立体图形 专项训练（四种考法）解析版-2024七年级数学上册（北师大版）

立体图形期中专项训练（四种考法）

考点归纳

考点01几何体的点、棱、面

考点02从不同方向看几何体

考点U3点、棱、面之间关系

考点04几何体的表面积与体积

考点专练

考点01几何体的点、棱、面

1.若一个楂柱有24条棱，则它的底面一定是（）

A.四边形B.六边形C.八边形D.十二边形

【答案】C

【分析】本题考克认识立体图形，掌握棱柱的顶点、面数和棱的条数是正确判断前提.根据〃棱柱中棱的条

数为3〃，由棱的总条数为24,可求出答案.

【详解】解：〃棱柱有3〃条棱，又24+3=8,因此底面是八边形，

故选：C.

2.如果一个〃棱柱总共有21条棱，那么这个〃棱柱有个顶点.

【答案】14

【分析】本题主要考查棱柱的定义及面、棱、顶点的个数之间的关系，根据点、面、棱的关系进行求解即

可，熟练掌握棱柱的基本性质是解题关键.

【详解】解：•.•〃棱柱有（〃+2）个面，有条棱3〃，有2〃个顶点，

••・当棱柱总共有21条棱，

得3〃=21,

二〃=7,

:.2〃=2x7=14,

故答案为：14.

3.由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把

大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆.那么大立方体被涂过油漆的面

数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】题目主要考杳立方体的逻辑判断，理解题意是解题关键

设大立方体棱长为。，显然〃>3；若〃=6,即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有4?=64个，大于45,

确定〃=4或5,除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长宽高为。，b,c,结合题

意求解即可

【详解】解：若〃=6,即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有43=64个，大于45.

二〃=4或5.

除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，

设其和长宽高为a,b,c,

贝ija力e=45,月.4,b,c«5,

•••只能是3x3x5=45,

即。=5,它的4个面油漆过.

故选:D.

4.如图所示的几何体是由_______个面组成的，其中平面有个，曲面有个；面与面相

交形成条线，其中直线有条，曲线有条.

【答案】541972

【分析】本题考查了几何体的构成要素及其分类的知识点，包括面（平面与曲面）、线（直线与曲线）的识

别与计数，解题关键在于准确观察几何体结构，区分不同类型的面和线，并正确计数.先观察几何体，分

别数出组成几何体的面的数量，再区分平面和曲面；接着数出面与面相交形成线的数量，再区分直线和曲

线.

【详解】解：观察儿何体可知，该几何体有上下两个底面（扇形），还有侧面（由2个长方形平面和1个

曲面组成），总共2+2+1=5个面；

其中平面有上下底面中的扇形的面和2个长方形侧面，共2+2=4个平面；

曲面有1个（即侧面中圆形对应的曲面部分）；

面与面相交形成线，上下底面的边以及侧面的边，总共3+3+3=9条线；

其中宜线有上下底面中扇形的边和2个长方形侧面的边，共4+3=7条直线：

曲线有2条（即上下底面中扇形的弧）.

故答案为：①5；②4；（3）1；@9；⑤7；⑥2.

5.工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴

地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有个，2个面涂色的有个.

/

【分析】本题考查了正力体的特征，解题的关键是根据大正力体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面

小正方体的位置和数量.

先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量.

【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的

小正方体是3个面涂色的：1x4=4(个)，

2个面涂色有：2x4+3x4

=8+12

=20(个)

所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个.

故答案为：4；20.

6.图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm,侧棱长是5cm.观察这个棱柱，请回答下列问题：

，、

X/

⑴这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？这个七棱柱的侧面积是多少？

⑵这个七棱柱共有多少条棱？它们的长度和是多少？

⑶这个七棱柱共有多少个顶点？

⑷通过对七棱柱的观察，你能说出〃棱柱共有几个顶点？几条梭？几个面吗？

【答案】(1)9,上、下两个底面是七边形，侧面是长方形，70cm2

(2)21,63cm

⑶14

⑷2",3〃，(〃+2)

【分析1本题考查了棱柱的基本特征，包括面、棱、顶点的数量及侧面积计算，解题的关键是理解直棱柱

的结构特点，明确〃棱柱中面、枝、顶点数量的规律.

(1)直棱柱的面包括上下两个底面和侧面，底面为〃边形时侧面有〃个；侧面积为底面边长乘侧棱长再乘

侧面数量.

从正面看从上面看

【答案】14

【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，较强的空间想象能力是解题的关键.

从正面看可以分清物体各部分的上下和左右位置；从上面看可以分清物体各部分的左右和前后位置，据此

进行分析即可解答.

【详解】解：综合从止面看和从上面看到的图形可知：这个几何体的底层最多要3+2+1=6个小立方块；第

二层最多要3+2=5个，第三层最多要3个，因此这样的几何体最多要6+5+3=14个.

