的边分别为b,J若

反osC+ccosl3=2dzeosA,b=2c,则C=（）

2.（2024・陕西西安・模拟预测）等边VABC的边长为5,点A在平面。上，点8,C在。的同一侧，且边

ARAC在。上的射影长分别为3,4,则边8c在。上的射影长为（）

A.V15B.26C.V2TD.25/6

3.（21-22高三,古林长春•阶段练习）在VA4c中，角A&C所对的边分别为a,Ac,S表示VA3C的面

n

积，若80S5+反03。=公1114,S=—（b2+a2-c2）,则N8=（）

12

A.90°B.60°C.45。D.30°

4.（24-25高三广东佛山•阶段练习）已知AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

acos13+bcosA=3,且sin?=b=3、则4=（）

A.-B.-C.3D.3G

题型10图形解析型：中线型

中线的处理方法

AD=-(AB+AC)AM?=-（宿+2福而+旅）

1.向量法：2<=>4

2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理

1.(25-26高三上•河北衡水・开学考试)设VA8C的内角人仇。的对边分别是。也J已知。=6,且

(/?+c)(sinZ?—sinC)=-tz(sinA+sin13).

(1)求角C；

⑵若。为A8的中点，求线段CD长的取值范围.

2.(25-26高三上•河北•开学考试)在VA8C中，内角A8,C所对的边分别为J且

A/3sinCsinA+cosCsinA=sin4+sinC.

Q)求角A；

⑵若VA8C边BC上的中线A。的长度为2后，求VABC面积的最大值.

3.(24-25高三陕西西安•阶段练习)在VA8C中，内角A,。所对的边分别是。，b.c,且

sinC+GeosC=6，访',

sinB

(1)求角8；

⑵若a+e=2,求边AC上的角平分线3。长；

⑶若VABC为锐角三角形，求边AC上的中线跖的取值范围.

4.(24-25高三江苏常州•阶段练习)如图，在平面四边形/13C。中，NACB=m，若E是AS上一点,

BC=CE.记a48C=c,4CE=(3.

A

BC

(1)证明：cos2a+sin//=O；

⑵若4C=G\E,CO=3,AQ=2.

(1)求夕的值；

(ID求线段8。长度的取值范围.

题型Ll图形解析型：角平分线型

\V*

；三角形角平分线的处理方法：

上.

1BDC

S/UBC=S4^CD+S«BD

ABAC

闲平分线定理(大题中，需要证明，否则可能会扣过程分)：BDCD

丁:…②:25-高一三重庆五正期审)-左锐角VA8C申「内角A,B,C而州而近分朝分〃,羡7且满足

(sinA—sinA)•(sin4+sin/?)=sinC(sin4—sinC),

(1)求角8；

⑵求二£1的取值范围;

⑶当〃=1时，角3的平分线交AC于M,求8W长度的最大值.

2.(24-25高三吉林长春•阶段练习)已知V/A8C的内角A,&C的对边为a4c,且

sin/I-sinB_c-b

sinCa+b

(1)求角A；

(2)若\AtiC的面积为45/3.

①已知E为8c的中点，且〃+c=10,求VABC中线AE的长；

@求内角A的角平分线A。长的最大值.

3.(24-25高三,河南平顶山阶段练习)在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知

a+b=\lc2+(il7-

⑴求C；

⑵已知C。为NC的平分线，且C。交A8于点。

(i)若8=2,求AC+AO的取值范围；

(II)若点七’满足丽=而=［而，求cosNZX芯的值.

4.(24-25高二下•贵州六盘水•期末)在VABC中，记内角A,B,。所对的边分别为。，b,J已知

a=G且sin*+sin2c=sin2A+sinBsinC.

⑴求A；

⑵求〃+C的最大值；

⑶若A的角平分线交8c于点M,求八M的取值范围.

题型12图形解析型：三角形的高

三角形高的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

如S=—bcs'\nA--BCxAD=-c2

222

2.三角函数法：

在△BCD41，BD=ABcosNAB。,AD=A3sin/ABD,

1.(24-25高一下•河南鹤壁期末)已知在V48C中，内角A,及C的对边分别为〃也。，且

八bsinC

ccosB=a+——=—.

