九年级数学下册同步讲义（人教版）第9课 相似 单元检测

第9课相似单元检测

一、单选题

1.如图，以点。为位似中心，把一A8C放大为原图形的2倍得到以下说法中错误的是()

A.AA8csB.点C、点。、点C三点在同一直线上

C.AO:A4'=1:2D.AB|A!B'

【答案】C

【分析】

根据位似的性质解答即可.

【详解】

解：:以点0为位似中心，把^ABC放大为原图形的2倍得到△ABC,

A3c与V4UU是位似三角形，

点C、点。、点C'三点在同一直线上，故A、B、D正确：

•一AOB-△A'OB',

;

OA：OA=AB:A'B'=1：2,

/.OA：AAZ=1：3,故C错误;

故选：C.

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，位似变换的两个图形必须是相似形；对应点的

连线都经过位似中心；对应边平行.

2.如图，D、E是AB的二等分点，DFIIEGIIBC,图中三部分的面积分别为S】，Sz,S§,则S】；S2；S产()

A.1：2：3B.1：2：4C.1：3：5D.2：3：4

【答案】C

【分析】

根据平•行线分线段成比例的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算可得解.

【详解】

•.”、E是AB的三等分点,且DFIIEGIIBC,

AADF-△AEG,

DFI

---=一，

EG2

-=p即Si：S=l：3,

AEG42

同理S产3=1,

ARC、

Si：S3=l：5,

Si：S2：$3=1：3：5,

故选C

考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质.

3,《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，

量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，

量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1

尺=10寸），则竹竿的长为（）

千L

•标_\•

:杆I..

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【答案】B

【分析】

根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.

【详解】

设竹竿的长度为X尺，

,•・竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

.x_1.5

百一话，

解得x=45(尺),

故选B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.

4.如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(・1,0),以点C为位似中心，在x轴的下

方作△ABC的位似图形△NBC,且△ABC与△ABC的位似比为2：1.设点B的对应点的横坐标是a,则

点B的横坐标是()

A.——aB.——(fl+l)C.——(«-1)D.——(。+3)

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

设点B的横坐标为X,然后表示出BC、B£的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算，

【详解】

设点B的横坐标为x,则B、C间的横坐标的长度为-1-x,B:C间的横坐标的长度为a+L

・・,匕ABC放大到原来的2倍得到△ABC,

2(-1-x)=a+l,

解得x=-；(a+3),

故选：D.

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边

的比列出方程是解题的关键.

5.已知2且a+b-2c=9,则。的值为（）

654

A.3B.12C.15D.18

【答案】D

【分^5】

利用已知用同一未知数表示出a,b,c的值，进而计算得出答案.

【详解】

」.设a=6x,b=5x,c=4x,

a+b-2c=9,

6x+5x-8x=9,

解得：x=3,

故a=18.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键.

6.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME±AM,ME交CD于点F,交AD的延长线于点E,若AB

=4,BM=2,则4DEF的面积为（）

【答案】A

【分析】

由勾股定理可求AM的长，通过证明△ABM-△EMA,可求AE=10,可得DE=6,由平行线分线段成比例可

求DF的长，即可求解.

【详解】

解:•/AB=4,BM=2,

••AM=VAB2+BM2=V16+4=2X/5，

四边形ABCD是正方形,

/.ADIIBC,ZB=NC=90°,

/.ZEAM=ZAMB,且NB=NAME=90°,

“ABM-△EMA,

BMAM

AM

,2二

"证.正

：.AE=10,

/.DE=AE-AD=6,

---ADIIBC,即DEIIMC,

：.匕DEF-△CMF,

DEDF

"~\1C~~CF'

DF6

-----=--------=3,

CF4-2

,/DF+CF=4,

/.DF=3,

1

SADEF=—DExDF=9,

2

故选:A.

【点睛】

本翅考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行

推理计算是解决问题的关键.

