上海市某中学2025-2026学年高二年级上册开学摸底测试（9月月考）数学试卷

上海市延安中学2025-2026学年高二上学期开学摸底测试(9月

月考)数学试卷

学松姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知A(21)、8(T,4),则前的单位向量坐标为_______.

2.已知aABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若“BC的面积为才+“一厂,。=血,

4

则该三角形外接圆的半径等于.

3.已知角a(()°＜。＜360。)终边上A点坐标为(sin31O。,8s310。)，则。=.

4.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一・已

知摩大轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩大轮6分钟后，乙也坐上了摩大轮，乂过了

改＜30)分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则1=.

5.已知函数/(x)=cos5(g＞0)在区间［0,2可有且仅有3个零点，则。的取值范围是.

6.在△A8C中，ZC=-,AC=AC=2,M为人C的中点，P在线段A8上，则丽.汴的

2

最小值为

7.已知7，］为互相垂直的单位向量，2=7-2］,b=l+Aj,且Z与石的夹角为锐角，则

实数％的取值范围为.

8.已知|2sin〃-cos/?+2=0,sina=2sin(«+/?),则tan(a+/7)=.

9.已知函数)，=f(x)的表达式是/(x)=cos2x+asinx,若对于任意XGR都满足f(x)＜,

则实数a的取值范围是.

10.已知/(x)=|sinx|+cosx,g(x)=/(x)+/(x+^),若存在西，"口，对任意xeR，

g(M)Wg(x)Kg(W)恒成立，贝g(内)+g(w)=.

rr

11.己知平面向量Z,",Z满足：卜W-q=2,(Z—万)〃0—2),(£-力伍-力=0,

则卜-2的最大值为.

12.定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那

么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列｛Z｝是以

1=(1,3)为首项，公差2=。,0)的等差向量列.若向量7与非零向量£=(七,七+)(〃61<)垂

直，则显=.

玉

二、单选题

13.已知sin2e+cos。与cos26+sin。都是非零有理数，则在sin。，cos。，tan6中,一定

是有理数的有()个.

A.0B.IC.2D.3

14.已知1是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量

是()

A.(1=2^+e^,b=-e^+-e^B.5=4^-2e,b-2e-e

242x2

日出=

C.=3q+&24+%D.d=e,-2e2,h=2e}+4e2

15.己知函数/(x)=sinx+cosx的定义域为［凡句，值域为［7,&］,则的取值范围是

()

3兀nit3it

A.T?2B.2，1'_

it3兀37t3兀

C.2*TD.丁'万

16.对于函数f(x)=2%siMx,有以下4个结论:

①函数y=/(幻的图象是中心对称图形；

②任取xeR,恒成立；

③函数)，=/*)的图象与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；

④函数y=/(x)与直线y=2x的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等.

其中正确的个数为().

A.1B.2C.3D.4

三、解答题

17.已知4=(1,1),1=(4,x),"=1+2b,v=2d+b.

试卷第2页，共4页

(1)若。〃6,求实数x的值；

(2)若(〃—2U)_L(〃+P),求实数x的值.

18.足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路

平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置2处起脚射门进球的可

能性最佳(即点/＞对球门A8所张的角/AP8最大)，假如每条虚线都表示在规定的区域

48E内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P,为了研究方

便，如图建立坐标系，设4-1,0)、8(1,0),P在x轴的上方.

(1)若乙424=?,求此时aAB〃的外接圆的圆心坐标

O

⑵过点。作X轴的垂线，垂足为，，若”(4,0),求当/AM最大时，点〃的坐标

19.已知函数/(力=tan«yx+yl(＜y＞0).

(I)若0=2,求函数/(x)的最小正周期及其图象的对称中心.

⑵若函数/(X)在区间［0,同上严格单调递增，求。的取值范围.

⑶若函数“X)在［。㈤(。力wR且〃＜力)上满足“关于％的方程〃K)=百在［。肉上至少存

在2024个根”，且在所有满足上述条件的［4句中，力-。的最小值不小于2024,求。的取值

范围.