故答案为14.

9.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形

中的数字表示在该位置上的小S方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个儿何体的形状图.

从正面看从左面看

【答案】见解析

【分析】根据从正面看，从左面看的画图要求，画图解答即可.本题考查了几何体的从不同方向看，熟练

掌握几何体的画法是解题的关键.

【详解】解：根据图中所示的小正方体的个数，

如图所示：

从正面看从左面看

10.如图①所示，在平整的地面上，用多个棱K都为2cm的小王方体堆成一个几何体.

从正面看从左面看从上面看

图②

⑴一共有一个小正方体;

(2)在图②中画出这个几何体从正面、左面与上面看到的形状图，并求这个几何体的表面积;

⑶如果现在还有一些楼长都为2cm的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再

添加一个小正方体.

【答案】(1)10

⑵图见详解，168cm?

(3)5

【分析】本题考查从不同位置看简单组合体、儿何体的表面积等知识点.

(1)根据图①可直接进行求解；

(2)根据几何体的特征可作图，进而先确定出表面正方形的个数，然后求出表面积即可;

(3)在从上面看到的形状图上的相应位置添加相应数量的正方为，直至最多即可解答.

【详解】(1)解：由图①可知一共有10个小正方体；

故答案为10;

(2)解：所作图形如下：

从正面看从左面看从上面看

二这个几何体的表面积=(7x2+7x2+7x2)x2*=I68cm?；

(3)解：如图：在从上面看到的形状图上摆放相应数量的小正方体，使其从上面看到的形状图和从左面看

到的形状图都不变,

所以最多可以添加2+1+2=5个.

故答案为：5.

11.如图，是由一些校长都为1的小正方体组合成的简单几何体.

（第24题）从正面看从左面看从上面看

⑴该儿何体的表面积（含下底面）为;

⑵请画出这个几何体分别从正面、左面、上面看到的平面图形；

⑶如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从上面看到的图形不变，

那么最多可以再添加个小正方体.

【答案】（1）28

（2）见解析

⑶2

【分析】本题考查了从不同方向看几何体；

（1）有顺序地计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可；

（2）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1,3,2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数

依次为3,1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1,2,1,依此画出图形即可；

（3）根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可知添加小正方体是中间1列前面的2个，依此即可求

解.

【详解】（1）解：（4x2+6x2+4x2）x（lxl）

=（84-12+8）x1

=28x1

=28

所以该几何体的表面积（含下底面）为28,

故答案为：28.

（2）如图所示：

从正面看从左面看从上面看

（3）添加小正方体是中间1列前面的2个，最多可以再添加12个小正方体

故答案为：2.

考点03点、棱、面之间关系

12.阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体.三棱锥有四个面,

所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体.

⑴探索：如果把一个多面体的顶点数记为匕棱数记为E，面数记为R填表：

多面体VFEV+F-E

四面体46

长方体62

五棱柱107152

（2）猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？

⑶应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公

式.根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？

【答案】（1）见解析

（2）K+F-£=2

⑶不会有

【分析】本题考查了简单多面体的顶点数K面数广及棱数E间的关系为：K+F-E=2.这个公式叫欧拉

公式.公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律.

（1）分析题意，由题中所给的多面体，不难求得多面体的顶点数、棱数、面数，即可完成表格；

（2）接下来，观察表格中的数据便不难得到简单多面体中顶点数（/）面数（/）棱数（E）之间的关系；

（3）根据已知数据，结合顶点数八面数尸及棱数£间的关系，即可作出判断.

【详解】（1）解：填表如下：

多面体VFEV+F-E

四面体4462

长方体86122

五棱柱107152

（2）解：多面体的顶点数人棱数E、面数尸满足关系式：，+F-E=2：

（3）解：不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点，

••・假如会有，

则P+尸一£=2,

根据题意：将P=20,/=10,E=30代入得，K+F-E=20+10-30=0,K+F-E=0,与P+F-E=2矛盾,

•••不会有.

13.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题:

四面体长方体正八面体正十二面体

⑴根据上面多面体模型，完成表格：

多面体顶点数（P）面数3）棱数（£）

四面体44—

长方体8612

正八面体—812

正十二面

201230

体

你发现顶点数（刀、面数"）、棱数（E）之间存在的关系式是

⑵一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是面体.

【答案】（1）6,6,V+F-E=2

⑵七

【分析】本题主要考查立体图形的特点，一元一次方程的运用，理解表格信息是解题的关键.

（1）根据题意图形的特点分析即可求解：

（2）根据（1）中的结论，设多面体的面数为x,则顶点数为x,由此列式求解即可.

