苏科版九年级数学上册期中数学试卷（含答案）

期中数学试卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

（考试时间为100分钟，满分为120分）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若关于％的一元二次方程以2一6%+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（)

A.k>1B.kH0C.k<1D.k<1且k丰0

2.要得到二次函数y=-U-2）2+1的图象,需将y=-%2的图象（）

A.向左平移2个单位，再向下平移1个单位B.向右平移2个单位，再向上平移1个单位

C.向左平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位

3.下列说法中，正确的是（）

A.平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧B.三点确定一个圆

C.垂直十半径的直线是网的切线D.同弧所对的圆周角相等

4.对于二次函数y=-（x-+4,下列说法正确的是（）

A.当3>1时，y随x的增大而增大B.函数图象的对称轴是直线％=-1

C.这个函数有最大值1D.函数图象与汇轴有2个交点

5.如图，在O0中,弦48的长为4,圆心到弦48的距离OC为2,则圆。的半径长是（

D.4

C

D

第第题

第13题

6.如图，若AB是。0直径，CD为是。。的弦，LABD=52。，则/BCD的度数为（

A.36°B.37°C.38°D.39°

7.抛物线y=2（%-+c过（-2,%），（0,月），（幺乃）三点，则y?、乃大小关系是（)

>为

A.y2>y3>%B.yi>y2C.y2>yi>%D.%>y?>%

2

8.若关于3的方程ax?+匕％+c=。的解为%i=-1,x2=3,则方程a(x+l)+b(x+1)+c=0的解为()

A.=0,%2=2B.=-2,x2=2

C.Xj=0,x2=4D.=0,次=一2

9.若实数x,y,Q满足x+y+a=2,2x+y-a=4,则代数式2xy-1的值可以是()

A.3B.4C.0D.5

10.如图，四边形48。。是。。的内接四边形，^BAD=90。，AB=AD=4c,E为AC上一点,且1CD,

则1的最小值为()

A.2>n-2B.2<5-2C.4y[~2-4D.4/~5-

4

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11.直角三角形的两直角边长分别为6和8,它的外接圆的半径是____.

12.三角形两边的长分别是2和4,第三边的长是方程10%+24=0的根，则该三角形的周长为

13.如图，这是用于液体蒸储或分储物质的玻璃容器，其底部是圆球形.球的半径为10cm,瓶内液体的最

大深度CO=4cm,则截面圆中弦48的长为cm.

14.如图，PA.PB分别与圆。相切于力、8两点，点。为圆。上一点，连接力。、BC,若乙P=80。，则乙4cB的

度数为______.

15.如图，直线y=kx+t(kH0)与抛物线y=ax2+bx+c(aH0)交于5(4,n),不等式ax?+(b—

k)x+c-t<0的解集是______.

16.如图，点小B、C、D、E在。。上，丽的度数为40。，则乙5+40的度数是____.

17.

第14题第15题第16题

17.已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）,图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如下表所示，则方程a/+

bx+2.52=0的根是_____.

X...0<56...

y...0.52—22...

18.已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+(九一12)两点，若48分别位于抛物线对称轴

的两侧，且力<力，贝h的取值范围是.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)解方程:

(1)X2-4X-1=0；

(2)x(%+2)=%+2.

20.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点力、B、C,其中点8坐标为(4,3).

(1)请写出该圆弧所在圆的圆心。的坐标.

(2)的半径为：

(3)求弧48。的长(结果保留九).

21.(本小题8分)

22.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，设函数y=(%-a)(x-Q-5)+4,其中Q为常数，且QH0.

(1)当x=3,y=4时，求a的值.

(2)若函数的图象同时经过点(b,m),(4-b,m),求a的值.

(3)己知点(1,%)和(2/2)在函数的图象上，且为＜力，求a的取值范围.

26.(本小题10分)

如图1,C,。是半圆AC8上的两点，点P是直径力B上一点，且满足々1PC=48P。，则称上CPD是曲的''相

望角”，如图，

（图1）（图2）（图3）

(1)如图2,是。。的直径，若弦CE_L48,。是弧BC上的一点，连接OE交力8于点尸，连接CP.

①求证：aPD是/的“相望角”；

②设弧CD的度数为n,请用含n的式子表示弧CD的“相望角”度数为；

(2)如图3,若直径48=10,弦CE13B,比的“相望角”为90。,

①求弦CD的长；

②当OE=7口时，则CE=_______.

答案和解析

1.【答案】D

解：•••关于x的一元二次方程依2一6%+9=0有两个不相等的实数根，

k*0且d=(-6)2-4x/cx9>0,

解得：k<1且％工0.

故选：0.

2.【答案】B

解：根据“左加右减，上加下减”规律：

二次函数y=一/的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y=-(x-2)2+1的图象.

故选：B.

3.【答案】D

解：4、平分弦(非直径)的直径必垂直弦且平分弦所对的弧，原说法错误，该选项不符合题意；

以不共线的三点确定一个圆，原说法错误，该选项不符合题意；

C、过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，原说法错误，该选项不符合题意；

。、同弧所对的圆周角相等，该选项符合题意；

故选：D.

