一元一次方程的应用（一）-重难点题型（含答案）

元一次方程的应用（一）重难点题型

【知识点1一元一次方程的应用】

列一元一次方程解应用题的关键是找到符合题意的相等关系.常见的相等关系有以下几种：

1.部分量之和=总量.

2.表示同一个量的两个不同的式子.

3.找出题目中表示相等关系的关键词，如“相等”，“等于"，“比”，“是”，“占”等等，从而列出

相等关系.

【题型1和、差、倍、分问题】

【例I】（2021•新华区模拟）长江比黄河长83黄黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284册,设长江

长度为xkm,则下列方程中正确的是（）

A.5x-6（x-836）=1284B.6x-5（x+836）=1284

C.6（x+836）-5.r=1284D.6（x-836）-5x=l284

【变式11】（2020秋•铜梁区校级期末）小明今年6岁，他的爸爸今年34岁，4年后爸爸的年龄是小明的

年龄的3倍，根据题意，列出方程为（）

A.3（6+x）=34B.3（6+x）=34+x

C.3X6=34+xD.6+x=3（34+x）

【变式12】（2021•内乡县一模）（增删算法统宗）记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添

一倍多，问君每口读多少？“其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数

是前一天的两倍.问他每天各读多少个字？已知《孟子）一书共有34685个字，设他第二天读x个字，

则下面所列方程正确的是（）

A.x+2x+4x=34685B.x+2x+3x=34685

C.KC+X+2X=34685D.x+g+/x=34685

【变式13】（2020秋•昌图县期末）甲、乙两个旅行团同时去某地旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人,

两团人数之和是两团人数之差的16倍.

（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？

（2）若某景点成人票价为每张80元，儿童票价为每张40元，并且乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人

数的2倍少2人，两旅行团在此景点所花门票费用相同.求甲、乙两团中儿童人数各是多少？

【知识点2等积变形问题】

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：（1）形状变而体积不变；（2）原材料体积

=戌品体积.

【题型2等积变形问题】

【例2】（2020春•孟津具期中）如图.八、A两个长方体水箱放置在同一水平桌面卜,开始时水箱A中没

有水，水箱B盛满水，现以647/〃“力的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，当水箱A与水箱B中的水

的体积相等时，两水箱中水位的高度差（抽水水管的体积忽略不计）

水箱A水箱B

【变式21】（202（）秋•射阳县期末）如图是边长为的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2

所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（）

图1图2

A.6000。毋B.8000&/C.l()0()0t7?i3D.12000<?//i3

【变式221（2020秋•定远县月考）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积

分别为80a/、lOOa/,且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位

高度比原先甲的水位高度低了8cm,则甲的容积是（）

A.1280cm3B.2560cm3C.3200cm3D.4000cm3

【变式23】（2020秋•历城区期天）有一块棱长为0.6〃?的正方体钢坯，想将它锻成横截面是0.008阳2的长

方体钢材，则锻成的钢材高为m.

【知识点3数字问题】

1.抓住问题中数的变化规律，列一元一次方程解决数的规律问题.

2.数位上的数改变后形成新的十进制数，在表示新数时，要注意进率的变化.

【题型3数字问题】

【例3】（2021•荣昌区校级开学）一个五位数，个位数为5,这个五位数加上6120后所得的新的五位数的

万位、千位、百位、十位、个位的数恰巧分别为原来五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，

则原来的五位数为（）

A.48755B.47585C.37645D.36475

【变式31】（2021•长兴县模拟）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利

数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“锦地锦”.如图1,计算47X51,将乘数47

计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格

子中，最后按斜行加起来，得2397.如图2,用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则。的值为（）

【变式32】（202（）秋•沙坪坝区校级期末）一个两位数，个位数比十位数字大4,而且这个两位数比它的数

字之和的3倍大2,则这个两位数是.

【变式34】（2020秋•柘城县期末）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7.如果这个两位数加上4s.

则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数.求这个两位数.

【知识点4行程问题】

1.行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分

直线运动及曲线运动.

2.相遇问题是相向而行，相遇时的总路程=两运动物体的路程和.

3.追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追.

4.顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同.

【题型4相遇问题】

【例4】（2020秋•北储区校级期末）甲乙两人分别从相隔566的A、3两地同时出发，甲骑自行车的速度

为每小时20千米，乙步行的速度为每小时8千米.