【详解】（1）解：根据图示得到，四面体的棱数为6,正八面体的顶点数为6,

•.•4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,

."+产-E=2

故答案为：6,,6,V+F-E=2,

（2）解：设多面体的面数为4,则顶点数为x,

x4-x-12=2,

解得，x=7,

•••这个多面体是七面体，

故答案为：七.

14.如图，观察下列几何体并回答问题：

三桥林四榜林六桥林三桥锥四樽锥六榜锥

(1)棱柱有个面、条棱、个顶点，〃棱锥有个面、

条棱、个顶点；

⑵斫有像二棱杆、四棱柱、六棱柱、一:棱锥等这样由四个或四个以上多动形所围成的立体图形叫作多而

体.经过前人归纳总结发现，多面体的面数尸、顶点个数M以及棱的条数E之间存在着一定的数量关系.

①继续观察如图所示多面体，并办表格填写完整：

图①图②图③

面数(F)顶点数(H棱数(E)

图①

图②

图③

②分析表格中的数据•，你能发现“、八E三者之间有何关系

【答案】⑴(〃+2,3〃,2〃,(〃+1),方,(〃+1)

(2)①见解析；@F+V-E=2

【分析】本题主要考查了棱柱和棱锥，

对于(1),根据棱柱的面数比侧面数多2,棱数是侧面数的3倍，顶点数是侧面数的2倍；再根据棱锥的面

数比侧面多1，棱数是侧面数的2倍，顶点数比侧面数多1,可解答；

对于(2),分别数出面数，顶点数，棱数，可解答①，再根据三个数的关系解答②.

【详解】(1)解：〃棱柱有(〃+2)个面，3〃条棱，2〃个顶点，〃棱锥有(〃十1)个面，2〃条棱，(〃十D个顶

点；

故答案为：5+2)；3/i；2w：(〃+1)：2〃；(〃+1)；

(2)解①：图①的面数为7个，顶点数为9个，棱数为14条：

图②的面数为6个，顶点数为8个，棱数为12条；

图③的面数为7个，顶点数为10个，楂数为15条；

列表如下：

面数（F）顶点数（P）棱数（E）

图①7914

图②6812

图③71015

②表格中的数据，你能发现F,V；E三者之间的关系为：F+V-E=2.

故答案为：F+V-E=2.

15.观察如图所示的几何体，回答下列问题：

⑴填写表格:

图形名称底面边数侧面数侧棱数顶点数

图①三棱柱

图②四棱柱

图③六棱柱

⑵根据（1）中的结果，猜想楂柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系.

⑶根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数.

【答案】⑴见解析；

（2）棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数x2：

（3）20,20,40.

【分析】本题考查了多面体尤其是棱柱的基本概念和属性，包括底面边数、侧面数、侧棱数及顶点数之间

的关系，以及通过观察具体实例归纳•般规律的能力.解题的关键在于准确识别和计算给定几何体的各项

数值，进而发现并应用棱柱的底面边数与侧面数、侧棱数、顶点数之间的固定关系，即楂柱的侧面数和侧

棱数均等于其底面边数，而顶点数则是底面边数的两倍.

（1）通过观察几何体的特征来确定各项数值：

（2）根据（1）的结果找规律；

（3）利用（2）得出的规律计算.

【洋解】（1）解：填表如下：

图形名底面边侧面侧棱顶点

称数数数数

图

三棱柱3336

①

图

四棱柱4448

②

图

六棱柱66612

③

（2）棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数x2

（3）二十棱柱的侧面数是20、侧棱数是20、顶点数是40.

考点04几何体的表面积与体积

16.综合与实践

【问题情境】在一次数学实践活动课上,同学们利用一张边长为20cm的正方形纸板开展了“长方体纸盒的

制作”实践活动

①

（1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是.（填序号）

【操作探究】如图2,勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为5cm的小正方形，再沿虚线折

合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒.

如图3,善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,

再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒.

【计算分析】

（2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为cm；

②图3中的长方体纸盒的体积为cm3;

【问题解决】

（3）请你利用边长为20cm的正方形纸板制作一个长方体纸盒：无盖，自盖均可），仿照图2,图3的绘图

方式，画出2种不同的裁剪设计图.

【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析

【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键.

（1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可；

（2）①根据裁剪方法得出底面是边长为10cm的正方形即可：②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体

的体积的计算方法进行计算即可；

（3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可.

【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之〃可得，是无盖正方体的表面展开图的是①，

故答案为：①；

（2）①图1中的正方体的底面是边长为20-5x2=10（cm）的正方形，因此底面周长为10x4=40（cm）,

故答案为：40；

②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为20-3x2=14（cm）,宽为;x20-3=7（cm）,高为3cm,

所以体积为14x7x3-294（cm）

故答案为：294；

（3）利用边长为20cm的正方形纸板，利用按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用按照

图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒.

