山东省青岛某中学2024-2025学年学高三年级上册期末数学试卷（含答案解析）

山东省青岛第二中2024-2025学年学高三上学期期末数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知集合/={划-1。42},5={x|lgx<0},则4口8=)

A.[-U]B.口，2]@2]D.(。/

2.若z=,则)在复平面内对应的点位于)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设向量£=(4,0),则£在坂上的投影为()

A.-1B.-2C.1D.2

g,则lan2"剧

4.已知tan(0+1)

B.一迈「5百巫

A…L•-----D.

II511~5~

5.在RlV4中，。4=1,。8=2.以斜边48为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何

体的内切球的体积为()

口8岳327r4兀

•D.——

Ag38181

6.已知函数/G)的定义域为R，且/(x+3)为奇函数,/(2-对为偶函数，记/(%)的导函

数为了'(x),则下列函数为奇函数的是()

A./(x-1)B./'(—x+3)C./U+2)D./(x)

n1

7.已知函数/(x)=——Xcos:+xj+2asinx.的最大值为4,则正实数。的值为()

42

A.V3B.2C.一2或2D.2或石

x+—F2,X<0

8.已知函数〃x)=,X，若存在实数/，使得方程/。)=，有4个不同的实数根

|5r-2|,x>0

多、吃、马、修，且再则的取值范围为()

-2,一T11

A.B.P-1C.D.rr°J

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.己知（2工一1-=4+65-1）+生。-1）2+―+60。-1）\则下列说法正确的是（）

A.4=1

B.（=%

C.q+2%+3/+…+10。［0=20x3*

D.3+与+暮+•••+罄=1024

22223210

2",〃为奇数，

10.记X为数列｛4｝的前〃项和，已知。“=〃皿/阳如则（）

一+1,”为偶数，

12

A.2025是数列｛%｝中的项

B.数列｛%”）是公比为2的等比数列

C.56=51

D.若％=生”，则数列」一的前〃项和小于;

11.已知点0在圆/：（x-2y+V=l上，力（-2,0）,动点P满足：在"P9中，

tan^PAF=sinZPFA.贝口（）

A.记P的轨迹方程为轨迹：产=81（工/0）B./尸力。的最大值为方

C.陶的最小值是孝D.|力。|+4|。。|（点。为坐标原点）的最小

值为7

三、填空题

12.设。是/（X）定义域的子集，对VA々C。，将的最大值称为/（》）在。上

的振幅，记作S篝/（X）.若曲线/（"=*+加（4>0力>0）在点处的切线斜率为3,

且谓小）=2,则8=.

13.如图，椭圆G：/+£=l（a>b>0）的右顶点力是抛物线。2：/=2内的焦点，过力作

x轴的垂线交G于点&线段8。与G交于点。，F是G焦点,QF///8,则G的离心率

试卷第2页，共4页

14.三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8,0.4,0.5,若三人各射击

一次，则甲、乙、丙三人都中靶的概率为；至少有两人中靶的概率为.

四、解答题

15.已知向量\/3sin-,1L7=cos-,cos2-.

I4JI44)

(1)求附+|中的取值范围;

⑵记/(x)=，在V/8C中，角A,B、C的对边分别为〃力,c且满足(2。一c)cosB=hcosC,

求函数/(⑷的值域.

16.在三棱柱48。-48£中，AB1AC,GC_L平面力8c.

(1)证明：4ACJL平面"4.

⑵已知”=2,AC=B©=264a上是否存在一点W,使得平面朋4c和平面力4G。夹

角的正切值为-g?若存在,确定时位置：若不存在，说明理由.

17.已知定义在R上的函数/(X)满足〃-X)-/'(')=(),且/(外=1。4(2'+1)-后，

g(x)=/(x)+x.

⑴若不等式g(4-e2'+2)>g(-2)恒成立，求实数。的取值范围；

⑵设〃(x)=/+xlnx-2〃?1+1,若对任意的N40,3],存在x?£上©],使得g(xj?〃(占)，

试卷第3页，共4页

《山东省青岛第二中2024-2025学年学高三上学期期末数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案DCBACABCACACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】先求出集合8的解集:，再根据集合的运算可求出结果.

【详解】集合8={x|lgx40}={x[0<xG},

又集合4={x|T4x«2},

AJA5={x|0<x<l}.

故选：D.