7.如图，Z1=Z2,则下列各式不能说明△A8O△45£的是（)

ADAEADDE

Z£=NCC.=——D.-----=------

ABACABBC

【答案】D

【分析】

根据N1=N2,可知NDAE=N8AC,因此只要再找一组角或一组刈应边成比例即可.

【详解】

解：4和8符合有两组角对应相等的两个三角形相似;

C、符合两组时应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；

D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似.

故选

【点睛】

考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角

相等，则两个三角形相似：③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

8.如图，在内△ABC中，ZC=90%AC=BC=6cm,点P从点A出发，沿AB方向以每秒及cm的速度向终点

B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将APQC沿BC翻折，点P

的对应点为点设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP，为菱形，则t的值为（）

A.>/2B.2C.272D.3

【答案】B

【分析】

首先连接PP'交BC于0,根据菱形的性质可得P，_LCQ,可证出POIIAC,根据平行线分线段成比例可得

APrn

笠=岩，再表示出AP、AB、C0的长，代入比例式可以算出t的值.

ABCB

【详解】

解：连接PP咬BC于0,

V若四边形QPCP'为菱形,

FP'_LQC,

ZPOQ=90°,

ZACB=90°,

/.POIIAC,

,AP=CO

设点Q运动的时间为t秒，

/.AP=V2t,QB=t,

/.QC=6-t,

C0二3二，

2

AC=CB=6,ZACB=90°,

AB=60，

扬=3

6&一6

解得：t=2,

故选B.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例；等腰宜角三角形及菱形的性质.

9.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰RtAABC和等腰RtAADE,其中NABC=NAED=90。，CD

与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论：®ACAM-△DEM；（2）CD=2BE；③MP・MD=MA・ME；

④2cB2=CP・CM.其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②③④D.①③④

【答案】D

【分析】

①求出NCAMNDEM=90°,根据相似三角形的判定推出即可；

②求出△BAE”△CAD,得出比例式，把AC=&AB代入，即可求出答案；

③通过等积式倒推可知，证明△PMEs△AMD即可；

④2cB2转化为AC2,证明△ACP-△MCA,问题可证.

【详解】

在BD的同侧作等腰RtAABC和等腰RtAADE,ZABC=ZAED=90°,

ZBAC=45°,ZEAD=45°,

/.ZCAE=1800-45o-45o=90o,

即/CAM=ZDEM=90°,

•/ZCMA=ZDME,

CAM-△DEM,故①正确；

由已知：AC=V2AB,AD=V2AE,

.ACAD

,：ZBAC=ZtAD

ZBAE=ZCAD

:.匕BAE-△CAD,

嚏啮噎造,即CDa故②错误；

•「4BAE-△CAD

/.ZBEA=ZCDA

•/ZPME=ZAMD

:.匕PME-△AMD

.MPME

一而一丽’

MP・MD=MA・ME,故③正确；

由②MP・MD=MA・ME

NPMA=ZDME

:.匕PMA-△EMD

ZAPD=ZAED=90°

,/ZCAE=1800-ZBAC-ZEAD=90°

:.匕CAP-ACMA

AC2=CP«CM

AC=V2AB,

/.2CB2=CP*CM,故④正确；

即正确的为：①③④，

故选D.

【点睛】

本寇考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和

比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案.

10.如图，四边形488中，ADWBCtZABC=90°f48=3,4D=4,8c=36，动点P从4点出发，按

的方向在48和8c上移动，记PA=x,点。到直线外的距离为y,则V关于x的函数图象大致是（)

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况：（1）当点P在48上移动时，点D到直线外的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时,

1?

根据相似三角形判定的方法，判断出△%8s即可得出y=」（3<x<6）,据此判断出y关于x的函

x

数大致图象是哪个即可.

【详解】

根据题意，分两种情况讨论：

（1）当点P在AB上移动时，点D到直线外的距离为：片。4=4（0次S3）,即点。到雨的距离为八。的长

度，是定值4；

（2）当点P在8c上移动时.AADP的面积不变，

为S.®=gx3x4=6

文:sA",=-xy

12

y=——（3Vx46）.

x

综上，纵观各选项，只有D选项图形符合.

