数学归纳法（核心考点）-高二数学（人教A版选修第二c册）

第04讲数学归纳法（核心考点讲与练）

聚焦考点

一、数学归纳法的定义

二、数学归纳法的基本思想

三、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:

1.证明：当〃取第一个值〃。结论正确；

3.得出结论：由1,2可知，命题对于从〃。开始的所有正整数〃都正确.

＜注意点）递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设，

二凑目标.

＜重点》数学归纳法大致可分为两个步骤，第一步，验证命题对某个自然数n=〃°成立，（ne

N）,一般取“0=1,第二步假设n=k（k£N,k2〃0）的时候，命题成立，证明当n=k+l时命题也

成立.至此就可以得到结论，命题对于〃°和比%大的所有自然数都成立.

如果将证明数学命题用建筑高楼来比喻，这两步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看

作是建设部分，整个命题的基础就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步错误的话，那么不

管第二步的证明有多巧妙和精彩，都如大原建在沙子上一样，是不稳固的；而整个命题的递推过

程在于第二步，如果递推过程出现了问题或者瑕疵，那么就如同建筑中的“烂尾楼”一般，得不

到一个圆满的结局.由此可见，这两步都非常重要，缺一不可.

注：数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段，它的思路明晰，形式优美，

但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在无法转化为递推形式的命题中，数学归纳法

•般是没有用武之地的.

四、用数学归纳法证题的类型：

1.用数学归纳法证明与正整数〃有关的恒等式；

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是

我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题

的证明有目的性.

2.用数学归纳法证明与正整数〃有关的整除性问题;

用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式

子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

3.用数学归纳法证明与正整数〃有关的几何问题；

数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考杳，对于此

类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平

面、空间的个数与交点、交线间的关系等.

4.用数学归纳法证明与正整数〃有关的不等式.

用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n=k+l”时成立，有时要进行一些

简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反

证法等等.

5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.

由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研

究的重要思想方法.在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要.

师点睛

一、对数学归纳法的两个步骤的认识

【例1】对一切n£N*,试比较2"与r?的大小.

【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。

【解析】当n=l时，2'>12,BP2n>n2；

当n=2时，2=2%即2=?；

当n=3时，2:$<32,BP2'<n2；

当n=4时,2'=42,BP2n=n2；

当n:5时,25>52,即2,之；

当n二6时，26>62,BP2n>n2；

••••••

猜想：当nN5,2">n2.下面用数学归纳法证明猜想成立.

(1)当n=5时，由上可知猜想成立.

(2)假设当n=k(k^5)时,命题成立，即一>/那么当n=k+l时，2kH=2•2k>

2k=k>k>k"+(2k+l)=(k+l)即当n=k+l时，猜想成立.

根据(1)、(2)可知，当n，5时，2,n2都成立.

所以n=2或4时,2n=n2；n=3时，2yn1n=l或n25时，2">n'.

【总结升华】本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想.在用数学归纳

法证明时，要注意2”与n?的大小关系只有在n25时才稳定下来，故起点n=5.另一个易错点在

假设n=k时要带上限制条件425.

【例2】用数学归纳法证明等式：

【思路点拨】本题是一个与正整数n(〃取无限多个值)有关的数学命题，故可考虑用数学归纳

法进行证明.

【总结升华】在利用归纳假设论证n;k+1时等式也成立时，应注意分析n:k和好k+1时两个

等式的差别。

储-K2k-1C2M'+l

【例4】用数学归纳法证明：(n+1)(n+2).........(n+n)=2H-1-3-(2n-l)

(n£N*).

【答案】

(1)当n=l时,左边=1+1=2,右边=2,・1=2,等式成立.

(2)假设n=k时，(k+1)・(k+2).........(k+k)=2k•1•3.........(2n-1)成立.

所以当n=k+1时等式成立.

根据(1)、(2)可知，等式对任意的n£N*都成立.

二、利用数学归纳法证明笔式

【例1】用数学归纳法证明：

【解析】

，n二2时等式成立.

(2)假设当n=k(n22,n£N*)时等式成立，

那么当n=k+l时，

，当n=k+l时，等式也成立.

根据(据和(2)知,对任意n22,n£N*等式都成立.

【总结升华】

①数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；

②在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k的情况递推到n=k+l的

情况，保证了命题的传递性；

【答案】

(1)当n=l时，左=/-22=-3,右=1X(2X1+1)=3,命题成立.

1222+3242+......+(2kl)2(2k)2=k(2k+l)

则当n=k+l时，

左边=1222+3242+……+(2kl)2(2k)2+(2k+1)2(2k+2)2

综合(1)(2),等式对所有正整数都成立

当门=1<+1时，

即n=k+l时，不等式也成立..

【例4】设数列(&｝满足a】=2,a„.i=an+—(n=l,2,­••).

%

【答案】

22

当n=k+】时.aM.=al+-^-+2>2k+3+-!v>2(k+1)+1.

aka：

当1!=1<+1时，由函数f(x)=x+，(x>D的单调递增性和归纳假设有

X

・,.当n=k+l时，结论成立.

四、用数学归纳法证明与数列有关的命题

(II)推测数列｛atl｝的通项公式，并证明.

【思路点拨】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法：观察是解决问题的

前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.