2.C

【分析】利用复数的四则运算化简求出复数z,求得其共挽复数，利用复数的儿何意义即可

判断.

-i-2+i-2I

【详解】由2=1M：」=—^,可得2=-：一白，

-17+21(-1+21)(-1-21)555

故工在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

3.B

【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解.

【详解】••工=(4,0),b=(-l,x/3),

m=4x(—l)+0x6=-4,|/；|=7(-1)2+(V3)2=2,

在办上的投影为首=T=-2

故选：B.

4.A

【分析】根据己知角的正切值，利用正切函数的二倍角公式以及和角公式，可得答案.

2tanO+—

【详解】由tan仿+q]=正

71,则tan20+—=I4

I8J2

8<4，1-tan210+—

I8

答案第1页，共14页

tan2。+—H-tan—

所以ta/2e+1)=311(2。+彳Tt=I4)356

+—

3J1一tan(2^+：)tan；=~TP

故选:A.

5.C

【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出

内切球于心。位于对称轴/加上，由平行线性质求得球半径，•后可得球体积.

【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面,

由对称性知其内切球球心O在AB上，。到C4c8的距离。£,0b相等为球的半径，设其为人

因为。是直角，所以OEC厂是正方形，即b=CE=r,

由OF//C力得暮=*,即2

解得，•=],

CABC12

4432

球体积/jp==§•兀x——7C

81

故选：C.

【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.

【详解】因为/(x+3)为奇函数，/(2-x)为偶函数,

所以/(r+3)=—/(x+3),/(X+2)=/(2-A-),

所以/(x+2)为偶函数，改C错误：

又对/(-x+3)=-/(x+3)两边求导，得一/，(_+3)-3),

即/'(—x+3)=/'(x+3),所以/'(—x+3)是偶函数，故B错误；

由/(r+3)=-/'(x+3),可得/(%+6)=-/(t),

由〃X+2)L/(2T),可得/(x+4)-/(t),

答案第2页，共14页

所以/(x+6)=-/(x+4),即/(x+2)=—/(x),即得/(x+4)=/(x),

所以/(x)是周期为4的函数，贝iJ/(x+3)=/(x—1),所以/(x—1)是奇函数，故A正确;

由/(-X+3)=-f(x+3),可得/[一(工一1)+3]=-f[(x-l)+3j,即/(4-x)=-/(x+2),

又由/(x+6)=-/(x+4),可得/(x+4)=-/(x+2),

所以/（4-.丫）=/（4+M，即/（x+4）为偶函数，所以/（X）为偶函数，故D错误.

故选：A.

7.B

【分析】利用三角恒等变换的知识化简/（X）,根据二次函数的性质求得正数〃的值.

1

【详解】/（'）=+x+2asinx

71.兀.MJl.兀.1.1

cos-cosx+sin-sinxcos—cosx-sin-sinx+2asinx+—

44JI44)2

=—(cosx+sinx)(cosx-sinx)+267sinx+—

22

=；(cos2x-sin，x)+2asinx+；

-^-(1-sin2x-sin2x)+24sinx+；

=-sin2x+2asinx+I.

令，=sinx,/£[-l,l],则歹=一产+2必+1,,

开口向下，对称轴为x=a,

当0＜。41时，则j需=一二+2axq+l=/+1=4,/=3,无解.

当。＞1时，则凹皿=-12+2〃xl+l=2a=4,a=2.

综上所述,。的值为2.

故选：B

8.C

【分析】作出函数/（力与^=/的图象，由图可得出0UW1,分析可知关于x的方程

-卜+2+：）=/的两根分别为为、x2,利用韦达定理可得出玉+x?关于/的表达式，由

卜-2卜"，-2卜1可得出5»、5“关于/的表达式，进而可得出自会关于，的函数关系式,

答案第3页，共14页

结合函数单调性可求得结果.

【详解】作出函数/(力与V=/的图象如下图所示:

%nrH-\01x~+2x+\(X+1)(x+1)(

当x<0时，J(x}=x+2--=---------=..=-------=-x+2+—,

xx|x|xVx)

由题意可知，关于X的方程-(x+2+g)=r的两根分别为不、/，

即关于x的方程/+。+2故+1=。的两根分别为与、与，由韦达定理可得$+占=-。+2),

由图可得0«彳3<log52<x4,

由/伍)=/仇)=，得区-2卜卜。-2卜f,则2-5与=5"-2=f,

可得5力=2-八5勺=/+2,所以，5从』=之>=柱旦，

582-t

西+-2「«+2)=£-2=r+2-4=]__4_

2t3=2==

所以，5^(z+2)772t+2HT,

2-t

A

因为函数"/)=1-1不在(0』上为增函数，

故当0</金时，一1<1一白《一!，因此，芸今的取值范围为(一1,一；.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意

分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题.