（1）甲、乙分别从A、8两地同时出发，相向而行，求经过几小时两人相遇？

（2）甲、乙两人从A地出发，同向而行，当甲到达8地时立刻掉头返回A地，求经过几小时两人相遇？

【变式41】（2021春•万州区校级月考）甲乙两车分别从A、8两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车

快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达人地后未作停留，继续保持原速向远离8地的方向行驶，

而甲车在相遇后又行驶了2小时到达4地后休整了1小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过

一段时间后两车同时到达C地，则A,C两地相距千米.

【变式42】（2021春•普陀区期中）已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3：4,如果

小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？

【变式43】（2021秋•姜堰区月考）已知数轴上有A,8两点，分别代表・40,20,两只电子蚂蚁甲，乙分

别从A,8两点同时出发，甲沿线段A8以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点8处时运动停止,

乙沿84方向以4个单位长度/秒的速度向左运动.

/—>甲乙8

A।------------------------1>

-40020

（1）A,B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时共运动了秒.

（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？

（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能,

求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由.

【题型5追及问题】

【例5】（2020秋•新邵县期末）列方程解应用题：如图，现有4B、BC两段乡村公路，AB长为1200米，

BC长为2000米，一个人骑摩托车从4处以20〃曲的速度匀速沿公路AT?、向C处行驶；另一人骑自

行车从B处以5Ms的速度从B向C处行驶，并且两人同时出发.

CBA

（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？

（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？

【变式51】（2021•雨花区校级模拟）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驾马日行一

百五十里.驾马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每

天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为

（）

A.240x=150x+12X150B.240A=150A-12X150

C.240（A-12）=15O.v+15OD.240x+150x=12X15

【变式52】（2020秋•延庆区期末）列方程解应用题：

晚饭后，小明的爸爸像往常一样去散步.半小时后，妈妈发现爸爸没有带手机，就让小明骑自行车去给

爸爸送手机.如果爸爸的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，小明用多少时间可以追

上爸爸？（要求：先写出审题过程，再设未知数列方程）

【变式53】（2020秋•清涧县期末）一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在

同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次

追上小华.

（1）求小华和爸爸的跑步速度；

（2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距15（）米？

【题型6流水问题与上下坡问题】

【例6】（2020秋•越秀区校级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静

水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时

（1）甲船顺水的速度是千米/时；乙船逆水的速度是千米/时；

（2）3小时后两船相距多远？

（3）若。=10,3小时后甲船能比乙船多航行70千米吗？请说明理由.

【变式61】（2020秋•随县期末）汽车上坡时每小时走28切?，下坡时每小时走35A7打，去时，下坡路的路程

比上坡路的路程的2倍还少14h〃，原路返回比去时多用了12分钟.求去时上、下坡路程各多少千米？

【变式62】（2021春・71州区校级月考）渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流速度是每

小时3里：一阵风把他帽了•吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽了•相距2.5

里；于是他立即原地调头追赶帽子，原地调转船头用了10分钟.

（1）求顺水速度，逆水速度是多少？

（2）从帽子丢失到发觉经过了多少时间？

（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？

【变式63】（2020秋•海珠区期末）如图，A、8两地相距90千米，从4到3的地形依次为：60千米平直

公路，10千米上坡公路，20千米平直公路.甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从3

地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80

千米/小时，甲、乙两人同时出发.

（1）求甲从4到B地所需要的时间.

（2）求两人出发后经过多少时间相遇？

（3）求甲从人地前往8地的过程中，甲、乙经过多少时间相距1（）千米？

D----------B

一元一次方程的应用（一）重难点题型

【答案版】

【知识点1一元一次方程的应用】

列一元一次方程解应用题的关键是找到符合题意的相等关系.常见的相等关系有以下几种：

1.部分量之和=总量.

2.表示同一个量的两个不同的式子.

3.找出题目中表示相等关系的关键词，如“相等”，“等于"，“比”,“是"，“占”等手，从而列出

相等关系.

【题型1和、差、倍、分问题】

[ft11(2021•新华区模拟)长江比黄河长836如?，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284加?，设长江

长度为班机，则下列方程中正确的是()

A.5x-6G-836)=1284B.6x-5(x+836)=1284

C.6(x+836)-5.r=1284D.6(x-836)-5x=1284

【解题思路】根据长江比黄河长836切?，设长江长度为Mm,即可得到黄河的长度为(x-834)km,再

根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284切?，可以列出相应的方程，从而可以解答本题.

