陕西省安康市2024-2025学年高二年级下册期末联考数学试卷（解析版）

安康市2024—2025学年第二学期高二期末联考

数学试题

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题

卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复平面内，葭3一°对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数四则运算化简，即可求出在复平面内点的坐标，即可求解.

【详解】由题意可设z=i（3—i）=l+3i.

故z在复平面内对应的点为（1,3）,

其位于第一象限.

故选：A.

2.某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：亳米）为3.56,3.58,3.59,

3.95,4.03,对于这五个数据，其第60百分位数为（）

A.3.59B.3.58C.3.76D.3.77

【答案】D

【解析】

【分析】根据百分位数的求法步骤即可求解.

【详解】已知题干数据已从小到大排列.

由于5x0.6=3为整数.

359+395

故第60百分位数为…[…=3.77.

2

故选:D.

3.设集合4={工|一1<工<2},8={x|avx<a+l},若BqA,则。的取值范围是（）

A.[—1,1）B.[-1,1]C.[0,2]D.（—1,1]

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可.

【详解】由题意可得A={x|-l<x<2},B=^x\a<x<a+\>,且

因此,〃一,：,解得

[a-v\<2L」

故选：B.

2r-5

4.不等式二一Ml的解集是（）

x+2

A.{x|-2<x<7}B.1x|x<7}

C.{止2<xW7}D.{x|x>-2}

【答案】C

【解析】

【分析】先把给定不等式进行等价转换，解二次不等式即可.

2r-5r-7(X-7)(A+2)<0

【详解】由题意可得——--1=——<0,等价于

x+2x+2x+2w0

解得一2cx<7,

故原不等式的解集为{x\-2<x<7].

故选:C.

5.设一个圆心在直线x-3y+4=0上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（）

A.IB.2C.1或2D.2或6

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，设出圆心坐标，结合圆的切线列式求解.

【详解】由圆心在直线x-3y+4=0上，设圆心坐标为(a,—),

〃+4

由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径＞=|。|=|二一I，整理得—2=0，

解得。=2或一1，所以这个圆的甘径r=1或2.

故选：C

6.若VABC的面积S=A8.AC，则sinA=()

A2石R石「有D5a

5548

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形面积公式和平面向量数量积定义化简即可求得.

【详解】VA6C的面积S=g•八A,^.ABAC=|•|Ac|•cosA,

故;•AC•sinA=|AB|-|AC|-COSA,化简得sinA=2cos.

又siifA+cos2A=1，故sinA=^^.

5

故选：A.

7.如图，点«，。2分别为圆台上、下底面的圆心，A3为下底面的一条直径，且A。，B01.圆台的

上、下底面圆半径分别为3,6,点尸为下底面圆上不与A,8重合的一点，点。为aa靠近。।一端的三

等分点，则当。为圆弧48的中点时，点A到平面3PQ的距离为()

I5MR24炳r576n7x/6

17171212

【答案】B

【解析】

P(lx<3)

故p(y«4|X21)=P(Xv3|X1)=-=2^=5

')P(XNl)0.66，

故选:D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知双曲线4：4一)2=1(。>0)的一条渐近线为依+》=().将孰的实轴，虚轴长度均变为原先的

看，记得到的双曲线为G，则()

A.a=6B.G的离心率为

c.G的一条渐近线为)'=xD.。2的焦点到渐近线的距离为G的*

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据双曲线G渐近线可求出。的值，再根据题中描述的变化，可求出双曲线Gr

【详解】选项A：因为双曲线C|：W-y2=i(a>o)的一条渐近线为公+),二()

a

且根据双曲线性质可得：C；:[-=i(a>0)的渐近线为y=±-x.

aa

所以其一条渐近线办+y=o等价于y=-",因为。>0,故-'=-〃，得到/=],解得a=i,故A

a

错误；

选项B：将。=1代入G方程，得至i」G：/—y2=i，所以G离心率为#=&，故B正确；

选项C：将G的实轴，虚轴长度均变为原先的*，则。2：1。0/一100>2=1.

1

其渐近线为y=土芋入=±入，所以G的一条渐近线为y=x,故c正确；

1()

选项D：对于双曲线C：二一二二](/Z〃>()),焦点(c,0)到渐近线，式一冲=()的距离为

n~

其中刀即为半虚轴K.

由FG的虚轴长为G的:，故G的焦点到渐近线的距离为G的:，故D正确.

故选：BCD.

10.已知tana+tan£=-tan(a+£)xO,则tana+tan£的我值可以为()

3厂

A.13B.2C.—D.25/2

2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正切的和角公式可得tanatan夕=2,即可利用基本不等式求解范围得解.

tana+tan8

【详解】由题可得tana+tan/7=Tan(a+/7)=

1-tanatan夕

由干tano+tan//w0,整理得tanatan4=2,所以tana+tan〃=tana+----

tana

2I2

当Iana>0时，lana+---->2./tancr-----=2夜，

tanczVtana

当tana<0时，tana+----=--tana+------<-2.(-tana)-------=一2&,

tana\-tanaJVTana

所以tancr+tan/G(-8,-2拒]|j[272,-w),故可能取值有2夜,一3.

