江苏省扬州市邗江区2024-2025学年高二年级下册期中调研数学试卷（含详解）

江苏扬州市祁江区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

一、单选题

1.已知向量。=（x,l,l）』=（一2,2,力,满足a/B,则2x-j，=（）

A.-1B.1C.-2D.2

2.已知函数/(x)=xlnx-x2,则()

Ar->0

A.-2B.-1C.1D.2

3.如图，空间四边形CMBC中，OA=a^OB=b^OC=c^且两=2面，丽=祝，则就等于（）

--a+-h+-cD.-a--h+-c

322232

)

x

A.(0,4)B.(0,1)C.(4,+8)D.(-1,4)

5.在正方体//CO-44GA中，M是的中点，N是GA的中点，则异面直线口河与。小所成角的余

弦值为（）

1224

B.-C.D.

.3535

x,ln2,ln31nil/

6.已知。=k，b=：-,c=一，则()

23e

A.c>b>aB.h>a>c

C.b>c>aD.a>b>c

7.有3名男生和3名女生排成一排,女生不能相邻的不同排法有（）

A.72种B.144种C.108种D.288种

8.设函数/（五）是定义在R上的奇函数，/'（X）为其导函数.当x＞0时，矿（力一/（力＞0,/⑴=0,则不

等式/（x）＜0的解集为（）

A.(-oo,-l)u(l,+a))B.

c.(——IM。1)D.(-l,0)U(0,l)

二、多选题

9.己知儿B,C,。是空间直角坐标系。-工产中的四点，P是空间中任意一点，则()

A.若4(-4,—3,2)与倒a,/),c)关于平面j，Oz对称，则“+b+c=-3

B.若罚=%+而，则力，B,C,。共面

—.|—4—1—.

C.若尸+；尸8—二尸C,则力，B,。，。共面

636

D.若力(0,0,2),8(1,2,0),。(2,巩〃)三点共线，则〃?+〃=2

10.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则()

A.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有种

B.抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C£+C；C)种

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有c\c^+种

D.抽出的3件中至少有I件是不合格品的抽法有C^-C*种

II.设函数/(力=29-3加+1,则()

A.当。=|时，/(x)有两个零点

B.当〃<()时，x=0是/(x)的极大值点

C.当"2时，点(1J⑴)为曲线尸/(X)的对称中心

D.当4>0时，y=/5)在区间上单调递增

三、填空题

12.若c；T=c『,则』的值为___.

13.函数/3=白2-2依+》的极值是.

14.在平行六面体力8CQ-4"C.中，已知底面四边形力8CQ为矩形，/彳/4=/4力。=120。，AA1=2,

AB=4D=1,则力C=.

四、解答题

15.已知函数/(x)="x+ax2+x(aeR),且/'⑴=4.

⑴求。的值;

(2)求函数/(x)的图象在点处的切线方程.

16.用0,1,2,3,4五个数字,问:

(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？

(2)可以组成多少个无重复数字的四位数？

(3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？

17.如图，长方体4G中，AB=BC=3,阴=4.七是棱eg上一点，且阳_L8。，交RC于点尸.

(1)求证：4。J_平面£8。：(2)求点A到平面48c的距离.

18.如图，在空间几何体力8。。尸£中，正方形尸。。后所在平面垂直于梯形44。。所在平面.43〃。。,

gs=l,点歹在线段X尸上，PF=1FA.

(1)求二面角力-尸8-。的正弦值;

(2)。为线段即上一点，若直线与平面8cp所成角的正弦值为殍，求线段做的长.

19.已知函数/(x)=xlnx-x.

⑴求“X)的最小值;

⑵若对任意的xc(0,+8)恒成立，求实数，〃的取值范围;

(3)若/是函数〃(x)=/(x)+/的极值点，求证：/(Jo)+3x0>0.

【详解】如图，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2,

则力(0,0,0),"(1,0,0),A(0,0,2),"(0,1,2),所以丽=(1,0,-2),丽=(0,1,2),

设异面直线D、M与DN所成的角为凡

r|丽•网44

则cos。=|cos^Z)1M,DA^|=

।丽H两।5

故选：D.

6.A

构造函数/@)=叱，利用导数研究/")的单调性，得到。最大，再变形利用y=lnx的单调性比较a,/)

x

的大小即可.

【详解】因为c=」=Ut，设八刈=叱，则八以=上空，

eexx~

当0<x<e时，f\x)>0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,

当工〉e时，f\x)<0,所以/(x)在(e,+8)上单调递减.

所以/a)在x=e时取到最大值，

所以/(e)>/(3),/(e)>/(2),即c>a,c>b.