20.已知△QA8中，O人=0,08=6,令。4=口力行=N，且无〃=1.过A3边上一点4(异

于端点)作边04的垂线4Q.垂足为储，再由《作边。4的垂线。内，垂足为周,乂由《

作边A8的垂线桃，垂足为6.设由(。＜乙＜1)

(1)求人/3的长度；

(2)若。=g,西=求4的值；

(3)若存在实数3使得书为常数，求攵的值，并写出该常数.

/1•"K

《上海市延安中学2025-2026学年高二上学期开学摸底测试（9月月考）数学试卷》参考答

案

题号13141516

答案DDDB

【分析】先求48,在根据单位向量的公式求解.

【详解】A8=（-3,3）,%=|^48=一与，去.

故答案为：卜孝，孝）

2.1

【分析】先根据己知求出C,再利用正弦定理求解.

【详解】由题得---------=—ahsinC,--------=—«Z）smC,

4242

所以。?=2R,/.R=1

sin—

4

所以三角形的外接圆的半径为1.

故答案为1

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平，属于基础题.

3.140°

【分析】先根据点A的坐标求出角a的范围，然后根据任意角三角函数的定义结合诱导公式

可求得答案.

【详解】因为角4（0。＜a＜360。）终边上八点坐标为（近11310。,8$310。），Ksin3100＜0,

cos310°>0,

所以90。＜。＜180°,

cos310°cos(3600-500)cos50°

因为(ana=-------=-------------=--------

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(90o-40°)sin40°

--sin(90°-40°)--cos4D°

=-tan<)°

答案第1页，共13页

=tan(180°-40o)=tanl40°,

所以。=140。.

故答案为：140。

4.12

【分析】根据甲乙两人离底面高度相等，即甲乙关于摩天轮初始位置所在的直线对•称，列出

等式即可求解.

【详解】1分钟12、，甲乙相差72"当甲乙离地面高度相等时,

乙转了180-36=144,即12分钟

故答案为：12.

5z]

5.彳引

【分析】由仆）=。，求得-力受得出函数的零点，集合题意，得出不等式

5兀7n

——<2n<——，即可求解.

2a)2co

【详解】由函数/（X）=COS0X,令/（刈=0,即COS3X=0,

解得①x=N+E,kwZ,可得x=」-+@4eZ,

22coco

因为&wZ,则对应的零点为〈丁,丁,丁，丁,,•

I26?2(02co2(0

因为函数/（x）=cos>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点,

则满足57r等2兀若77r，解得5%。小7即实数”的取值范围为由3

2(o2a44

52、

故答案为:4a

6.I

【分析】以线段A/3的中点为坐标原点，线段A/3所在直线为x轴，线段八B的垂直平分线为

V轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.

【详解】如图：以线段AE的中点为坐标原点，线段所在直线为x轴，线段AB的垂直平

分线为）'轴建立平面直角坐标系,

答案第2页，共13页

则q芋制,C(O，0)，设PG，O)，-限x"及，

则XlPCP=}[,-应)=(彳-'^>+1=x2~~^~x+1，

当工=4时，(称.现「图-争¥+1]

故答案为：].

O

7.且2H—2

2

【分析】根据题意可知0=1,|7|=1,77=o,3石>0,可得出％的取值范围，再计算Z与

〃同向时见的值，即可得2的取值范围.

【详解】因为[与7；的夹角为锐角，

所以75=用年以吠£石)>。，且Z与5不同向，

所以£•]=(-+(A-2)r«j-2Aj2=|f|2+(2-2)f-J-221/>0,

因为7，J为互相垂直的单位向量，

所以『=1,|4=1,7・1=o，

所以1-24>0,可得义<!，

2

当£与万同向时，2=/^(/>0),B|JZ-2J=/(7+2J),

/=1A=—2

可得.,，可得〈.，此时不满足Z与坂的夹角为锐角，

—2=Att=I

答案第3页，共13页

综上所述：实数4的取值范围为且义工-2.