【点睛】

本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种

情况讨论.

11.如图，8csAADE,N8AC=NDA£=90。，48与。£交于点。，4B=4,AC=3,F是DE的中点，连

接BD,BF,若点E是射线CB上的动点，下列结论：®AAOD-乙FOB,（2）ABOD-△EOAt③/FDB+ZFBE

)

C.②③D.②③④

【分析】

首先证明&八。。~二反犯，推出一3。。~二£。4,再证明/。£近=90°,可得②③正确，利用直角三角形斜边

中线的性质即可判断④正确.

【详解】

ABCADE,

•••ZJ\0D=/LOBE,

JZAOD=ZBOE,

&AOD~_EOB,

ODOA

——=——,

OBOE

ODOB

——=——,

OAOE

•••NBOD=ZAOE,

：-BOD~.EOA,故②正确，

；&AODyEOB,工BOD“EOA,

ZADO=AEBO,ZAEO=ZDBO,

•JZADO+ZAEO^90°,

NDBE=ZDBO+NEBO=90°,

4/DF=EF,

FD=FB=FE,

NFDB=/FBD，

；.NFDB+/FBE=/FBD+NFBE=9O。,故③正确；

在R"A6C中，＜A〃=4,AC=3,

8c=五+42=5,

•,_A8C—AOE,

DEBC5

二.——=——=-，

AEAC3

・•BF=-DE,

2

1BF5

----=-,

AE3

•.BF="E,故④正确；

6

丁ZADO=/OBE,

ZADO^/OBF,

••・无法判断_AOO~A凡归，故①错误.

故选。.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练学

握基本知识，属于中考常考题型.

12.如图，直线k-三十贴＞2）与X轴，J轴分别交于“，G两点，边长为2的正方形O/SC的边OA,

OC分别在入轴，）轴上，点“在第一象限，正方形OA8C绕点“逆时针旋转，04的对应边。:4恰好落在直

线GH上,则人的值为（）

A.4石B.—C.5D.6

6

【答案】C

【解析】

【分析】

连接GB并延长交x轴于点D,过点D作DM±GH于点M..利用角平分线的判定定理易证GD平分NOGH,

再根据角平分线的性质证明DO=DM,根据直线解析式解得OG=b=MG,0H=—12b,由勾股定理得GH=13^b,

JJ

因为CBIIOD,所以△GCB-AGOD,根据相似三角形的性质可行；柒一黑，即毕一吴，解得

GOODbOD

lb

OD=3=DM,再证明AHDIVIsZiHG。，所以察=空，即铲=♦，解得：0=0（舍去），b2=5o

b-2MHOH3b"

55

【详解】

解：连接GB并延长交x轴于点D,过点D作DM_LGH于点M..

BC_1_OG于点C,BA，_LGH于点A)BC=BA，=2,DO_LOG于点O,DMJ_GH于点M,(易证M与。重合)

GD平分NOGH,DO=DM,

又「GD=GD,

RtAGOD合RtAGMD(HL)

/.OG=MG

.・・直线丁=-青+帅＞2)与4轴，y轴分别交于“，G两点，

1213

/.OG=b=MG,0H=—b,由勾股定理得GH=，b,

55

81

MH=GH-MG=-b,

5

,/CBIIOD,

二4GCB-△GOD

GCCB/7-222b…

---=,即HI-I---=，解得0D=--------=DM,

GOODbODb-2

易证△HDM~△HGO,

2b

二黑二卷，即铲=*'解得：也=°（含去），b2=5,

MHOH生乜方

55

故选：C.

【点睛】

本题考查一次函数的图形性质，勾股定理，相似三角形判定定理和性质定理，解题关键是熟练掌握相似三

角形判定定理和性质定理.