【解答过程】解：由题意可得，

6(x-836)-5x=1284,

故选：D.

【变式11】(2020秋•铜梁区校级期末)小明今年6岁，他的爸爸今年34岁，x年后爸爸的年龄是小明的

年龄的3倍，根据题意，列出方程为()

A.3(6+x)=34B.3(6+x)=34以

C.3X6=34+%D.6+x=3(34+x)

【解题思路】根据x年后爸爸的年龄是小明的年龄的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解.

【解答过程】解：依题意得：34+x=3(6+x).

故选：B.

【变式12】(2021•内乡县一模)(增删算法统宗)记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添

一倍多，问君每日读多少？“其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数

是前一天的两倍.问他每天各读多少个字？已知《孟子)一司共有34685个字，设他第二天读x个字，

则下面所列方程正确的是()

A.x+2x+4x=34685B.x+2r+3x=34685

C.%+x+2x=34685D.x+%+%=34685

【解题思路】设他第二天读x个字，根据题意可得第一天读了彳个字，第三天读了2M个字，再山条件”共

有34685个字”歹IJ出方程即可.

【解答过程】解：他第二天读x个字，根据题意可得：

1

~x+x+2x=34685♦

2

故选：C.

【变式13】(2020秋•昌图县期末)甲、乙两个旅行团同时去某地旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人,

两团人数之和是两团人数之差的16倍.

（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？

（2）若某景点成人票价为每张80元，儿童票价为每张40元，并且乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人

数的2倍少2人，两旅行团在此景点所花门票费用相同.求甲、乙两团中儿童人数各是多少？

【解题思路】（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为（x+4）人，由于两团人数之和是两

团人数之差的16倍，即：两数之和为：4X16=64,以两数之和为等量关系列出方程求解；

（2）设甲团儿童人数为,，人，则可知乙团儿童人数为（2），-2）人，根据等量关系：甲乙所花门票相等

可以列出方程，求解即可.

【解答过程】解:（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人数为（.r+4）人.

根据题意，得x+x+4=4X16,

解这个方程，得x=30,x+4=34.

答：甲、乙两个旅行团的人数分别是30人，34人：

（2）设甲团儿童人数为y人，则可知乙团儿童人数为（2y-2）人,所以甲团成人有（30-），）人，乙团

成人有［34-（2），-2）］人.

根据题意，得40y+80（30-y）=40（2），-2）+80［34-（2y-2）］,

解这个方程，得

则2y-2=2X10-2=18.

答：甲、乙两团儿童人数分别是10人和18人.

【知识点2等积变形问题】

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：（1）形状变而体积不变；（2）原材料体积

=成品体积.

【题型2等积变形问题】

【例2】（2020春♦孟津县期中）如图，A、8两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱人中没

有水，水箱8盛满水，现以6d加加的流量从水箱8中抽水注入水箱4中，当水箱4与水箱B中的水

的体积相等时，两水箱中水位的高度差（抽水水管的体积忽略不计）2dm.

3dm5dm

水箱A水箱B

【解题思路】设水箱A中的水位高度为北加，由水箱A与水箱B中的水的体积相等，列出方程可求解.

【解答过程】解：设水箱A中的水位高度为七加，

由题意可得：2X3Xx=1x2X5X6,

•・x=5,

•，两水箱中水位的冏度差=5-3=2(dm),

故答案为：2dm.

【变式21】(2020秋•射阳县期末)如图是边长为60c〃?的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2

所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是()

图1图2

A.6000(/??3B.8000a/C.10000c/D.12000c毋

【解题思路】将长方体的高设为X"小则宽可表示为2xcm,由长方体展开图为正方形，可得出边的关系

列方程求得x,进一步求出长方体的长宽，即可求得体积.

【解答过程】解:设长方体的高为X5?,则宽为2X5?,

根据题意得：

.t+2x+x+2x=60,

解得x=10,

所以，长方体盒子的宽为20c”!，长为60-20=40cm.

体积：40X10X20=8000(c〃J).

故选：B.