故答案为：且2H-2.

8.—/0.5

2

【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可

【详解】由题意可知*ina=*in[S+/?)—/?]=sin(rr+/yjcos/?—cos(<y+/?)sin/?

=2sin(a+/7),

即sin((7+/?)(cos/7-2)=cos(a+//)sin/7,

由题意可知cos(a+〃)wO,cos/y-2H(),

sin(a+0sinpsinp1

Illi----------=--------=------=-

'cos(aIB)cos(322sin(32

故答案为：\

【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理

的配凑即可处理.本题已知£及。与a+尸的关系，所以构造sina=sin((a+Q)-/?),利用整

体思想凑出未知式计算即可.

9.[4,芹)

【分析】把函数/。)化成关于sinx的二次型函数，再换元利用二次函数取最大值的条件求

出a的范围作答.

【详解】依题意,/(x)=-2sin、+asinx+l,XGR,令/=sinxw[-l,l],

对于任意xeR都满足/J)工/弓)，则有/(x)g=/($，即当x=],sinx=l时，函数”用

取得最大值，

于是函数y=-2/+”+l,在“I时取得最大值，因此(21,解得。之4,

所以实数a的取值范围是4+8).

故答案为：[4,48)

【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次

函数在区间卜1』或其子区间上的最值求解.

10.2&

答案第4页，共13页

【分析】依题意，先确定函数g(x)，再由三角函数的性质确定最大最小值.

【详解】依题意，

g(x)=f(v)+/(x+^)=|sinxI+cosx+1sin(A：+|+cos(^+y)

=|sinJV|+cosA+Icosx|-sinx

.71

一sinx+cosx-cosx-sinx,xc2kn-n,2kn—

2

-sinx+cosx+cosx-sinx,xe2kn--,2kli

【2

sinx+cosx+cosx-sinx,xe2/ai,2kn+—

12

sinx+cosx-cosx-sinx,xe2kn+—,24兀+冗

I2

-2s\nx,xe2E-兀2E一色

2

2>/2xu2而号，2E

1%eZ),

2COSX,XG2k7t,2k7t+—

I2

0,xe2kn+—,2kn+n

【2

对任意xeR,g(内)4g(x)Ag(8)恒成立,

当xw2E-兀(kEZ)时，g(x)«0,2],

当xe(AeZ)时，则x+；+；(keZ),g(x)1替2&,

Z-

当xe2kn,2kji+^(kwZ)时，g(x)i[0,2),

zx

当xw2kn+—,2/ai+n(k=Z)时，^(x)=0.

、2J

g(x,)<^(x)min=0得I"=2近

所以g(X2)Ng*)nux=2&

所以g(N)+g(%)=2夜.

故答案为：2&-

【点睛】对于不等式恒成立问题，常转换为研究函数的最大、最小值满足不等式.

II.3

【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点A,8,C共线，且|84|=1,|8。|=2,点D的

答案第5页，共13页

轨迹是以线段AB为直径的圆，故卜一⑷即可理解为点C到圆上点的距离，即得点。与点A重

合时取得最大值.

【详解】

依题意，如图分别作。i=ZoQ=/；,03=2,0/5=2,其中卜网二邛一目=忸4=2,

由他-5)〃伍一己知丽〃而，依题意知点c有两个位置，即点c和点G，

又12=砺不缶而，由倒叫(5")=0知办j.丽，

即点。的轨迹是以线段人8为直径的圆.

故)-2=方己的模长当且仅当点。与点A重合时取得最大，最大值为|。(|=2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共

线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何

图形的距离、夹角等相关品来解决.