13.如图，已知£、F分别为正方形A8CD的边48,8C的中点,4F与DE交于点则下列结论：①NAME=90。；

2

②乙BAF=NEDB；@MD=2AM=4EM；@AM=^MF.其中正确结论的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90\再根据中点定义求出AE=BF,然后利用“边角边"证

明么ABF和^DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得NBAF=ZADE,然后求出/ADE+ZDAF=ZBAD=90°,

从而求出/AMD=90。，再根据邻补角的定义可得NAME=90。，从而判断①正确；根据中线的定义判断出

ZADE。/EDB,然后求出NBAF。/EDB,判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出^AED、△MAD、△MEA

三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得萼=萼=当=2,然后求;|；MD=2AM=4EM,判断

EMAMAE

出⑶正确，设正方形ABCD的边长为2a,利用勾股定理列式求巴AF,再根据相似三角形对应边成比例求出

2

AM,然后求出MF,消掉a即可得至IJAM=：

MF,判断出④正确.

【详解】

解：在正方形ABCD中,AB=BC=AD,ZABC=ZBAD=90°,

•••E、F分别为边AB,BC的中点，

/.AE=BF=-BC

2

在AABFDAE中,

AE=BF

<ZABC=/BAD

AB=AD

:.匕ABF=△DAE(SAS),

ZBAF=ZADt,

ZBAF+ZDAF=ZBAD=90°,

ZADE+ZDAF=ZBAD=90°,

ZAMD=180°-(ZADE+ZDAF)=180°-90o=90\

ZAME=180°-ZAMD=180o-90°=90°,故①正确；

DE是^ABD的中线，

/.ZADE*ZEDB,

ZBAF#ZEDB,故②错误;

,/ZBAD=90°,AM±DE,

../AED-△MAD-△MEA,

.AM__A。_o

：.AM=2EM,MD=2AM,

/.MD=2AM=4EM,故③正确;

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,

在RtAABF中,

A产=4AB、BF?=J(2〃)2+々2=6〃

,/ZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

AME-4ABF,

.AMAE

AMa

即方=夜

MF-AF-AM-x[5a-a-2^a

55

2

AM=-MF,故④正确

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股

定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形

是解题的关键.

14.如图，已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE,作EFLAE交/BCD

的外角平分线于F,设BE=x,AECF的面积为y,下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

【答案】B

【解析】

试题分析：如图，过点E作EH_LBC于点H,

四边形ABCD是正方形，・••NDCH=90°.

---CE平分/DCH,「.ZECH=^ZDCH=45°.

2

•/ZH=90\ZECH=ZCEH=45°./.EH=CH.

四边形ABCD是正方形，AP±EP,AZB=ZH=ZAPE=90°.

ZBAP+ZAPB=90%ZAPB+ZEPH=90°.ZBAP=ZEPH.

••・ZB=ZH=90%ABAP-△HPE.泊景即鼻呜.二EH=x.

..y=1xCPx=1(4-x)x=-jx2+2x(0<x<4],它的图象是抛物线的•部分.

故选B.

考点：1.单动点问题；2.由实际问题列函数关系式；3.正方形的性质；4.相似三角形的判定和性质.

15.如图，在用AA3C'中，Z/WC=9O°,«/1=«C.点。是A8的中点，连结C。，过点8作SG_LC。，分

别交C。、CA于点E、F,与过点A且垂直于A8的直线相交于点G,连结。尸.给出以下四个结论:

（3）AF=^-AB;④S“BC=6S相DF，其中正确的个数是1）

C.2D.1

【答案】B

【分析】

用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB-△BDE,求出相关线段的长；易证△GAB^△DBC,

求出相关线段的长；再证AGIIBC,求出相关线段的长，最后求出△ABC和aBOF的面积，即可作出选择.

