新课预习：圆与圆的位置关系-新高二暑假专项提升

2.5.2圆与圆的位置关系

【划重点】

1.了解圆与圆的位置关系.

2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.

3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.

【知识梳理】

知识点两圆的位置关系及其判定

(I)几何法：若两圆的半径分别为门，/'2,两圆连心线的长为，/，则两圆的位置关系如下:

位置关系外离外切相交内切内含

(^00©o

图示

d与八，门

d>r\-\-r2d=r\+r?In—T2|<J<ri+f2</=|n-nld<\ri-n\

的关系

(2)弋数法：设两圆的i般方程为

Cl：x2+)2+By+F]=0(历+叫—4F|>0),

2

Q：X+)2+6x++尸2=0(历+万-4F2>0),

/+产+。述+七1)，+回=0,

联立方程得

y+9+D2X+及)，+凡=o，

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数2组1组0组

两圆的公共点个数2个1个0个

两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含

【例题详解】

一、两圆位置关系的判断

A.相交B.内切C.外切D.相离

【答案】A

【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.

故选：A.

A.相交B.内切C.外切D,相离

【答案】B

【解析】分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系.

故选：B.

【点睛】本题考查两圆的位置关系的判断，注意运用两点的距离公式，考查运算能力，属于基础题.

123

A.—B.~C.1D.一

232

【答案】D

【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.

故选：D

A.4B.5C.7D.10

【答案】A

【分析】根据两圆位置关系求解.

故选：A.

A.内切B.相交C.外切D.外离

【答案】D

【分析】圆和圆的位置关系，可以通过比较圆心距和半径之和、半径之差间的关系判断.

故答案为：D

A.相离B.相切C.相交D.内含

【答案】B

因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆G与圆G的位置关系是相切，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考杳两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查

圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.

A.-2B.2C.一1或2D.1或一2

【答案】c

【分析】由圆心距等于两圆半径之差的绝对值可得结论.

故选：C.

二、两圆的公共弦问题

A.2x/3B.2而C.3夜D.6企

【答案】D

【分析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再

结合勾股定理即可完成弦长的求解.

故选：D.

B.公共弦AB的长为立

2

【答案】AC

【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；

B选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；

C选项，线段A8的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；

D选项，求出Q到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.

故选:AC.

【分析】两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，根据圆的弦长公式即可求。的值.

跟踪训练2(1)圆4=0与圆f+y2—4x+4.v—12=0公共弦所在直线方程为()

【答案】B

【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.

【详解】由N+y2—4=0与x2+—4x+4v-12=0两式相减

故选：B

【答案】AB

【分析】先将圆的一般方程化为标准，再计算圆心间距离判断两圆的位置关系，最后根据两圆的位置关系

求解公共弦长或公切线长得出答案.

故选：AB

因此，圆C1与圆。2外切.

故选:D.

【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.

A.相离B.相交C.外切D.内切

【答案】A

【分析】由圆心距与两圆半径的和差比较可得.

故选：A.

A.1B.9C.10D.16

【答案】B

【分析】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解.

故选：B.

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B.公共弦48的长为三

【答案】D

【分析】对于A,联立两圆方程即可得公共弦A8所在直线方程；

对于B,由弦长公式计算即可；

故选：D.

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】先判断两圆位置关系为相离，两圆I：动点的最大距离为两圆半径加圆心距离.

又A为圆G上的动点，8为圆G上的动点，

故选：D.

【答案】AD

【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大「两圆半径之和，解不等式即可得解.

故选：AD.

C.公共弦A3的长为立

2

【答案】ABD

故选：ABD

【分析】由两圆方程作差后求解

【分析】根据圆的半径、圆心可判断两圆位置关系，据此求公切线方程即可.

【答案】1或3

【分析】根据圆的定义，得出。。和0P的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出

两半径间的关系，求解即可.

因为两圆相切，

故答案为：1或3.

⑴求证：圆C1与圆。2相交；

⑵求两圆公共弦所在直线的方程；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；

（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；

⑴求圆a的方程；

（2）26

⑵利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心G到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的

公共弦长.

【课时作业】

A.外离B.外切C.相交D.内含

【答案】B

【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项.

所以两圆外切.

故选：B

A.相离B.相交C.外切D.内切

【答案】D

【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再计算圆心距与半径差或和的比较即可得到答案.

故选：D.

A.14B.34C.14或45D.34或14

【答案】D

【分析】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数”

因为圆C与圆G有且仅有一个公共点，故圆G与圆孰相内切或外切，

所以实数。等于34或14

故选：D

【答案】D

故选:D.

【答案】C

【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而匕求出结果.

又G与C?有且仅有一条公切线，

所以两圆内切，

故选：C

A.1B.73C.石或1D.75

【答案】D

【分析】两圆方程相减可■得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆。2圆心与半径表达式可得答案.

故选：D.

【答案】D

【分析】由两圆外切列方程求，再求圆心C到直线/的距离，结合弦长公式求弦长.

故选:D.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果.

当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，

故选:D.

【答案】AB

【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为。，

故选：AB

【答案】ACD

【分析】根据圆的标准方程，结合圆的切线性质、两圆相交公共弦所在的直线方程性质逐一判断即可.

故选:ACD.

【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质、点到直线距离公式是解题的关键.

【分析】若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.

垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，

【分析】先求出两圆的公共弦所在的直线方程，然后求出其中一个圆心到该直线的距离，再根据弦长、半

径以及弦心距三者之间的关系求得答案.

⑴求圆与圆C2的公共弦长：

【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半

径和弦的关系可求得答案，

【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

所以公共弦长为2G.

（2）解法一：

解法二：

⑴求公共弦AB所在直线的方程.

【分析】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦A