数数图形-三年级奥数培优讲义（解析版）

第01讲数数图形

（知识梳理+例题讲解+考点练习）

。【学习目标】

1.认识并能准确辨认线段、角、长方形（含正方形）、三角形等基本平面图形及其组合图形。

2.掌握数简单图形个数的基本方法，做到不重复、不遗漏，并能总结出一定规律。

3.能够运用有序思考和分类计数的方法解决较复杂的图形计数问题。

4.培养观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力，激发学习数学的兴趣。

■知识梳理

・卡-知识点一、数线段

1.什么是线段？线段是指直线上两点间的有限部分（包括两个端点）。

2.数数方法：

方法一：按基本线段数量分类数。

（1）基本线段：指单独的、不能再分的线段。

（2）例如：一条大线段被分成了n条基本线段（有n+1个端点）。

（3）那么,线段的总条数=l+2+3+...+n

①先数由1条基本线段组成的线段：n条。

②再数由2条基本线段组成的线段：n-1条。

③以此类推，最后数由n条基本线段组成的线段：1条。

④求和即可。

方法二：端点连线法（适用于直线上有多个点）。

（1）直线上有m个点，每两个点之间都能连一条线段。

（2）从第一个点出发，可以连（m-1）条线段。

（3）从第二个点出发（不重复计算已连过的），可以连（m-2）条线段。

（4）以此类推，直到倒数第二个点出发，可以连1条线段。

（5）线段的总条数=（m-1）+（m-2）+...+2+1=mx（m・l）段

3.例题：数出下图中线段的总条数。

ABCD

分析：图中有4个端点（A,B,C,D）,基本线段有3条（AB,BC,CD）O

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方法一：1+2+3=6条。

方法二：4x（4-1）-2=6条。答案：6条。

海知识点二、数角

1.什么是角？具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

2.数数方法（与数线段类似）：按基本角数量分类数。

（1）基本角：指单独的、不能再分的角。

（2）例如：一个大角被分成了n个基本角。

（3）那么，角的总个数=1+2+3+...+n

①先数由1个基本角组成的角：n个。

②再数由2个基本角组成的角：个。

③以此类推，最后数由n个基本角组成的角：1个。

④求和即可。

3,例题：数出下图中角的总个数。

分析：以O为顶点，有OA、OB、OC、OD四条射线，形成了3个基本角（NAOB,NBOC,

ZCOD）o

角的总个数=1+2+3=6个。答案：6个。

知识点三、数长方形（含正方形）

1.什么是长方形和正方形？长方形是四个角都是直角的四边形，正方形是特殊的长方形（四

边相等）。

2.数数方法（适用于规则的网格图形）：对于一个由m行n列小长方形组成的大长方形（或

正方形网格）：

（1）长边方向上的线段总条数=1+2+...+n=nx（n+l）4-2

（2）宽边方向上的线段总条数=1+2+...+m=mx（m+l）-r2

3.长方形的总个数=长边线段总条数x宽边线段总条数

（1）因为每一条长边线段和每一条宽边线段都可以构成一个长方形。

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4.例题；数出下图中长方形（含正方形）的总个数。

田

分析：这是一个2行2列的小正方形（可看作小长方形）组成的图形。

长边方向（水平方向）：有3个点，线段数=2+1=3条。

宽边方向（垂直方向）：有3个点，线段数=2+1=3条。

长方形总个数=3x3=9个。答案：9个。

海知识点四、数三角形

1.什么是三角形？由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。

2.数数方法：数三角形的方法较多，需要根据图形的特点灵活运用，核心仍是有序思考、

分类计数。

（1）方法一：按大小分类数（适用于基本三角形组成的图形）。

①先数最小的（基本三角形），再数由2个、3个…基本三角形组成的大三角形。

（2）方法二：按含基本图形的个数分类数。

（3）方法三：按顶点或底边分类数。

①固定一个顶点，数出以此顶点为顶点的所有三角形。

②或固定一条底边，数出以此底边为底边的所有三角形。

3.例题（简单情况）：数出下图中三角形的总个数（由2个基本三角形组成的一个大三角形）。

分析：图中有2个基本小三角形，还有1个由2个基本小三角形组成的大三角形。

基本三角形：2个。

由2个基本三角形组成的三角形：1个。

总个数=2+1=3个。答案:3个。

腺例题讲解

嘘一、数线段

【例题1】数一数，图中有多少条线段？

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【答案】长方形的总数=长边线段的总数X宽边线段的总数：（31241）X（2+1）=18（个）。