9.AC

【分析】利用给变量赋值可得系数关系，即可判断AD,对于B就得用构造的二项式展开式,

利用展开式通项公式可求得指定项系数再来判断，对于C就得用等式两边求导思想，再赋

值就可得到结果.

【详解】令x=l,代入(2x—1-=4+4(..1)+%(.”炉+…+40('-1-得：4=1,故选项

答案第4页，共14页

A正确的;

由(2x-l)10=%+q(x-l)+〃2(xT)2+…+。[0(工一1尸得：

l210

[l+2(x-l)]°=a0+a1(x-l)+a2(x-l)+---+a10(x-l),

66

所以7；=。[2(1)了=160：0(1)4,7；=CJ0[2(X-1)]=64C^0(X-1),

即q=16C：°,q=64C：,,由于C：0=C：。，所以qwg,故选项B是错误的；

102

由(2x-l)=a0+t7|(x-l)+fl2(x-l)+…+〃io(x-1尸两边求导得：

10(2x-1-♦2=%+2%(xT)+3%(x-1)?+.•+1OQ0-广，

9

再令x=2,代入上式得：+2a2+3ayH----F1O6Z1O=2OX3,故选项C是正确的：

□

再令X=],代入(2x7-=4+q(x—l)+生(4-1)2+~+须。一1尸可得：

4+幺+华+，+...+华=*=1024,

“22^2^2°

因为&=1,所以争墨+$+…+翁=1024-1=1023,故选项D是错误的；

故选：AC.

10.ACD

【分析】由｛%｝的通项公式即可判断AC：由%a=4即可判断B；由裂项相消即可判断D.

a2n-\

【详解】对于A,当〃为偶数时，令]+1=2025=〃=4。48,符合题意，故A正确；

对于B,由题知，知「22"1％|=22*5色&4,

*

故数列｛的小｝是公比为4的等比数列，故B错误；

对于C,由题知，4=2,出=2,%=8,%=3,牝=32吗=4,

所以1=%+/+%+/+%+%=51,故C正确;

2〃1I11

对于D,cn=a2n=—+1=/?+1,

"”+iG+1)®+2)n+1〃+2

设数列上的前〃项和为4,

一1十-1---11111<!,故D正确;

则+・・・+-------

kg334〃+1〃+22n+22

故选：ACD.

答案第5页，共14页

11.ACD

【分析】根据题意作出示意图，设点尸坐标，然后表示出tan/P4RsinNP",即可建立方

lyl

程，求得。的轨迹方程，判断A选项：设点尸在一象限，化简tan/尸力尸二丹，由基本不

卜+2|

等式求得tan/加/的最值，从而得到角的范围，判断B选项：由抛物线的性质化简得

需=cosNPAN,由NR4b的范围求得结果判断C选项；由图可知当。在圆与工铀的左交

IF川

点处时，此时恒。|,|。。|同时取最小，即可判断D选项.

【详解】由题意可知尸（2,0）,设P（x,力（歹工。），过点尸作尸N_Lx轴于点N,如图:

|PN|Idsin/P"=^=3----------

则tanNPAF=——[=r-^-r,

J网|x+2|阳西+(..29

\y\|>,|

而+；一)2，即(X+2『=V+(X—2)2,.\/=8A-(X^0),A选项正确;

,y2岳一2后

••.由对称性可假设点P在一象限，则TTi—TTr——2,

"十及

2

,•*\/x+22=2x/2,当且仅当4=口，即x=2时取等号,

2yf2

所以tan/PZ,=y-r"L.../左。4,B选项错误;

4

版二篙3/P”，；.屈=cosNP4N“吟吟,C选项正确;

当。在圆与x轴的左交点处时，此时|力。|,|。。|同时取最小，|力。|+4］。。|=3+4=7,

+的最小值为：7,D选项正确.

答案第6页，共14页

故选：ACD.