【变式22]（2020秋•定远县月考）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积

分别为80cm2、100（加，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位

高度比原先甲的水位高度低了8°〃，则甲的容积是（）

A.1280cmB.2560cm3C.3200cm3D.4000cm3

xX

【解题思路】设甲的容积为X,得出甲的高度为正皿乙的高度为赤皿根据甲中的水全部倒入乙中,

则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8°〃，列出方程求解即可.

【解答过程】解：设甲的容积为x，根据题意得:

XX

——---=8

80100

解得：x=3200,

答：甲的容枳为3200a/.

故选：C.

【变式23】（2020秋•历城区期天）有一块棱长为06〃的正方体钢坯，想将它锻成横截面是0.008加2的长

方体钢材，则锻成的钢材高为，2m.

【解题思路】有一块棱长为06〃的正方体钢坯，想将它锻成横截面是0。08〃?2的长方体钢材，则锻成的

钢材高为

【解答过程】解：设锻成的长方体钢材高为“〃?，

根据题意，得：（）.008x=0.6,,

解得x=27,

即锻成的长方体钢材高为27/〃,

故答案为：27.

【知识点3数字问题】

1.抓住问题中数的变化规律，列一元一次方程解决数的规律问题.

2.数位上的数改变后形成新的十进制数，在表示新数时，要注意进率的变化.

【题型3数字问题】

【例3】（2021•荣昌区校级开学〕一个五位数，个位数为5,这个五位数加上6120后所得的新的五位数的

万位、千位、百位、十位、个位的数恰巧分别为原来五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数,

则原来的五位数为（）

A.48755B.47585C.37645D.36475

【解题思路】设这个数的方位、千位、百位、十位分别为。、氏c、d.都小于等于9.那么这个数可写

为他45,根据题意列出方程并解答.

【解答过程】解：设这个数的万位、千位、百位、十位分别为仄c、d.都小于等于9.那么这个数

可写为10000。+1000/?+100c+lOd+5+6120=50000+1000〃+100"10c+d.

/.1000«+100/?+10c+J=4875，

；・4=4,b=8,c=7,d=5,

，这个数为4875.

故选：A.

【变式31】（2021・K兴县模拟〉“格子乘法”作为两个数相乘的--种计算方法，最早在15日纪由意大利

数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“锚地锦”.如图1,计算47X51,将乘数47

计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格

子中，最后按斜行加起来，得2397.如图2,用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则。的值为（）

【解题思路】根据题意可得方程10（a-2）+（-a+8）=3小解方程即可求解.

【解答过程】解：由题意可得，如图，

则有10(〃・2)+(-a+8)=3a,

解得：4=2.

故选：A.

【变式32】（2020秋•沙坪坝区校级期末）一个两位数，个位数比十位数字大4,而且这个两位数比它的数

字之和的3倍大2,则这个两位数是一26.

【解题思路】设十位数字为x，个位数字为1+4,根据数字问题的数量关系建立方程组求出其解即可.

【解答过程】解：设H立数为N，个位数字为x+4,根据题意得：

IOx+x+4=3（x+x+4）+2,

解得：x=2,

则这个两位数是26；

故答案为：26.

【变式33】（2020秋•柘城县期末）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7,如果这个两位数加上45,

则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数.求这个两位数.

【解题思路】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为人7-X,根据题意列出方程，求出这个两位

数.

【解答过程】解：设这个两位数的十位数字为尤则个位数字为7-x,

由题意列方程得，10x+7-x+45=10（7-A-）+x,

解得x=\,

.*.7-x=l-\=6,

・•・这个两位数为16.

【知识点4行程问题】

1.行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分

直线运动及曲线运动.

2.相遇问题是相向而行，相遇时的总路程=两运动物体的路程和.

3.追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追.

4.顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同.

【题型4相遇问题】

【例4】（2020秋•北暗区校级期末）甲乙两人分别从相隔56切?的A、8两地同时出发，甲骑自行车的速度

为每小时20千米，乙步行的速度为每小时8千米.

（1）甲、乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，求经过几小时两人相遇？

（2）甲、乙两人从A地出发，同向而行，当甲到达B地时立刻掠头返回4地，求经过几小时两人相遇？

【解题思路】（1）两人同时相向而行时，相遇总路程等于两人的路程和，即可求解：

（2）设经过），小时两人相遇，两人的路程和等于总路程的二倍，即可求解.