4.【答案】D

解：-1)2+%

••・抛物线开口向下，对称轴位置线x=l,最大值为4,当X>1时，y随x的增大而减小，函数图复与％轴有2个

交点，

故A,B,C错误，。正确，

故选：D.

5.【答案】C

解：•.•圆心到弦力B的距离0C为2,

A0C1AB,

•・•弦力8的长为4,

AC=^AB=2,

/.0A=VAC2+0C2=2/7,

即圆。的半径长是2「，

故选：C.

6.【答案】C

解：连接AD，

••・AB是。。的直径，

:.Z.ADB=90

•••ZABD=52°,

AZ.A=90°-52°=38°,

•••乙BCD=AA=38

解：在二次函数y=2(%-1)?+c中，对称轴％=1,

在图象.上的三点(一2,%),(0/2)，《心)，点(-2,刈)离对称轴的距离最远，点亮2)离对称轴的距离最近，

•••71>72>丫3，

故选：B.

8.【答案】B

解：设方程a(x+I)?+8(无+1)+c=0中，t=x4-1,

则方程变为"2+血+c=0,

,•・关于汇的方程Q*2+bx+C=0的解为=-1,x2=3,

•,・关于£的方程矶2+bt+C=0的解为£1=-1,t2=3,

.•.对于方程a(x+I)2+b(x+l)+c=0,x+1=-1或％+1=3,

解得：S=-2,x2=2,

故选:B.

9.【答案】C

解：依题意，楞工？：2

解得:

设w=2xy-1

w=2x(2a+2)x(­3a)—1=-12a2—12a—1

-l<0

・•.w有最大值，最大值为江嘿导产主=2,

.••代数式2xy-l的值可以是0,

故选:C.

10.【答案】D

解：连接BD,作△4ED的外接圆，圆形为F,连接凡4,FD,FE,过点F作尸G1力。于G,rHJ.84交B4的

M

v/-BAD=90。，AB=AD=4xTL

二8。为。。直径，Z-ABD=Z.ADB=45°,

/.Z.ACD=Z.ABD=45°,

vED1CD,

•••Z.AED=^ACD+乙EDC=135°,

••悬F为△的外接圆的圆心,

；.FA=FE=FD,

vZ.AED=135°,

二优弧R而的度数为270。,

••・劣弧⑰的度数为：360°-270°=90°,

•••圆心角Z4FD=90。,

为等腰直角二角形,

ALADV=Z.DAF=45°,

vFGim

：.FG=AG=^AD=2>T2,

由勾股定理得：FA=VAG24-FG2=J(2e)2+(2。/=4，

•••FE=4,

v/.BAD=90°,

•••乙HAD=90°,

又••-FH1BA,FGA.AD,

.屈边形力HR；为矩形，

•••FG=AG,

矩形/H/G为正方形，

:.AH=FH=AG=FH=24，

BH=AB+AH=4。+2c=6口

在小△B『H中，BH=6C，FH=2yJ~2>

由勾股定理得：BF=VBH24-FH2=J(6<^)2+(2<I)2=4门，

vBE>BF-EF,

:•兰点、B,E,户在同一条直线上时，BE为最短，其长度为BFEF=47-54.

二BE的最小值为415一4.

故选：D.

11.【答案】5

解：•••直角边长分别为6和8,

•••斜边是10,

•••这个直角三角形的外接圆的半径为5.

故答案为：5.

12.【答案】10

【解析】解：x2-10x+24=0,

(x-4)(x-6)=0,

所以修=4,x2=6,

而2+4=6,

所以三角形第三边长为4,

所以此三角形的周长为2+4+4=10.

故答案为：10.

13.【答案】16

解：在Rt目力OC中，设04=10所，则。。=10-4=6cm,

由勾股定理得，AC=VOA2-OC2=，102-62=8cm,

•••AB=2AC=16cm,

故答案为：16.

14.【答案】50°

【解析】解：连接04OB,

vPA.PB分别与圆。相切于48两点，

:.Z.OAP=Z.OBP=90°,

AZ.AOB=360°-Z-OAP-Z.OBP-匕P=100°,

ALACB=\z-AOB=50°；

故答案为：50°.

15.【答案】l<x<4

解：由题意，；不等式ax?十(b—k)x十c一。<。的解集就是a-+bx+c<kx。的解集,

•・.不等式的解集可以看作是在48之间的图象抛物线在直线下方对应的自变量的取值范围.

又；点A横坐标为1,点B横坐标为4,

1<x<4时，ax2+bx+cvkx+t,即Q/+(/)-k)x+c—<0.

故答案为：1<xV4.

16.【答案】160°.

解:连接A8,

c

~在

•••卷的度数为40。，

Z.ABE=20°,

•••匹边形ABC。内接于。0,

•••/ABC+匕。=180°,

:.乙CBE+Z-D=180°-20°=160°,

故答案为160。.