12.3-e

【分析】根据题意，由振幅的定义可得s濡/3=/。)*一/仅需，再由导数的几何意义

可得/'(1)=3,然后联立方程，即可得到结果.

【详解】需/G)=|/(xM/&)Lx=/(力2-/(丈,，

当”0,力〉0时，/(X)单调递增，所以S篝/(x)=7'⑴-/(0)=c“+bT=2,

则e\A=3,又/")=。/+6,则/'⑴=ae、b=3,两式联立得：二；.

p=3-e

故答案为：3-e

13.x/2-l

【分析】设尸(GO)，利用给定条件，求出点〃净的坐标，再借助比例式建立方程求出离心

率.

【详解】令尸(G。)，直线。尸：X=C,在椭圆C：W+〈=I中，令…，得。(c,坛)，

6rlra

点衅⑼，在抛物线G：，=2川中，令K*,得%,P),

欧

由」==~^~=2,得2ac=〃="一c?,即/+2e-l=0，而0<e<l,

L尸|C£

解得e=&—l，所以G的离心率e=近一1.

故答案为：V2-1

43

14.0.16/—0.6/-

255

【分析】第一空，直接利用独立事件的概率公式求解即可，第二空，根据独立事件和互斥事

件的概率公式求解即可

【详解】甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8,0.4,0.5,

则甲、乙、丙三人都中靶的概率为0.8x0.4x0.5=0.16,

至少有两人中靶的概率为O-8XO.4XO.5X2+(1-O.8)XO.4XO.5+O.8X(1-O.4)XO.5=O.6,

故答案为：016,0.6

15.⑴[3,4]

答案第7页，共14页

⑵1，|

\2

【分析】(1)根据题意，求得同+讨==(

cos2--l+3,结合二次函数的性质，即可求

4}

解;

A71+g,再由(2〃-c)cos8=6cosC,利用正弦定理求

(2)根据题意，求得/(4)=sin—4--

26

得cos8=,，得到4=色，得到()</<生，进而求得sinA冗、

—+—的取值范围.

23326；

【详解】(1)(1)因为加=,〃=cos—,cos2-

44

可得|同2+斤=3sin2—+14-cos2—+cos4—=31i-cos2—|+1+cos2幻cos4'

444444

x_

=cos4——2cos2—+4=cos2--1+3,

444

因为cos?：€[0,1],所以+”-G[3,4].

XX2X

(2)解：由题意得/")=而1=•cos—,coscos—+cos"—

44J444

=gin-kos±+L（，可得/"）=sinAn1

■=sin—i-—+—

222221226

因为（2。-c）cosA=bcosC,由正弦定理得（2siivl-sinC）cos4=sin8cosc,

所以2siir4cos8-cos5sinC=sin8cosc,所以2sinJcos2?=sin（Z?+C）,

又因为4+8+C=TI,则sin（8+C）=sin4,且siMwO,所以cos8=；,

因为"。田所以8g所以。<八条则/玄畀(

1•An

则ItI-<sin—+_<1,所以函数/(⑷的值域是

26

16.(1)证明见解析

(2)存在，M是3G的中点.

【分析】(I)由■平面45。得又ABJ.AC,即可证力51平面力。4，由48u

平面力夕华即可得证;

(2)建立空间直角坐标系，设4M=2〃，分别求平面/4CC的法向量和平面朋的法向

量，利用夹角公式即可表示出含。的方程解出即可.

答案第8页，共14页

【详解】（1）证明：已知4C_L平面力4C,力4匚平面力8。，・・・8《_1/8.

VAB1AC,ACnBiC=C,，48_L平面彳。片.

乂ABu平面ABB,,:.平面AByC1平面ABB、.

（2）过C作的平行线作为工轴，以4C所在直线为y轴，以所在直线为z轴（。为

坐标原点，刀为正方向）建立如图所示的空间直角坐标系.

由4B_Z./C,AB=2,AC=2瓜BC=ylAB1+AC2=4,即4£=8C=4,//C8=30‘

设4M=2a（O4〃M2）,

则力（0,—28,0）,4（—2,0,2石），及（0,0,26）,^（2,-2A0）,M（-a,x&,2x/3）,C（0,0,0）,

国=西=卜2,26,26），cl=（0,-2x/3,0）.