【详解】

解•：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

设A8=8C=2,则4c=2&,

二,点。是的中点，

AD=BD=1,

在RSD8C中，DC=M，（勾股定理）

,/BG±CD,

/.ZDEB=NA8C=90°,

又TZCDB=NBDE,

/.cCD8s△BDE,

处q二型，即

：.ZO8E=/DCB,

DEBDBEDE1BE

•T'昔,

NDBE=/DCB

在八GA8和△D8C中，，AD=BC

NGAB=ADBC

/.匕GAB^△DBC(ASA)

：.AG=DB=1,BG=CD=后,

---ZGAB+Z.ABC=130°,

/.AGWBC,

/.AAGF-△CBF,

,若=W==；，且有48=8C,故①正确,

CoCrHr2

G8=5AC=2y[2,

AF=AB.故③正确，

GF=专,FE=BG-GF-BE=y^,故②错误，

S△丽=：48・4C=2,5ABDF=^-BF*DE=^^^-X—=^,故④正确.

222353

故选8.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难

度，注意合理的运用特殊值法是解题关键.

二、填空题

16.如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AB=6,AD=1,BC=2,P为AB边上的动点，当△PAD

与APBC相似时，PA=.

C

D

【答案】2或3+5或3-百

【分析】

根据题意可知由于/A=ZB=90°,故要使△PAD与^PBC相似，分两种情况讨论：①4APD-△BPC,

©△APD-△BCP,两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长即可.

【详解】

解：NA=NB=90°,AB=6,AD=1,BC=2,

厂•设AP的长为x,则BP长为6-x,

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：

①当/APD=/BPC时，△APDS^BPC,则AP：BP=AD：BC,即x：(6-x)=1：2,解得：x=2,

②当NAPD=NBCP时，△APD-△BCP,则AP：BC=AD：BP,即x：2=1：(6-x),解得：x=3土出，

③当NAPD=/B时，此时不符合题意，舍去，

故答案为：2或3+5或3-5.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质进行分类讨论是解题的关键.

17.如图，在直角坐标系中，点42.0),点8(0,1),过点A的直线/垂直于线段AB,点/，是直线/上在第一

象限内的一动点，过点。作PC_Lx轴，垂足为C,把△4CP沿AP翻折180。，使点C落在点。处，若以A,

D,P为顶点的三角形与AABP相似，则满足此条件的点。的坐标为.

【分析】

求出直线I的解析式，证出△AOB-APCA,得出段=名=2，设AC=m(m>0),则PC=2m,根据

AOPC2

RI4。AC1w.皿口ADBA1

△FCA合△PDA,得出——=——=-,当△PAD-APBA时，根据——=一=-,

PDPC2PDPA2

AP=2x/5,m2+(2w)2=(2>/5)2,得出m=2,从而求出P点的坐标为(4,4)、(0,-4),若△PAD~△BPA,

得出铛=空=4,求出展旦从而得出加2+(2m)2=fg|,求出机=?,即可得出p点的坐标为信」

BAPD22(2J212,

【详解】

,:点4(2,0),点B(0,1),

「•直线AB的解析式为y=-1x+l

.•・直线I过点A(4,0),且IJLAB,

「•直线I的解析式为；y=2x-4,ZBAO+ZPAC=90°,

PCJ_x轴，

ZPAC+ZAPC=90°,

/.ZBAO=ZAPC,

,/ZAOB=ZACP,

../AOB"△PCA,

BOAO

：.——=------,

CAPC

BOAC1

---=----=一,

AOPC2

设AC=m(m>0),则PC=2m,

△PCA^APDA,

/.AC=AD,PC=PD,

ADAC1

..---=---=—,

PDPC2

,4DPD

贝IHlj-=一，

BAPA

nilADBA1

PDPA2

AB=/+22=5

AP=2逐,

...〃/+(2⑼2=(2⑹2,

m=±2,（负失去）

m=2,

当m=2时，PC=4,0C=4,P点的坐标为(4,4),

22

则〃/+(26)12=(手)

m=士;，（负舍去）

1

「•m=—,

2

1,5

当01=一时，PC=1,0C=—,

22

P点的坐标为（g，1），

故答案为：P(4,4),P(1,1).