图3

17.（-）实践准备

李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有

盖或无盖）.

（二）操作探究

（1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有"南，阳，值，得，三，顾〃

（2）“爱数组〃准备制作一个无盖的正方体纸盒，则卜列（填字母）图形经过折叠能闱成无盖正方

体纸盒.

（3）如图2,这是一张长为23cm、宽为18cm的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子.上下各留宽度均为4cm

的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身.如图3,将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形

大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多1cm.把图3中的包装纸折成图4中的

牛奶盒子，想要装下280cm2的牛奶是否能成功？为什么？

23cm牛奶盒身①②③④②

H—18cm-H

图2图3图4

【答案】（1）得；（2）C；（3）能成功，见解析

【分析】本题主要考查了正方体与K方体展开图的认识，熟知正方体与K方体展开图的特点是解题的关键.

（1）正方体展开图中，相对的面的中间一定隔着一个面，据此特点求解即可；

（2）制作一个无盖的正方体纸盒，则该纸盒的展开图有5个小正方形，据此可得答案；

（3）求出牛奶盒身的宽，再分别求出①和②的宽，进而求出牛奶盒的容积即可得到结论.

【详解】解：（1）由正方体展开图的特点可得“阳”相对面的文字是“得"；

（2）•••制作一个无盖的正方体纸盒，

•••该纸盒的展开图有5个小正方形，

••.四个选项中只有C选项符合题意；

（3）能成功，理由如下：

牛奶盒身的宽为23-2x4=15cm.

已知②号长方形的宽比①号多1cm，

则①号长方形的宽为（18-2）+4=4cm,

所以②号长方形的宽为4+1=5cm,

此时牛奶盒子的容积为15x4x5=300cm3.

V300>280,

•••装下280cm3的牛奶能成功.

18.【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版数学课本七年级上册的课题学习内容，某综合实践

小组参考这一课题中的内容，开展了“制作长方体纸盒〃的实践活动.

【问题解决】

⑴在如图1所示的四个图形中，能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是（填序号）.

①②③④

图1

⑵该小组利用边长为acm的正方形纸板设计了如下两种不同的制作长方体纸盒的方案.

①按如图2所示的方案制作一个无益的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去4个边长为

加m的小正方形，再沿虚线折叠纸板.若a=30cm,b=7cm,则该无盖长方体纸盒的底面周长为

_______cm.

②按如图3所示的方案制作一个有盖的长方体纸盒，其操作步骤为：先在纸板的四个角上剪去2个边长为

em的小正方形和2个同样大小的小长方形，再沿虚线折当纸板.若。=3（）cm,c=5cm,求该有盖长方体

纸盒的体积.

【答案】⑴①②④

（2）①64：②100（W

【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折

叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键.

（1）根据长方体的展开图特征求解即可；

<2）①由折叠可得底面是边长为。-2方的正方形，进而求出底面周长即可：②由展开与折叠可知，折叠

成长方体的长、宽、高分别为。-2°、言\c,根据体积公式进行计算即可.

【详解】（1）解：能够通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①②④，故答案为：①②④：

（2）①该无盖长方体纸盒的底面周长为4（"2b）=4x（30-2x7）=64cm,

故答案为：64；

②该长方体纸盒的长为〃—2c=30—2x5=20cm,宽为三丝=；'=IOcm,高为c=5cm,

该有盖长方体纸盒的体积为20xl0x5=1000cm3.

19.综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.

【操作探究】（1）综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图1中只有四个正方形，请在原图上补

画一个正方形，使其经过折叠能闱成无盖的正方体纸盒：

【问题解决】（2）图2是综合实践小组的设计图，把它折成无益的正方体纸盒后与有“卫〃字一面的相对面

上的字是;（字在盒外）

【拓展探究】（3）如图3,有一•张边长为20cm的正方形废弃宣些单，小华准备将其四角各剪去一个相同的

小正方形，折成一个无盖长方体纸盒.当四角剪去的小正方形的边长为4cm时，请求出纸盒的容积.（纸张厚

度忽略不计）

【答案】（1）画图见解析（答案不唯一）；（2）“大〃；（3）576cm3

【分析】（1）根据题意画出图形即可；

（2）根据正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形进行解答即可求解；

（3）根据长方体体积公式计算即可：

本题考查了正方体的展开图，长方体的体积，正确识图是解题的关键.

【详解】＜1）画图如下：

图1

（2）•••正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形,

・•・“卫"和"大"相对,

故答案为："大”；

（3）纸盒的容积=（20-8）x（20-8）x4=576（cm3）.

答：纸盒的容积为576cmM

20.综合实践

“长方体纸盒的制作〃实践活动

走进商场，各种各样的商品琳琅满目，

其中很多商品有着形形色色的包装

盒.作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家

素