/、[n-CC.=-2x.+2^3y.+2\5z.=0

设平面力4GC的法向量为布=G，必,zj,则有__J1力1，令z=l,

ii-CA=-2>J3y}=0

易得平面力4G。的一个法向量为斤=（6

平面M41c的法向量为而=（刍，y2，z?），

丽=卜出总,2百），C^=（-2,0,2^）,

mCM=-ax2+至ay?+2&=0

,-'r~，令z=l，

mCAX=-2r2+2v3z2=0

・•・平面的一个法向量为而=fV3J--J

设平面和平面14GC夹角为。，则由平面和平面44GC夹角的正切值为，

答案第9页，共14页

1i4

即tanO=—=sin0=-cos。，又sin?0+cos?0=1,解得cos?6=一,

225

17.⑴（-8,4）；

1311

⑵匠+］，+,.

【分析】（1）根据/（r）-/（x）=0可得1二；,进而可得函数g（x）=log2（2'+l）+；x,根

据函数的单调性可得4、-4♦2，+2>-2,分离参数求最隹即可；

（2）由题可得g（x）mm=l，进而得力（x）=/+Enx-2机X+1W1,然后参变分离，求函数的

最值即得.

【详解】（1）由题意知，1吗（2：+1）+依—log2（2'+l）+h=0,

2r+1|

r

即-2kx=log?(2r+l)-log,(2+1)=log,^-—j-=log2—=f

所以

2

故/3=唾2(2'+1)-

，g(x)=/(x)+x=log2(2“l)+1，

因为函数y=2'+1为增函数，函数yulogjt在其定义域上单调递增,

所以y=log2（2，+l）单调递增，又y=gx为增函数,

所以函数g（x）在R上单调递增,

所以不等式8（4'—4・2，+2）>8（-2），恒成立等价于4，一62'+2、一2.

即〃<土4"上+14恒成立，

2r

设/=2"则/>0,=—=/+->4,当且仅当f=2,即x=l时取等号,

2Xtt

所以a<4,

故实数a的取值范围是（一A4）；

答案第10页，共14页

(2)因为对任意的王40同，存在与efed],使得8(制之〃(乙),

所以g(x)在[0,3]上的最小值不小于〃(x)在[e,e]上的最小值,

因为g(x)=1。氏(2、+1)4x在[0,3]上单调递增，

所以当xe［0,3］时，g(x)njn=g(O)=l,

/.h(x)=x4+.¥Inx-2nix+1<1,即存在xw［e,e［,使〃7231+3111X成立,

令［工)=；1+；加1,%£［e,e］,

因为V=在［e,e［上单调递增，y=glnx在［e,e［上单调递增,

•・"(x)在［e,e［上单调递增，

dx),=r(e)=—e3+—,

\/min'，22

:•〃iN—e?+一,

22

所以实数，”的取值范围是

22')

【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数卜=/(工)/«4*],^=g(x),xe[c,J]

⑴若%句,%+，"],总有/&)<g(X2)成立,故人力…〈g(9)min；

(2)若司，玉2ac,d],有/(xJvgG)成立，故f(x).<g(S)2；

(3)若羽e[a,可，加4c、,d],有/($)<履/)成立，故/(入口〈履与需；

(4)若%同，加小⑼，有/($)=g(X2)，则/(》)的值域是g(x)值域的子集.

18.(1)--匕=1

4

⑵存在，P(g,0)

【分析】(1)根据题意列出关于。力的等式，结合离心率即可求得。力，可得双曲线方程；

(2)判断出符合题意的点存在，并判断其位于x轴上；然后进行说明理由，设直线线方程,

并联立双曲线方程,得到根与系数的关系，结合N()PA=ZOPB可得P/f、P8的斜率之和为0,

列出等式并化简即可求得参数的值，从而说明结论成立.

答案第11页，共14页

【详解】(1)设/(。，0),由条件知足”的斜率等于-?，

即Z^=-2,又・・・e=£=石,c2=a2+b2,

caa

:.b=2,a=l,

二•双曲线C的方程为：x2-^=\.

4

(2)存在点。满足/。4=/。夕8恒成立，且点P在x轴上.

理由如下:设点P(M)),•••/过点/(石,0),••・设直线/:x=〃?.y+石，

x=my+x/5

由《,/，消去x得(4〃/-1)/+8石机>，+16=0A=64(〃/+1)>0,

x--=1

4

设/(再,必)，B(x2,y2)

由韦达定理得必+为=一注”7,①，乂”=7^，②

4nr-1-1

•：ZOPA=/