故选：AD.

11.设实数。满足。＞0且,设/(尤)=log“x,g(x)=。,,则()

A.函数)=/(g(x))与)，=g(/(x))的图象均关于原点中心对称

B.当。＞1时，函数y=/(x)-双戈)可能存在零点

C.当Ovavl时，不等式/(£Hg(x)＞0恒成立

D.当4=6时，函数)，=/5)•,式五)在(0,+8)上单调递增

【答案】BD

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的图象性质即可判断选项求出答案.

【详解】选项A：函数g(7(x))定义域为(0,+8)，故其图象不可能关于原点中心对称，故A错误:

选项B：)'=/(x)—g(x)存在零点等价于〃x)=log“j^g(x)="有交点，当时，其恰有一

个交点(e,e),故B正确；

选项C：当Ovavl时,不等式/'(x)+g(x)>0恒成立等价于y=优的图象恒在y二一log环的上方，

显然当/趋于正无穷时不成立，故。错误；

选项D：当。=e时，函数y=〃x)・g(x)=tnxC,y'=lnx+j?，.

设力(/)=成+±力'")='一二二与，则〃(力在x=l处取得最小值〃(1)=1>0.

X.1X入

则y'>0在(0,+⑹上恒成立，故函数)=/(x)・g(x)在(0,+8)上单调递墙故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知｛4｝为公差为1的等差数列，且4，生，4依次成等比数列，则4=.

【答案】1

【解析】

【分析】写出等差数列的通项公式，得出。2，(的表达式，利用卬，。2，4成等比数列，即可求出4的值.

【详解】由题意，〃wN*,在等差数列｛q｝中，公差为1,

an=q+(7?-1)=6/)+??-1,

<%=q+2—1=q+1,%=6+4—1=4+3,

•・,q,4，4依次成等比数列，

/.a[aA=a｝>即4(3+aJ=(41+l)2,解得q=l.

故答案为：1.

13.从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1,则这样的取法总数为

【答案】20

【解析】

【分析】先求出八个连续整数任选3个数的情况数，再分别求出三个连续数和三个数中只有两个数连续的

个数，相减可得答案.

【详解】八个连续整数不妨设为123,4,5,6,7,8,

先任选3个数，有C；=56种取法,

其中三个连续数有6种,分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；

三个数中只有两个数连续，

比如1,2,剩余第三个数需从456,7,8中任选1个，有5种，

同理7,8,剩余笫三个数需从1,2,345中任选1个，有5种，

比如2,3,剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种，

同理,3,4；4,5：5,6；6,7均有4种,

所以此时共有5x2+4x5=30种，

综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1,

共有56-6-30=20种选法.

故答案为：20.

14.在V/WC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,且从+/-/=一A，b=2,则/一/

的取值范围为.

【答案】(4,也)

【解析】

【分析】利用余弦定理求出A=?,由正弦定理得到。=巫.。=主也，/_。2=2@+2,由于

3sinBsmBtanB

0<8<:，可得旭+2>4,得到答案.

3tanB

【详解】由题意从+'2一々2=_儿,b=2,

—r组Ab~c2"-ci"-be

可得cosA=-----------=----

2bc2bc2

由于()<Av兀，

可得力=至，

3

2

由题意利用正弦定理可得.2兀sinBsinC，

sin——

3

可得。=巫2sinC

sinBsinB

sin2/?sin*

x/3D1.D

——cosB——sinB

222GsinBcosB+2sin?B

sin2B

由于OvBv=Tt，可得0<tan8<JLJ，可得---1->-71T»

3tanBJ3

可得也+2>4,

所以标—。2的取值范围为（4,+8）.

故答案为：（4,+8）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.为了比较两种宣传方式的宣传效果，在人群中进行调研，为84个人宣传某传统非遗文化［此前所有人

均未了解过），其中42人采用宣传方法1,其余采用宣传方法2.宣传后的人群分为“比较了解”和“有

点了解”，统计发现宣传方法1中的人群有30人“比较了解”，宣传方法2的人群中仅有18人“比较了

解”.

（1）以频率估计概率，现给2人以方法1宣传传统非遗文化（此前未了解过），记宣传后“比较了解”的

人数为X,求X的分布列和数学期望；

（2）画出列联表，并依据a=0.01的独立性检验，判断是否可以认为宣传效果与宣传方法是有关的？

附：

a0.010.0050.001

66357.87910.828

>>nyauc/c）、

X~---------------------------（其z中〃=a+/?f+c+d）f.