【点睛】

此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全笔三角形的判定与性质、勾股定理、一次函

数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点.

18.如图，AGIIBC,如果AF：FB=3：5,BC：CD=3：2,那么AE：EC=

【答案】3:2：

【解析】

【分析】

由AG//BC可得△AFG与4BFD相似，△AEG与aCED相似，根捱相似比求解.

【详解】

假设：AF=3x,BF=5x,

乙4^与48FD相似

AG=3y,BD=5y

由题意BC:CD=3:2则CD=2y

,/△AEG与^CED相似

AE:EC=A6:DC=3:2.

【点睛】

本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

19.若,则=___________.

£=22

y1

【答案】।

-s

【解析】

【分析】

由.，可设x=2k,y=3k,代入，即可求得答案.

y1

【详解】

解：

设x=2k,y=3k,

M-，部A♦1

2h«3lSk5

故答案为：工

【点睛】

此题考查了比例的性质.此题比较简单，解题的关键是注意根据比例式，设x=2k,y=3k.

（）p4FG

20.如图，四边形A8CD与四边形EFG"位似，其位似中心为点。，且不7=彳，贝=

EA3BC

【分析】

利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案.

【详解】

OE4

・加边形ABCD与四边形EFGH位以其位似中心为点。，且才§

0E_4

0A-7

FGOE4

则—=——=-

BCOA7

4

故答案为

【点睛】

本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.

21.已知，如图，LA笈C中，DEIIFGIIBC,AD：DF：FB=1：2：3,若EG=3,贝11AC=

D

B

【答案】9

【解析】

试题分析:根据DEIIFGIIBC可得AADEs△AFG-ABC,根据题意可得EG：AC=DF：AB=2:6=1:3,根据EG=3,

则AC=9.

考点：三角形相似的应用.

22.如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（R34C8）上截取一个正方形CDEF,点。在边8c上，

点£在斜边4B上，点F在边AC上，若AF：4C=1：3,则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积

为________

【分析】

设"=x,根据正方形的性质用x表示出EF、CF,证明根据相似三角形的性质求出8C,根

据勾股定理列式求出X,根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可.

【详解】

设AF=x,

AF：AC=1：3,

AC=3x,CF=2x,

••・四边形CDEF为正方形，

/.EF=CF=2x,EFWBC,

.,/AEF-△ABC,

EFAF1

—AC-3’

BC=6x,

在中，222即2

RJ48CAB=AC^BCt30?=(3x)+(6x)

解得，x=2后,

AC=6yf5tBC=12节,

「•剩余部分的面积=1xl2逐x6、6-4x/5x4V5=100(cm2)

故答案为：lOOc/n2.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

23.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E,且4811811EF,若48=2,8=3,贝！］EF=.

【答案】1.2.

【分析】

根据ABHCDIIEF可证明△AEB"△DEC、△BFE-△BDC,利用匕例的性质以及相似三角形的性质得出

BE_EF_2

求出EF即可.

~BC~~CD~~5

【详解】

•••ABIICD,

.•/AEB-△DEC,

VAB=2,CD=3,

ABBE2

~CD~~EC~3,

.BE_2

~BC~~5

EF//CD,

/.匕BFEs△BDC,

BEEF2

RC-CD-5'

解得：EF=|=1.2.

故答案为：1.2

【点睛】

本题考查比例的性质及相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三

角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

24.如图，△ABC是边长为2的等边三角形.取BC边中点E,作EDIIAB,EFHAC,得到四边形EDAF,它

的面积记作取M中点E,作FR,£/IIEF,得到四边形它的面积记作照此规

律作下去，则$2019=______________________.

AFFy0

【答案】号

【分析】

先求出△ABC的面积，再根据中位线性质求出Si,同理求出S2,以此类推，找出规律即可得出S2019的值.