【解答过程】解•：（1）；设经过x小时两人相遇，

由题意得20K+8X=56,

解得x=2,

答：经过2小时两人相遇

（2）设经过），小时两人相遇，

由题意得2O.y+8.v=56X2,

解得y=4,

答：经过4小时两人相遇.

【变式41】（2021春•万州区校级月考）甲乙两车分别从A、4两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车

快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达A地后未作停留，继续保持原速向远离3地的方向行驶，

而甲车在相遇后又行驶了2小时到达8地后休整了1小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过

一段时间后两车同时到达C地，则A,C两地相距420千米.

【解题思路】设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x+20）千米，由题意得3x=2（x+20）,

解得x=40,则x+20=60,求出4,B两地的距离为300千米，设两车相遇后经过），小时到达C地，由

题意得60（厂3）=40（,v+3）,解得y=15,求出B,C两地的距离为720千米，即可得出答案.

【解答过程】解：设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x+20）千米，

由题意得：3x=2（x+20）,

解得:x=40,

则x+20=60,

即乙车每小时行驶40千米，则甲车每小时行驶60千米，

・・・A,B两地的距离为:3X60+3X40=300（千米），

设两车相遇后经过y小时到达C地，

由题意得：60（y-3）=40（y+3）,

解得：y=15,

C两地的距离为：60（15-3）=720（千米），

JA,。两地的距离为:720-300=420（千米），

故答案为420.

【变式42]（2021春•普陀区期中）已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3：4,如果

小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？

【解题思路】设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒，利用路程=速度X时间，结合经过

28秒后两人首次相遇，即可得出关于元的一元一次方程，解之即可得出式•的值，再将其代入*和41中

即可求出结论.

【解答过程】解：设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒，

依题意得：（3x+4x）X28+8=400,

解得：x=2,

，3x=6（米/秒），4x=8（米，秒）.

答：小丽的速度为6米/秒，小杰的速度为8米/秒.

【变式43】（2021秋•姜堰区月考）已知数轴上有A,3两点，分别代表-40,20,两只电子蚂蚁甲，乙分

别从A,3两点同时出发，甲沿线段A3以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点3处时运动停止，

乙沿84方向以4个单位长度/秒的速度向左运动.

NT甲乙§

A।-----------------------1-------->

-40020

（1）A，B两点间的距离为60个单位长度:乙到达A点时共运动了15秒.

（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？

（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？

（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达8点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能,

求出相遇点所对应的数：若不能，请说明理由.

【解题思路】（1）根据A,8两点之间的距离A8=|-40-20],根据题意即可求解；

（2）根据题意列方程即可得到结论；

（3）根据题意列方程即可得到结论；

（4）设甲到达B点前，甲，乙经过。秒在数轴上相遇，根捱题意得方程解方程即可.

【解答过程】解：（1）八、8两点的距离为人8=|-4（）-20|=6（）,乙到达A点时共运动了60+4=15秒;

故答案为:60,15；

（2）设甲，乙经过工秒会相遇，根据题意得

.r+4x=60,

解得x=\2,

-40+x=-28.

答：甲，乙在数轴上的-28点相遇；

（3）两种情况，相遇前，

设），秒时，甲、乙相距10个单位长度，

根据题意得，弁4），=60・10,

解得y=10；

相遇后，

设），秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，

”4）-60=10,

解得：＞,=14,

答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；

（4）乙到达A点需要15秒，甲位于-40+15=-25,

乙追上甲需要25：（1+4）=5秒，

此时相遇点的数是-25+5=-20,

故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是-2

【题型5追及问题】

【例5】（2020秋•新邵县期末）列方程解应用题：如图，现有AB、两段乡村公路，长为1200米，

BC长为2（X）0米，一个人骑摩托车从A处以20〃心的速度匀速沿公路A3、3c向。处行驶；另一人骑自

行车从B处以5mls的速度从B向C处行驶，并且两人同时出发.

CBA

（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？

（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？

【解题思路】（1）设经过x秒摩托车追上自行车，根据“摩托行驶路程=1200+骑自行车行驶路程”列

出方程并解答；

（2）需要分两种情况解答：①摩托车还差150米追上自行车；②摩托车超过自行车150米，根据他们行

驶路程间的数量关系列出方程并解答.

【解答过程】解：（1）设经过x秒摩托车追上自行车，

根据题意得，20K=5X+1200,

解得x=8().