（a+b）（a+c）（h+d）（c+d）

【答案】（1）分布列见解析，^（X）=y

（2）宣传效果与宣传方法有关

【解析】

【分析】（1）易知X服从二项分布，利用二项分布的概率公式，分别计算出X的不同取值对应概率，即可

得分布列及其期望值；

（2）作出列联表，根据列联表计算得出卜方的值，根据独立性险验即可得出结论.

【小问1详解】

305

依题意，方法1宣传后“比较了解”的概率〃=—二一.

427

所以

I7J

则唳=。）=目看尸（＞叫=吟，啜,

分布列

X012

42025

P

494949

期望为£（X）=2x,衅.

【小问2详解】

列联表

有点了比较了合

解解计

方法

123042

1

方法

241842

2

合计364884

零假设H。：宣传效果与宣传方法无关,

2_84x(720-216了

Z-42x42x36x48=7>6.635,

所以依据a=0.01的独立性检验，推断““不成立，故可以认为宣传效果与宣传方法有关.

16.己知?（1,0）为椭圆C：二r一l（a>/>>o）的一个焦点，且c经过点,设直线

a~b2

/:x=my+l与。交于/，，Q两点,记直线OP,OQ的斜率分别为占，k「其中。为坐标原点.

（1）求C的方程;

11

（2）用机表示厂+厂的值.

&k2

【答案】（I）C：y+/=l

11

（2）—+—=4〃7

k\k?

【解析】

【分析】（1）把点代入到椭圆方程中，再结合焦点坐标，可得到椭圆方程.

11

⑵联立直线/与椭圆c的方程，根据韦达定理可得y+%，X为，利用点坐标写出了+厂，再代入计算，

5

即可得到答案.

【小问1详解】

cr-h2=\/_2

依题意可得《27，解得"，

4+4=8b2=\

底b2

从而可得。:三十）户=1

2

【小问2详解】

£2-1

由题意，联立<2.）一得0/+2）），2+2〃少-1二0,

x=my+1

△=8m2+8>0，

-i

设P（N，y），。（/，%）,所以y+%=，y%=

m2+2

1

所以3五=gu〃?+_L,；/=xi=〃？+—,

%y\>\>ih%%%

1111y.+y.,3“

所以一d----=2md-----d-----=2in+——=2m4-2m=4m

&k2y券y%

17.已知数列满足4=1,%=2,且2%小，3%+2，44成等差数列.

（1）证明：｛。用-4｝为等比数列;

（2）求｛4｝的前〃项和S”.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列定义列式并变形，再利用等比数列定义推理得证.

（2）由（1）求出可，再利用分组求和法及等比数列前〃项和公式求解.

【小问1详解】

122

依题意，6。g2=2。向+4%，即可+2=§4川+§〃”,则q+2-4川二一§（4川一凡），

2

又q=l,4=2,生-4=1,所以数列｛。川-4｝是以1为首项，为公比的等比数列.

【小问2详解】

2

由（1）得，当2时，4一*=（一5）"2,

7

1_(严

则an-a1=-q)+(/-〃,)+•-一+(。“-)=-----^―

Q3?Q3?

w1H1

cin------(—―)>4=1满足上式,因此a”=-----(—―)»

553553

32

8引一匕力8

所以s“二1〃-------------=-n

1-(-|)5

18.如图，直三棱柱ABC-中，AC_L平面ABC，M=ABC.

AB

w

G

（1）证明：B.C,±AC.；

（2）若;I=2,AB=3也,求三棱锥C-A&G的体积；

（3）若8c与平面A8c所成的用为求人

【答案】（1）证明见解析

（2）18（3）2=1

【解析】

【分析】（1）由线面垂直可得可得4G，平面ACG，从而可证1AG；

（2）由题意结合几何知识可证明四边形A4,CC是正方形，从而再求出=6,与G=3,

M=AG=6,再结合柱体的体积公式即可求解；

（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法即可求解.

【小问1详解】

由AC_L平面AB©,B©u平面MG,可得A,C1B,C,,

易知AG~LC£,故由ccnac=CCGu平面ACG，ACU平面4CC，可得MG，平面ACG，

由A,C,c平面A,CC,,可得B,C,1AtC,.

【小问2详解】

由AC_L平面ABC，AC|u平面A6IG可得A,C±AC,f

又因为四边形AAGC是矩形，故四边形A4CC是正方形，于是4G=AA，

而AA=2BC，故AG=2B.C,,由B1G±AG可得AC；+B&=AB：=45,解得AG=6,B,C,=3,

AA=AG=6,

故=；CG-5AA4G=2*x4CX8C=18，

故三棱锥C-A4G的体积为18.

【小问3详解】

显然CGJ•平面ABC，用故以C为坐标原点，c田的方向为X轴正方向，c/的方向为y轴

UUU

正方向，C。的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，

不妨设&C|=1,则4(1,0,0),C(0,0,4),4(0,40)，故4C=(-1,(M).

易知平面A4G的一个法向量AC=（0,-％勾,

u.兀BCTC|分％122