圆锥曲线的综合问题（讲）-高考数学一轮复习解析版

第04讲锥曲线的综合问题

旦考纲考情

本讲为高考命题热点，分值22-27分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，

选择填空题常考圆锥曲线帏圆双曲线的离心率，几何关系等问题，大题题型多变，但多以最

侑，镇信，范围，存在性问题，考察涉辑推理能力与运算求解能力.

国题型剖析

高频考点一圆锥曲线的定值定点问题

【例1］［例1］已知抛物线C：)2=2/尔〃＞。)的焦点汽1，0)，O为坐标原点，A，8是抛

物线C上异于。的两点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线04,08的斜率之积为一盘求证：直线A4过x轴上一定点.

I破题思路I

第⑴问

求什么

求抛物线。的方程，想到求〃的值

想什么

给什么

给出焦点尸的坐标，利用焦点坐标与〃的关系求〃

用什么

第(2)问

求什么

求证：直线人8过x轴上一定点，想到直线AB的方程

想什么

题目条件中给出2,3是抛物线C上异于点。的两点”以及“直线04,03的斜率

给什么

之积为一为'，可设A,B两点的坐标，也可设直线人8的方程

用什么

差什么

要求直线AB的方程，还需要知道直线A8的斜率是否存在，可分类讨论解决

找什么

［解］⑴因为抛物线尸=2/“(〃＞0)的焦点坐标为尸(1，0)：所以与=1,所以〃=2.

所以抛物线C的方程为＞2=4.工

(2)证明：①当直线A3的斜率不存在时,

设4（j,）代一）

因为直线OA,08的斜率之积为一口，

t-t

所以今4=一：，化简得F=32.

I•乙

所以48,。，8（8,一力此时直线AB的方程为％=8.

）3=41，

②当直线人8的斜率存在时，设其方程为），=丘+仇A（X,y）,B（XB,y）,联立.

AABy=kx+b

4〃

消去文，化简得&），一4y+4〃=0.所以力吸=了，

因为直线04,03的斜率之积为一J,所以地¥=一］,

2XAXRZ

22

整理得为闻+2后w=07咛•学+2）椁=（）,

解得后冲=0（舍去）或WB=-32.

所以产华=-32,即〃=—8攵，

所以y=心一8k,即y=Z（工一8）.

综上所述，直线A3过定点（8,0）.

【方法技巧】

［题后悟通］

不能工确应用条件“直线。4,OB的斜率之积为一会是造成不能解决本

思路受阻分析

题的关键

定点问题实质及求解步骤

解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆

相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动.这类问题的求解一般可

分为以下三步：

--------:‘选择变疑，定点问题中的定点，随某一个出的变；

技法关键点拨一选u化而固定，可选择这个戊为变*（有时可选择两：

［（设参）门个变量，如点的坐标、斜率、微距等，然后利用其：

Un【他辅助条件.忖其中受二）.................；

［二求u求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的;

|（用参）F问题表示成关于上述变址的方程：

［福瑞F对上述方程进行必要的化简’即可得到定点坐标!

【跟踪训练】

已知椭圆C：，+£=13＞力＞0)的右焦点尸(小，0),长半轴长与短半轴长的比值为2.

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设不经过点仅0,1)的直线/与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点3在以线段MN

为直径的圆上，证明：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

解：(1)由题意得，c=小,・=2,A2=ZJ2+C2,

•e•67=2,b=1,

椭圆。的标准方程为1+)，2=1.

(2)当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为尸=履+机(〃/1),MS,Ji),N(X29V2).

联立Iy—=kx^m,,消去卜

可得(4F+1)『+8如7工+4〃P—4=0.

?--8km4/fp—4

・・/=16(4K+l-用/)>0,内+『=以:+］，x\X2=4c_|_।.

:点、8在以线段MN为直径的圆上,

・••丽•而=0.

*/BM-BN=(X[,匕I+〃]—1)(X2,+1)=(R+1)X逮2+*(〃?—1)(X|+%2)+。〃—1户

=0,

1,4m2-4,—8km,1,

••(3+1)4.+]+kg1)4.+]+(w-l)-=0,

整理，得5〃尸一2m—3=0,

3

解得m=一;或机=1(舍去).

・••直线/的方程为y=kx-^.

易知当直线/的斜率不存在时，不符合题意.

故直线/过定点，且该定点的坐标为(()，一号.

高频考点二圆锥曲线的最值问题

【例2】在平面直角坐标系中。为坐标原点，圆。交k轴于点片，后，交)，轴于点3,

以⑦，约为顶点，Q,B分别为左、右焦点的椭圆£恰好经过点(1,阴.

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)设经过点(一2,0)的直线/与椭圆石交于M,N两点，求△尸2A/N面积的最大值.