⑵一翁Y

【分析】根据等差向量列的定义可得彳=(〃,3),根据向量垂直的数量积的形式可得

,g故可唠

【详解】7=(1，3)+(〃-1)(1,0)=(〃,3),

因为向最Z与非零向量叫=(七B乂〃wN')垂直,

故/叫=-3%…

由题设可知外工0,故乙=0,故&^二一^,

Xn$

,,再°再。内占x,9x8x..«xl

X]xyx,x,3

答案第6页，共13页

8x7x2x5x4x24480

=----------------------=---------,

3’243

」

故4X答5案*为：一4年480~

13.D

【分析】令（2sin6+l）8s6="（"sin6）（2sine+l）=〃，分别用〃?，〃表示sin。，cos。,tan。,

进而求得在sin。，cos。，tan。中一定是有理数的个数.

【详解】sin2e+cos6=2sin8cos6+cose=（2sine+l）cos。，

cos2^+sin^=1-2sin?^+sin^=(l—sin^)(2sin^+l),

(

则［(l2.ssiniM8+(l2)scionse"+0l"则sin—k|cos。"

(2sinO+l)cos8=〃7

则“7,〃为非零有理数,

(1-sin6)(2sin6+1)=〃

若〃?+〃=(),则cosO-sinO+l=0,

结合上述限制条件可得cos〃=-Lsin0=O,此时tane=0,

故三者中有理数的个数为3个.

若〃?+〃/0,

9.0、0

।丝—(2sin夕十1)cos。_cosd_222

77一(1-sin0)(2sin0+l)-1-sin。-cos四+si/-1+tan，

222

430n-m.n-m...0

解之得匕11二=----,令-----=t,Wijtan-=r,

2n+mn+m2

市,〃〃工0,可得rx±l,r为有理数,

tan—2f

则sin。=2sin—cos—=-------j,

22“an】

2

cos0-cos2--sin2—=--,tan0=」，

221+/2\-t2

则sin0,cos0.tan夕均为有理数.

综上，在sin。，cos〃，lan9中，一定是有理数的有3人.

故选：D

答案第7页，共13页

n

【点睛】关键点点睛：关键是得到tan^=i是有理数且"±1,从而即可顺利得解•.

14.D

【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可.

【详解】对于A,4=2力+[=4(；4+；&j=4方，故2方共线，故A错误；

对于B"酝一区=2(石一动=涕,故共线,故B错误；

对于C,已=31+32=31+0)=36,故£出共线，故C错误；

对于D,设£=4，2wR,则日=4-2%=〃=4(2冢+4《)，

।_24

所以~2无解，故34不共线，故D正确.

-2=4X

故选：D.

15.D

【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.

【详解】f(-V)=sinx+cos=>/2sin(x+—),因为所以x+;€〃+/,/?+?,因

44L44

为—lK0sin(x+f)K&,所以—立43](工+凡)41.

424

正弦函数卜=力0在一个周期-与内，要满足上式，则x+,

37r3兀

所以("一吟皿=7--7=y*(z?-^)=T_7=T,所以。一。的取值氾围是

minT'T

故选：D

16.B

【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可.

【详解】函数/(x)=2xsin》,定义域为R,

①：因为/(-力=-2心访2工=-/(“，所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中

心对称图形，因此本结论正确；

②：因为Ovsii?lcl,所以/(T)=-2siYl>-2,因此/(-1)工-2不成立，所以本结论不

正确；

③：令y=/(x)=O,即2工点1?工=0,解得x=0或sinx=O,其中当sinx=O时，x=〃兀(〃eZ),

显然函数y=/@)的图象与轴有无穷多个交点，且任怠两相邻交点的距离相等，因此本结论

答案第8页，共13页

正确；

®：/(x)=2xsin2x=2x,解得x=0或sii?x=1,其中当sii?x=l时，x=br+1(AreZ),

三一°=3，=兀，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确：

2222

所以4个结论中，正确的有2个.

故选：B.

17.(1)4；

Q)-6

【分析】(1)利用向量平行(共线)的坐标关系可得；

(2)利用向量垂直即数量积为零即得.

【详解】(1)解：故Lx=L4nx=4；

(2)解：〃-2P=4+2万-2(2〃+行)=-3〃

〃+9=〃+26+2，+6=34+36

,/(«—2v)±(w+v)

...(一34)(3白+3万)=0

.\2+4+x=0

/.x=-6.