⑴求C；

⑵若48边上的高为九求人的最大值.

c

2.(24-25高一下河南郑州期末)如图，在VA3c中，内角A8,C所对的边分别是j且

a24-c2-ac=lr.

⑴求角B的大小.

(2)若。=3,。=2,。是AC边的中点，£为边44上一点，且CE工AB,CE与BD交于点、F

(i)求BO的长度；

(ii)求conNCFD.

3.(2025•黑龙江哈尔滨模拟预测)已知V/WC的内角A,B.C的对边分别为〃，4c.且

S：=；c(asinA+bsin8-csinC),

⑵如图，边4B的垂直平分线七。交48于E,交边AC于。，AE=s/3,BC=7io,求A。长.

4.(24-25高一下•广西百色期末)已知VABC的内角的对边分别为。也j且这+02一改=//.

(1)求8的大小；

(2)若a=3c,A。是AC边上的高，且人。=6，求V/1BC的面积.

题型13图形解析型：双余弦定比分点

三大线型引申：定比分点型

如图，若BD二tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手:

1.双三角形余弦定理：

(1)AABD中，AB2=BD?+AD2-2BDADCOS^

(2)AACD中，AC2=CD2+AD2-2CDADcos(n-)

\AD=(l-t).^+t.XC=>|^D|2=(l-t)2^24-t2.|AC|2+2t—祠|园cos/A

1'1■■■(24-25高二下湖北期末厂去V"C中，角人己所对的近分别为a工二「君V"C的面积

S=3仄痔而=6,且有39+厘=2*.

abc

⑵若丽=2反,求I而I.

2.(24-25高一下,云南昭通期末)已知VA4c中，三个内角分别为

A,B,C,cosA+2sin(,+'cos(获+1,且AH].

⑴若8C=1,求VA3C的外接圆面积；

⑵若防=4丽,NDA8=90。,△人80的面积为26，求VA4c的周长.

3.(24-25高一下河南南阳期末)已知VABC的内角A,B、C所对的边分别是4仇。，向量

wz=(rt+Z?,sinC),H=(b-c,sinB-sinA),且初历.

⑴求A；

⑵若加=35C,AO=1,求VA3C面积的最大值；

⑶若VA4C为锐角三角形，且。=3,求VA4C周长的取值范围.

4.(24-25高一下•湖南长沙期末)在VABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c已知a=l,c=3,

0-c)(sinB+sinC)=(sinA-sinC)cz.

(1)求角B；

(2)若。为线段AC上一点，且4/5=3。3，求的长度.

题型14图形解析型：外心与外接圆

100a0

i三角形所在的外接圆的处理方法：

1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三

i角形斜边中点上。

i钝角三角形外心在三角形外。

I

fihc

产正弦定理：而r而广而？=2R其中R为外接圆半径

I

I

I

。…(泊]25-高M而M南充模册-亘如mz芬前为V48C=不内角A：8丁下町而逅■且

2asin(c+1)=V3Z>.

(1)求A的值；

⑵若a=2"7,b>c,VA4C的面积为6&,求sin(A+8)的值；

(3)若匕=6,c=8,，为VA4C垂心，。为VA3C的外心，求而.质的值.

2.(23-24高三广东广州•期末)已知VA4c的内角A,B,C的对边分别为J〃，5且满足

cosC+2cos/?cos[1+4)=0.

(1)求角8；

⑵已知VABC的外接圆的圆心为。，半径R=6.

(口作角8的平分线交AC于。，BD=2,求V/WC的面积；

(ii)SOB=mOA+nOC(in,/?eR),求他+〃的取值范围.

3.(24-25高三广东肇庆•阶段练习)记V48C的内角A,B,C的对边分别为5>c,已知

4asin8=3Z?cosA.

⑴求sinA；

(2)若4=：,VABC的面积为二，求力；

45

⑶已知VABC的外接圆半径为逑，-84C的平分线交8C于点Q,若人。=巫，求V/WC的周长.

66

4.(24-25高三•湖南•阶段练习)设VABC的内角人B,。的对边分别为44c,已知

acos