【解析】【分析】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段

围成，线段CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长

方形的长和宽，这里共有6x1*（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6x3=18

（个）长方形。

腺四、数三角形

【例题1】一共有多少个三角形，要做到不重不漏。（要有必要的过程）

【答案】解：4+3+2+1=10（个）

答：一共有10个三角形。

【解析】【分析】查三角形，可以按线段的方法数，一共有5个点，线段的条数就是从1加到

4,所得的和就是线段的总条数，线段的总条数也是三角形的个数。

【例题2】图中有几个三角形？

以顶点A为顶点的三角形有：（1+2+3+4）x3

=10x3

=30（个）

在三角形DEB中，一共有4个三角形；

在三角形BEC中，一共有4个三角形；

因此一共有：30+4+4

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=34+4

=38（个）

答：图中一共有38个三角形。

【解析】【分析】图中三角形的总个数二以顶点A为顶点的三角形的个数十三角形DEB中三

角形的个数十三角形BEC中三角形的个数。

,Z考点练习

/一、数线段

1.数一数，下图中有条线段。

•-------•-------■-------•-------•

【答案】10

【解析】【解答】解：5x（5-1）-2=5x4-2=10（条）

故答案为：10。

【分析】直线上点的个数x（点的个数-1）+2=线段的总条数。

2.数一数，下图中有多少条线段？

【答案】解：6+5+4+3+2+1=21（条）

答：共有21条线段。

【解析】【分析】有2个点的线段有6条；

有3个点的线段有5条；

有4个点的线段有4条；

有5个点的线段有3条；

有6个点的线段有2条；

有7个点的线段有1条；

所以共有线段的条数为：6+5+4+3+2+1；

共有不同线段的条数=1到（n-1）条线段的和。

/二、数角

1.算一算，各有多少个角？

(1):（个）

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【答案】（1）2；1；3

（2）3；2；1；6

（3）4；3；2；1；10

【解析】【解答］解：（1）2+1=3（个）：

（2）3+24-1=6（个）；

（3）4+34-2+1=10（个）。

故答案为：（1）2；1；3；（2）3；2；1；6；（3）4；3；2；1；10。

【分析】规律是：角的总个数=1+2+3+…+n个。

2.请你数一数，在下图中一共有个角。

【答案】15

【解析】【解答】解：5+4+3+2+1=15（个）

故答案为：15。

【分析】观察图形，AB、BC、CD、DE、EF形成5个角，AC、BD、CE、DF形成4个角,

AD、BE、CF形成3个角，AE、BF形成2个角，AF形成1个角，相加即为一共有多少个角。

/三、数长方形（含正方形）

1.数出下图中有几个长方形?

【答案】15。

【解析】【分析】一共5+4+3+2+1=15个。

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2.数出下图中有多少个正方形？

【答案】30。

【解析】【分析】一共有：1+4+9+16=30个。

3.下图中一共有多少个长方形？

【答案】解：7+8+2+2=19（个）

答：一共有19个长方形。

【解析】【分析】基本的小长方形有7个，由2个基本小长方形组成的长方形有8个，由3个

基本小长方形组成的长方形有2个，由4个基本小长方形组成的长方形有2个，长方形的总

数=7+8+2+2=19个。

“四、数三角形

1.下图中有几个三角形？

【答案】解:6+6=12（个）

答：一共有12个三角形。

【解析】【分析】我们可以看到，第一层有6个三角形：三个单独、两个合并、还有一个是整

体。同样地，第二层也是6个三角形。因此，总共有12个三角形。

2.数一数下面图中有多少个三角形？

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【答案】5+4+3+2+1=15（个）

答：图中有15个三角形。

【解析】【分析】根据三角形的特点，由三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形，先数小

三角形有5个，再数两个合并的三角形，有4个，三个合并的三角形，有3个，四个合并的

三角形，有2个，五个三角形合并的三角形，有1个，最后相加即可。

3.下图中一共有多少个三