答：经过80秒摩托车追上自行车；

(2)(1200+2000)4-20=160(秒).

设经过y秒两人相距150米，

第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，

根据题意得,20v-1200=5j-150,

解得y=70,符合题意.

第二种情况：摩托车超过自行车150米时，

根据题意得，20y=l50+5y+l200,

解得y=90,符合题意.

答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米.

【变式51】(2021•雨花区校级模拟)古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，骂马日行一

百五十里.驾马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每

天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为

()

A.240.v=150x+l2X150B.240x=150x-12X150

C.240(A-12)=150.v+l50D.240x+15O.v=12X15

【解题思路】设快马/天可以追上慢马，根据快马和慢马所定的路程相等建立方程即可.

【解答过程】解：设快马工天可以追上慢马，

据题题意：240x=150x+12X150,

故选：A.

【变式52】(2020秋•延庆区期末)列方程解应用题：

晚饭后，小明的爸爸像往常一样去散步.半小时后，妈妈发现爸爸没有带手机，就让小明骑自行车去给

爸爸送手机.如果爸爸的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，小明用多少时间可以追

上爸爸？(要求：先写出审题过程，再设未知数列方程)

【解题思路】设小明用x小时可以追上爸爸，根据路程=速度X时间结合小明追上爸爸时两人的路程相

等，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可.

【解答过程】解•：设小明用x小时可以追上爸爸，

依题意得:4X0.5+4x=12x.

解得：x=0.25.

答：小明用（）.25小时可以追上爸爸.

【变式53]（2020秋•清涧县期末）-•天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在

同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次

追上小华.

（1）求小华和爸爸的跑步速度；

（2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？

【解题思路】（1）设小华的跑步速度为k米/分，则爸爸的跑步速度为2x米/分，根据8点零8分时爸爸

第一次追上小华列方程，解方程结可求解；

（2）设再经过），分，小华和爸爸相距150米，根据小华和爸爸相距150米分两种情况列方程，解方程即

可求解.

【解答过程】解：（1）设小华的跑步速度为x米/分，则爸爸的跑步速度为2x米/分，

由题意得（2vx）X8=1000,

解得x=125,

.•・2%=125X2=250（米/分），

答：小华的跑步速度为125米/分，爸爸的跑步速度为250米;分；

（2）设再经过），分，小华和爸爸相距150米，

由题意得250），-125y=150,或250），-125y=1000-150,

解得y=:或苦,

35

634

答：再经过1或w分，小华和爸爸相距150米.

【题型6流水问题与上下坡问题】

【例6】（2020秋•越秀区校级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静

水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时

（1）甲船顺水的速度是度0+。）千米/时:乙船逆水的速度是（30-〃）千米/时:

（2）3小时后两船相距多远？

（3）若。=10,3小时后甲船能比乙船多航行70千米吗？请说明理由.

【解题思路】（1）甲船顺水的速度=水速+船速，乙船逆水的速度=船速■水速；

（2）反向出发，两船相距路程为：甲路程+乙路程=顺水速度X3+逆水速度X3=（30+a）X3+（30-«）

X3；

（3）顺水航行的速度=静水速度+水流速度，逆水航行速度=静水速度-水流速度，路程=速度X时间,

根据此等量关系可列式求解.

【解答过程】解：（1）甲船顺水的速度是（30+a）千米/时；乙船逆水的速度是（30-加千米/时：

故答案是：（30+«）；（30-d）；

（2）依题意得：（30+4）X3+（30-4）X3=180（千米）；

答:3小时后两船相距180千米;

（3）依题意得：（30+10）X3-（30-10）X3=60（千米）；

因为60V7（）,

所以若〃=10,3小时后甲船不能比乙船多航行70千米.

【变式61】（2020秋♦随县期末）汽车上坡时每小时走28回?，下坡时每小时走35M?,去时，卜坡路的路程

比上坡路的路程的2倍还少14Q〃，原路返回比去时多用了12分钟.求去时上、下坡路程各多少千米？

【解题思路】由已知设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x・14）千米，根据已知分别表示出去时和

原路返回的时间，由原路返回比去时多用了12分钟列出方程求解.

【解答过程】解：设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x74）千米，根据题意得：

2x-14xx2X-141?

------+——（—+------）=前，

2835283560

解得:x=4