17.【答案】C

解：把(0,0.52)代入y=ax2+bx+。得c=0.52,

方程a/+匕％+2.52=0化为a/+力％+。=-2,

•••x=寸，y=-2,

:.V3为方程Q-+bx+o.52=一2的根，

故答案为；C.

18.【答案】一1<nV0

解：•••y=Q/-2QX+b,a>0

抛物线的对称轴为直线工=一产=1,开口向上，

2a

VA(2n+3/1),8(n-1,%)分别位尸抛物线对称轴的两侧,

假设点B在对称轴的右侧，则n—解得">2,

2n+3-(n—1)=n+4>0

・••4点在8点的右侧，与假设矛盾，则点A在对称轴的右侧，

,f2n+3>1

**U-1<1

解得：一1vV2

又••力<y2»

***|(2n+3)—11<|1—(n—1)|

2n+2<2—n.

解得：n<0

-1<n<0,

故答案为：一1V九<0.

19.【答案】【小题1】

解：X2—4x—1=0,

A=b2-4ac=(-4)2—4x1x(-1)=16+4=20,

一(-4)土/"25

：•x==2±y/~5,

2x1

解得：Xi=2+y/~5,x2=2-V-5；

【小题2】

解：x(x+2)=x+2,

x(x4-2)—(x+2)=0,

分解因式，得：(%+2)(%—1)=0,

x+2=。或x-1=0,

解得：%i=-2,x2=

20.【答案】(1)。(2,-1)

(2)2V-5

(3)vDF=CG=2,乙AFD=4DGC=90°,AF=DG=4,

OGC(S/S),

:.Z.ADF=Z-DCG，

•••/DCG+MDG=90°,

."ADF+乙CDG=90。,即44DC=90°,

则/Ac的长Z=华普二门".

loU

21.【答案】（1）证明：连接0C,

:.Z.ACB=90°,

即〃CO+48。。=90。，

•••0C=0A,

•••乙ACO=Z.A,

,:乙4=Z.DCB,

Z.ACO=Z.DCB,

:.Z.DCB+Z.BCO=90°,

Z.OCD=90°,

即0C1DC,

v0C为半径，

•・是。。的切线；

(2)解：•••BD=2,OB=OC,

设0。=。8=%,则0。=%+2,

vZ.OCD=90%

A0C2+CD2=OD2,

X2+(2\T"5)2=(%+2)2,

解得％=2,

答：。。的半径是2.

22.【答案】（1）解：•••方程/-2%一。=0有两个不相等的实数根,

••.4=（-2）2+4a>0,

解得Q>-1；

（2）解：•.•方程/—2X—Q=0的两个实数根为与，乂2,

均+&=2,xxx2=­a,

..」+工=3±合=，，

占X2%1%23

2_2

耳二-F

解得Q=3,

经检验，Q=3是方程的解，且4=（-2）2+4x3=16>0

***Q=3.

23.【答案】（1）解：DE与0。相切,

理由如下：

连接。D,如图所示：

VOE//AB,

二Z.DOE=Z.BDO,Z.COE=乙B,

vOD-OB,

:.Z.ODB=Z.OBD,

•••Z.DOE=Z.COE,

在IUDOE与团COE中,

OD=OC

乙DOE=乙COE,

OE=OE

.-.0DOE三团COE(SAS),

:.乙ODE=Z.ACB=90°,

••・00是OO的半径，

DE与与。相切;

(2)解：vBC=6,

OB=OC=3,

•"=30。，,ACB=90°,

•••Z.B=60°,

:.乙COD=2乙B=120°,

:.乙COE=乙DOE=60°,

ACE=HOC=3C，

S阴影=S四边形CODE~S国影D0C

=S®0DE+s回COE-S扇形DOC

1「1207rx32

2x—x3x3V3—

360

=9V-3—37r.

24.【答案】(1)

y=40-x

0<x<9

(2)解:根据题意得：(210+10x-30)(40-%)=7770

整理，得—22x+57=0,

解得：%1=3,%2=19(舍去)，

210+30=240(元)，

答：房价应该为240元；

(3)解：设宾馆一天的利润为w元，

•••w=(210+10x-30)(40-x)

=-10x2+220%+7200

=-10（X-11）2+8410,

v-10<0,0<x<9,

当％=9时，w取得最大值，此时w=-10x（9-11尸+8410=8370（元），

房价为210+90=300（元），

答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元.

25.【答案】（1）解：当％=3,y=4时，代入可得4=（3-。）（3-。-5）+4,

化简得：（Q—3）（Q+2）=0,

解得：臼=3,a2=-2；

b+4-b

（2）解：函数的图象同时经过点（瓦m）,（4-瓦m）,根据函数图象对称性，可得到对称轴为：直线x-2~

12，

因为V=（x-Q）（x-a-5）+4=x2-（2a+5）x+a2-5a4-4,即x=--（2：+5）_

解得a=

（3）解：点（1,%）和（2,乃）在函数的图象上，

则力=I2—（2a+5）x1+a?—5。+4=a?