【详解】

VAABC是边长为2的等边三角形，」.△ABC的高=AC*sinA=2x—

2

SAABC=^X2XV3=\/3,

•••E是BC边的中点，EDIIAB,

ED是aABC的中位线，

1

/.ED=-AB

2

r1c

••JArnF=-OAARC,

4

同理可得SABEF=—SAABC

4

.wLIc旧

…Si--■S4ABC--xNJ---->

222

同理可求S2=SABEF=!X*AABC=^,X-7X,V3=—x-

一,

224242/1

以此类推，Sn=1xflT，.SAABc=乌x

.(1f0,9-'

52019=------X—

2⑷24037

【点睛】

本题考杳中位线的性质和相似多边形的性质，熟练运用性质计算出Si和S2,然后找出规律是解题的关键.

4R?AF

25.如图，已知。是△A8c中8c边的中点，且:=；,则二7;=________.

A7Dr3AC

3

【答案】-

4

【详解】

分析：过8作8F平行于4C,交DE于点、F,由两直线平行内错角相等得到两对内错角相等，再由。为8c

的中点，得到8。=8,利用AAS可得出三角形8OF与三角形COE全等，根据全等三角形对应边相等可得出

BF=EC,再由8F平行于AE,得至gDBFsAOAE,利用相似三角形的性质列出比例式，根据已如八8与4。

的比值求出BD与4。的比值，即可得至IJ8F与AE的比值，将8F等量代换为EC,可得出EC与4E的比值，

根据比例的性质即可求出AE与4c的比值.

详解：过8作8FII4C,交DE于点F,

•「BFWAC,/.ZFBO=Z.C,ZBFO=£CEO,

又。为8c的中点，「.80=C0,

在4。8「和4OCE中，

NFBO=ZC

<NBFO=/CEO，.」AOB碎△OCE(AAS),/.BF=CE,

BO=CO

AB2BD1

~AD=3AD=3

,BDBFI.CE\

又BFWAE：.ADBF-△DAE,：.—=—=-

fADAE31AE~3

AEAE3

贝rII(j——=------------=-

ACCE+AE4

3

故答案为「

A

B

D

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及比例的性质，其中根

据题意作出辅助线8FIIAC是解答本题的关键.

26.如图，面积为1的等腰直角AOA1A2,ZOA2AI=90°,且OA2为斜边在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3,

以OA3为斜边在AOA2A3外作等腰直角AOA3A4,以04为斜边在AOA3A4外作等腰直角△OA4A5,...连接A1A3,

A3A5,A5A7,…分别与OA2,OA4,04,…交于点BI,B2,B3,…按此规律继续下去，记△OB1A3的面积为

S1,5OB2AS的面积为S2,AOB3A7的面积为S3,...AOBnA2n+i的面积为Sn＞则Sn=_（用含正整数n的式子

表示）.

【答案】|

5

【分析】

先根据等腰直角三角形的定义求出04/2=90。，得4八31104,根据同底等高的两个三角形的面

枳相等得：sA为。=SM。,所以S四叫=S的由，同理得：;WM八3。，同理得：S.（叫根据已知

的S°A々=1，求对应的直角边和斜边的长：042=44=夜，八2,3=04=1，04=2,并利用平行相似证明

△48/3s△0814，列比例式可以求481=①，根据面枳公式计算51=1,同理得：S2=：x。从而得出

3343

规律.

【详解】

4044、△044是等腰直角三角形，•••NAQAFN404=45°,...Z04/2=90°,，A2A3\\04,

「•S.Ad"=S.AAQ（同底等国I）,「•S,°A,周+S,0A&=S,OA修=S,A4叫，

同理得：511A3。，

s。叫心=s小儿兄，

=1，・二万。八2・4八2=1.

:04=4通2，OA2=AyA2=y/2，.:443=043=1，04i=2.

A,AAB,1

.・"W。4,.…神…△叫…亦=而=2,

S1=S0八/=SAAg•八281=；X0X4=

<2。=yj^•A2B1-,

J4JJ

1

-

翳1

同理得：04=4/4=」==——>2

AiAs=->>*.△AAASB2^△。八3B2，.-----

x/22