因为a=*=ln&,/>=—=lnV3,

23

又因为(收了=8<(6了=9,所以五〈加，

因为y=lnx在(0,+8)上单调递增，

所以即。<方，所以c>b>a.

故选：A

7.B

利用插空法求解即可.

【详解】先排男生共有A；种方法，再排女生共有A：种方法，

由分步乘法计数原理可得满足条件的排法数为A；,A：=144,

故选：B.

8.C

当x>0时，构造函数月(力=£区，求导结合已知得其单调性，进而可得当0<x<l时，/(x)<0,当x>l

X

时，/(x)〉0,结合奇函数的性质即可进一步得解.

【详解】当x>0时，令尸(》)=&),则产，所以尸(力在(0,+8)上单调递增，

XA

当0<x<l时，F(x)=^-^<F(l)=/(l)=0,BP/(x)<0,

X

当时，BP/(x)>0,

因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(0)=0，/(-1)=-/(1)=0=/(1)，

当工<-1时，/(x)=-/(-x)<0,当-IvxvO时，/(戈)=-/(-力>0,

所以不等式/(x)>0的解集为(-犯-1)5°，1)・

故选：C.

9.BD

【详解】对于A,4与8关于平面)。z对称，则8(4,—3,2),a+/)+c=3,故A错误；

对于B,由共面向量定理易知得B正确：

141

对于C,因为故C错误；

636

对于D,Zg=(1,2,-2),AC=(2,m,n-2),因为4B,C共线，所以赤，衣共线，

所以?=t=T，所以〃?=4,〃=-2,加+〃=2,故D正确•

12-2

故选：BD.

10.ACD

【详解】对于A、B,抽出的3件中恰好有1件是不合格品，则包括一件不合格品和两件合格品，共有C；C；8

种抽取方法，故A正确B错误;

对于C、D,抽出的3件中至少有1件是不合格品，可以分为“有1件是不合格品”和“有2件是不合格品”两种

情况，“有1件是不合格品”有C；C1种抽取方法，”有2件是不合格品”有C；C1种抽取方法，所以共有

CO+C；C)种抽取方法.故C正确.

另外，“至少有1件是不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，其抽取方法有C2种，所以，油出的3件中

至少有1件是不合格品的抽取方法有C：oo-C>种.故D正确.

故选：ACD.

II.ACD

根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性.

【详解】已知/(x)=2/-3ax2+1,所以f(x)=6x2-6at=6x(x-a),

当a=l时，2?-3X2+1=(X-1)(2X2-X-1)=(X-1)2(2X+1)=0,方程有两个根，所以A正确，

当a<0时，/'(工)=6》*一。)>0的解集为(-00,4)0(0,物)，r(x)=6x(x-〃)<0的解集为(d0),

所以/(x)在(。，0)上单调减，在(0,+8)上单调增，所以/(%)在。处取极小值，所以B错误，

当a=2时，/(x)+/(2-x)=2X3-6X2+1+2(2-x)?-6(2-x)"+1=-6=2/(1),

所以/(x)关于(1J⑴)中心对称，所以C正确,

当a>0时，=的解集为(-8,0)5〃,+^),而(-8,-4)7(-8,0),所以/(力在(-00,-〃)上单

调递增，所以D正确.

故选：ACD

12.4或5

由组合数的性质，代入计算，即可得到结果.

(详解】由=C*3可得丫+|=2T—4或：r+l+2r—4=13,

解得x=4或x=5,

0<x+l<133

解得产xK8,且xeN,

OM2X-3G3

所以x的值为4或5.

故答案为：4或5

利用导数判断单调性，即可求出极值点，进而求出函数的极值.

【详解】由=2lnx+x的定义域为(O,+8),/,3=X_2+]=.+X-2=(X1)(X+2)

2xxx

当xe(O,l)时，/'(x)<0,则/⑶在(0,1)上单调递减：

当K・(1,+8)时，/'(r)>0,则/(丫)在(I,+3)上单调递增：

故"X)在工=1取得极小值为/⑴=；-21nl+l=,无极大值：

3

故答案为：

14.V2

______________LLU

取定空间的一个基底｛刀;，而,而｝,表示出4C；,再利用数量积的运算律求得答案.

【详解】在平行六面体ABCD-44GA中，N4/B=4/D=120°,AA｛=2,AB=AD=\,

---.——UUU

则44・48=44・力力=2x以8512。'=-1,而4314。，则45・4/)=()，

而藕=万+恋=益+而+熬，则莺2=(荏+而+麴)2

=方+而：赢2+2而而+2环方+2麴.而=4+14-1+0-2-2=2,

所以/C；=|而|=｛离2=五-

故答案为：o

15.⑴4=1；

(2)4x-y-2=0.