=3J-i+H=3

13

当

-即

=不

ZS有最大值,

Smax=^P，成匕时&=千.

工当直线/的斜率为qg时，可使△尸2MN的面积最大，其最大值为平.

【方法技巧】

［解题技法］

求椭圆离心率的三种方法

1.宜接求出小。来求解e.通过已知条件列方程组，解出〃，c的值.

2.构造mc的齐次式，解出e.由已知条件得出关于〃，c•的二元齐次方程，然后转化为关

于离心率e的一元二次方程求解.

3.通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

［提醒］在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用桂圆的离心率e£(O,l)进行根的取舍,

否则将产生增根.

高频考点三证明问题

2

【例3】(2018•全国卷I)设椭圆C：1的右焦点为F,过/的直线/与C交

于A,8两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当/与入轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：N()MA=NOMB.

［破题思路］

第⑴问

求什么

求直线AM的万程，想到求直线AM的斜率或直线上的点的坐标

想什么

给什么题目给出M的坐标及/与x轴垂直可利用/与x轴垂直求出/的方程，进而求出4

用什么点坐标，并求出直线AM的方程

第⑵问

求什么

证明NOAM=/OM8.可转化为证明直线MA与MB的斜率间的关系

想什么

给什么题目中给出。点及M点的坐标,可求得1与x轴重合、垂直两种特殊情况下ZOMA

用什么=/OMB

缺什么缺少直线(不与x轴重合或垂直时)，直线/的方程及直线/与椭圆交点A,。的坐

找什么标，可设直线，’的方程及4,8两点的坐标求解

［解I(1)由已知得尸(1,0),/的方程为x=l.

则点4的坐标为(1,坐)或(1,一乎)

又M(2,0),

所以直线AM的方程为y=一哗x+小或,

即x+也厂2=0或工一柩，一2=().

⑵证明：当/与x轴重合时，NOM4=/OM8=0。

当/与x轴垂直时，OM为48的垂直平分线，

所以NOMA=NOM8.

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为

y=k(x—1)(4)，A(x\,yi),8(及，心)，

则X|<&,X2<®直线MA,M8的斜率之和为

VIY2

Xi-2X2-2

由yi=hi—k,yz=kx2—k,

2丘1X2-3左打+X2+4A

得kxtA+kMH=A1-2A2-21

将y=k(x—1)代入亍+)2=1,

得(2F+l)f-4Er+2M-2=0,

41c21c—2

所以文1+工2=X[X2=

2正+1'W+\'

则23数―34xi+x2)+4k

4K一公一12K+8K+软

=2?+1=°

从而hs+如8=0,

故MA,MB的倾斜食互补.

所以/OM4=NOM8.

综上，N0MA=N0M3成立.

【方法技巧】

（一）思路受阻分析

解决本例（2）的关键是建立AFZA/N的面积S关于斜率A的关系式，然后通过换元构造一

元二次函数求解，而很多同学因不会构造函数造成思路受阻无法继续求解.

（二）技法关键点拨

求圆锥曲线中范围、最值的2种方法

几何法若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来求解

若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数,再

代数法

求这个函数的最值、范围.常用的方法有基本不等式法、导数法、判别式法等

【跟踪训练】

?2

1.设椭圆E的方程为£+方=1（。＞人＞0），点。为坐标原点，点A的坐标为3,0），点3

的坐标为（0,0），点M在线段A8上，满足|8M=2|MA|,直线。M的斜率为需.

（1）求七的离心率伫

（2）设点C的坐标为（0,~b）,N为线段AC的中点，证明：MN_LAB.

解：（1）由题设条件知，点"的坐标为g”，y

Q._或..工b小

又h加=]0,从而五=]（）.

进而得。=小力，c=^cr—lr=2b,故

⑵证明：由N是AC的中点如，点N的坐标为（3，一§）,可得=（§，邛）-又7N=（一

。，h）,

从而有4B1NM=—1tr4-^/＞2=^（5/?2-«2）.

22

由⑴可知a=5bf

所以.•前7=（）,故MALLAB.

2.在平面直角坐标系xOy中，点厂的坐标为（0,1）,以线段M厂为直径的圆与x轴相

切.

（1）求点M的轨迹6的方程；

（2）设7是E上横坐标为2的点，07的平行线/交E于A,B两点,交曲线E在7处的

切线于点M求证：|沏2=||阴州用.

解：（1）设点"（工，），），因为的，

所以MF的中点坐标为《，七一y

因为以线段MF为直径的圆与工轴相切,

所以皿用_|2,+1|即s=&±11

所以）4,“I|M/1—9

故4W+QT）2」"；",得f=2y,

所以M的轨迹£的方程为x2=2y.

⑵证明：因为7是E上横坐标为2的点，所以由