18.(1)(0,x/3)；

(2)(4,715)

【分析】(1)利用正弦定理求出AABP的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解

即得.

(2)利用直角三角形边角关系，用点P的纵坐标表示tanZAP”」an/8P”，再利用差角的

正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得.

【详解】(1)在△A8P中，设其外接圆半径为R,AB=2,NAP3=m，

O

Afi

由正弦定理得2"=.笑=4,解得R=2,

sin/.A0PB0

显然的外接圆圆心在线段A8的中垂线，即》轴上，设圆心坐标为(0，%)，%＞。，

于是1+巾=4,解得%=后，

答案第9页，共13页

所以AABP的外接圆的圆心坐标为(0,6).

(2)设点P(4J)">。，显然A”=5,BH=3,而尸•轴，

AlJCRH3

则tanAAPH=—=-,tan4BPH=——=-,

PHtPHt

5_3

于是tanNAPB=lan(/4P"-ZBPH)=1，=-^―<—?==—,

1+2.3/+"2V1515

ttt

当且仅当/=}即y后时取等号，而一"4是锐角，正切函数尸tanx在呜)上单调

递增，

因此最大，当且仅当lan/A08最大，

所以当NAP4最大时，点〜的坐标是(4,店).

【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示

是解题的关键.

7C兀内C八,〜

19.(1)—•»一"7十二，AeZ

2164)

⑵(咱

⑶(。符

【分析】(I)先写出函数“外的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；［2)

由题意利用正切函数的单调性，求得。的范围；(3)由题意利用正切函数的周期性和零点,

结合正切函数图象的特点，求得。的范围.

TT

【详解】(1)由于/(x)=tan(ox+§),且3=2,

JFTT

所以f(x)=tan(2x+《)的最小正周期为:，

令2x+g=母，求得工=?-?,keZ,

3246

故/。)的图象的对称中心为("一?，0),kwZ.

46

答案第10页，共13页

（2）若函数），=/（x）在区间［0,7C］上严格递增,

则只需保证5十;<三，求得®且G>0,

326

即。的范围为（。［）.

（3）函数/（%）=121!（5：+』（0>0）的最小正周期为巴，

I3J3

关于X的方程/（X）=6在区间［〃/］上至少存在2024个根,

故当xw［a,b］时，关于x的方程tan（<yx+y）=G至少有2024个根，

即关于x的方程5+^=桁+^，&eZ,至少有2024个根，

JJ

即当向时，关于x的方程式=Ir三TT，kjZ,至少有2024个根.

（0

且在所有满足上述条件的中，b-a的最小值不小于2024,

,JI

故匕一〃至少包含2023个周期，2023—>2024,

（0

w、1/八2023兀

所以时］•

20.(1)73

⑵“T

（3乂=-9；该常数为一1

49

【分析】（1）根据向量数量积求出cos4O8,余弦定理求的长度；

（2）由乙=；,得相=8"告，设NO8A=a,余弦定理求cosa,由叫=3/cosa,

可得4的值;

⑶由A［=A可求得A£=¥-蜘，则有“得-，代入篙中判断值为常

数的条件.

【详解】⑴设NAO8=0,则占名=|同Mcos6>=>/2•>/§-cos^=1,得cos0=也

6

所以A8=&M2+CB2-2OACBcos。"+3-2."5骼:后

(2)由已知=6,一］)=3而，则AE=8<=立，

22

222

n…nlAB+OB-OA3+3-22

&ZOBA=a,则cosa=---丁二二---=----7=一尸=:，

2ABOB2x5/3xV33

答案第11页，共13页

所以82=BR・cosa=#,则有闻:一;砺，得有-

（3）由08=48=百可得/Q48=/AO8=£,由（1）知cos〃=V6

6，

A«=5,州=6_&,

BQ=；（G-疯J。。1=6-,（6-鸟）=4+¥^

JJJJ

OR,=

A人四逑一旦上越一乌

-6I63'J18