(1)求导即可代入求解，

(2)根据导数求解斜率，即可由点斜式求解.

【详解】(1)由/(x)=hu+a，+x,得/"(x)=：+2av+l,

又「⑴=4,

所以1+2。+1=4,解得。=1.

（2）由（1）知a=l,f（x）=x2+x+\nx,

.-./（l）=l2+l+lnl=2,即切点为（1,2）,

又/'（X）=2X+1+LrF（0,+oo）,

X

.•戊线的斜率为％=/'（l）=2+l+；=4,

故函数/（x）的图象在点（1，/⑴）处的切线方程为：y-2=4（x-l）,

gp4x-y-2=0.

16.（1）120

⑵96

⑶32

（1）直接全排列即可得答案；

（2）注意首位不能为0,从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答

案；

（3）分0在个位、2在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案.

【详解】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有A；=120个；

（2）首位不能为0,则有A：A：=96个;

（3）由题意，是偶数个位数必须是0,2,4.

分3种情况讨论：

①0在个位，十位必须比（）大，千位数字不能是（）且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字

选一个，所以共有4x3x2=24；

②2在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选

一个.有2x2x2=8种选法；

③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有24+8=32种情况.

17.（1）证明见解析

（1）分别以AD,为'轴、•>'轴I、N轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可;

（2）设平面44。的一个法向量为比=（x,乂z）,求出法向量，利用向量法求解解.

【详解】（1）如图，分别以月8,AD,力4为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

J(0,0,0)，4(0,0,4),5(3,0,0),D(0,3,0),C(3,3,0),与(3,0,4),

因为七在以71上，故可设E（3,3j）,又

所以诟麻=(O,3j)・(O,3,-4)=0+9-4/=0,解得/=(,

所以43,3,*

.•.示二(3,3,-4)屈［0,3,()屏=卜,0,(

_____9______Q

J,Ci?E=3x0+3x34-(-4)x-=0,J.CDf=3x3+3x0+(-4)x-=0

/•4C15E，4C1DE,即4CJ_4E，4C_LOE

•;BERDE=E,BE,DEu平面E8D.

所以4C_L平面

（2）设平面48c的一个法向量为所=（x,乂z）,

嘉=（3,0,0）麻=（0,3,-4）,

则」A.B.m=0

B}Cm=0

x=()

3y=4z'

4(4

令z=l,得丁=々，所以得而:0,-,1

JIJ

•.*AA.=（0,0,4）,

AA^n412

所以所求的距离为1二下厂=5=不；

3

18.（1）答案见解析

⑵噜

（1）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，进而得到正弦值：

（2）根据。为线段所上一点，设或二/屋（0K/IK1）,,利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值列

式即可求解.

【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得PO1QC,因为平面PQCKJ■平面力4。。，平面QQCEc平面

ABCD=CD,

PDu平面尸DCE,PD1DC,所以汽.平面

乂DA,QC在平面力4c。内，所以产QJ_D4,PD1DC,

由N4DC=90'得/。_LQC,

以｛。%觉,。耳为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P（0,0,2）,4（1,0。，8（1,1,0）,C（0,2,0）,

所以方二（1』,-2）,而二（-1,1,0）,而二（0,1,0）,

设平面P8C的一个法向量为所=(x,y,z).

in♦PB=0,x+y-2z=()»

则4明

玩.比=o,-x+y=0,

取x=l,贝I」而=（1』,1）,

设平面ABP的一个法向量为万=（天,,,zJ,

n-AB=0,乂=0,

则一叫

H,PB=0,xx+y{-2zj=0,

取士=2,则方=(2,0,1),

--mn2+1V15

所以"见〃=而飞+|+]."+。+广T'

所以二面角力-尸8-C的正弦值为典.

5

(2)设匝=2厚(04/IW1),鹿=

贝IJ与0=脐+用=而+4厚=(一/+=

因为4。与平面BCP所成角的正弦值为乎，

1--I--2

所以卜os(声,丽〉卜京』=--/丁=4,

阳网/JV56A2-16A+143

3

解得4=1或-g,因为0W/IW1,所以九二1,

故FQ=FE=J^=半.

19.(1)-1

⑵E2]

(3)证明见解析

(1)求得/'(》)=Inx,得出函数/")的单调区间，进而求得函数“X)最小值；

222

(2)根据题意，转化为加工lnx-1+巨在xw(0,+oo)恒成立，令g(x)=lnx-1+三，求得/(力二=1,得

XXx~

出函数g(x)的单调性,求得g(x)的最小值,即可得到答案.

令g'(x)=0,解得x=e"

/?r-4-I

(3)由函数/i(x)=xlnx—x+x2,求得/«x)=lnx+2x,令〃(x)=lnx+2%，求得