(2)用数学归纳法证明所得的结论.

【答案】

下面用数学归纳法证明：

1)当n=Ln=2时结论成立.

n=k4-1时结论成立.

由1)、2)可知对neN时结论都成立.

五、用数学归纳法证明整除性问题

【例1】是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)-3”+9对任意自然数n都能被m整除?若存

在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

【思路点拨】，证明一个多项式或指数基形式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n有

关的命题.常用数学归纳法

【解析】由f(n)=(2n+7)-3"+9,得f(1)=36,f(2)=3X36,f(3)=10X36,f(4)=

34X36,由此猜想m=36.

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=l时，显然成立.

(2)假设n=k时，f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)・3卜+9能被36整除；当n=k+l时，[2

(k+1)+7]•3k，,+9=3[(2k+7)-3k+9]+18(3k-l-l),

由于3"T-1是2的倍数,由18(31-1)能被36整除.这就是说，当n=k+l时，f(n)也能被36整

除.

由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)-3"+9能被36整除，m的最大值为36.

【总结升华】

用数学归纳法证明整除问题时，关键是把打k+1时的二寸子分成两部分，其中一部分应用归

纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数(某式)整除.

【例2】当n为正奇数时，求证x"/1被x+y整除，当第二步假设n=2k—1时命题为真，进而需验

证________，命题为真。

解：当n为正奇数时，求证xn+y"被x+y整除

【答案】当n为正奇数时，求证x"yn被x+y整除

用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k-l时命题为真，进而需要验证n=2k+l。

故答案为2k+l。

【答案】

・•・命题成立

则当n=k+l时，

即当n=k+l时命题也成立，

综上由(1)(2)得,命题对n/N成立.

六、用数学归纳法证明几何问题

【例1】用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数是Ln(r)-3)(n>3,n^N*).

2

【解析】

(1)当n=3时，in(n-3)=0,这就是说，三角形没有对角线，故结论正确.

2

(2)假设n=k(k23,k£N*)时结论正确，即凸k边形的对角线有[(k—3)条，那么

2

当，n=k+l时，凸(k+1)边形A也的对角线的条数由下列三部分的条数相加而得:

由归纳假设，凸k边形A也…Ak的对角线的条数为，k(k—3)；对角线AA是一条；而顶

2

点人与另外(k-2)个顶点A八A3、…、Ai可画出(k—2)条对角线,所以凸(k+1)边形

的对角线的条数是：

—k(k—3)+1+(k—2)=—(k+1)(k—2)=—(+1)•[(k-1)—3].

222

这就是说，当门=1<+1时结论也正确.

由(1)、(2)知，结论对n23的所有自然数都成立.

【总结升华】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元索从k个变成

(k+1)个时，所证的几何量将增加多少.一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在

原来k的基础上，再增加1个，当然我们也可以从(k+1)个中分出1个来，剩下的k个利用假

设.几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明.

【例2】在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一

点.

求证：这n条直线将它们所在的平面分成r?+n+22个区域.

【答案】

(l)n=2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立.

(2)假设当n=k(k22)时，k条直线将平面分成F+k+22块不同的区域，命题成立.

当!!=卜+1时，设其中的一条直线为1,其余k条直线将平面分成Y+k+22块区域，宜线1与其

余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将1分成k+1段，每段都将它所在的区域分成

两部分，故新增区域k+1块.

从而k+1条直线将平面分成k'+k+22+k+1=(k+1)2+(k+1)+22块区域.

所以n=k+1H、J命题也成立.

由(1)(2)可知，原命题成立.

能力提升

M分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

【答案】B

【分析】

根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.

【详解】

故选：B.

【答案】B

【分析】

【详解】

因为

故选：B.

【答案】C

【分析】

将〃=〃、〃=hH代入不等式左边，比较两式即可求解.

【详解】

比较①@可知C正确.

故选：c

A.1项B.4项

C.2k项D.2硼

【答案】D

【分析】

【详解】

故选：D

A.2k,B.2k-1C.2kI).2A+1

【答案】C

【分析】

根据数学归纳法的步骤即可求解.

【详解】

故选：C

【答案】C

【分析】

依题意根据数学归纳法证明判断即可；

【详解】

故选：C.

二、多选题

7.（2021•全国•高二课时练习）已知一个命题夕（女），女=2〃（〃£想，若当〃=1,2,…，

1000时，〃（公成立，且当〃=1001时也成立，则下列判断中正确的是（）

A.夕（A）对〃=528成立

B.夕（4）对每一个自然数才都成立

C.HA）对每一个正偶数脚成立

D.々（女）对某些偶数可能不成立

【答案】AD

【分析】

直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.

【详解】

由题意知夕（田对女=2,4,6,•••,2002成立，当A取其他值时不能确定夕（4）是否成立，故选

AD.

故选：AD

【答案】AD

【分析】

【详解】

故选：AD

【答案】AD

【分析】

利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.

【详解】

故选：AD

【答案】BD

【分析】

利用等差数列前〃项和公式列为程，由此求得d,进而求得仆.由此对选项逐一分析从而确

定正确选项.

【详解】

・•.数列也｝是等比数列，魏项正确；

故选：BD.

三、填空题

11.（2021•江苏-高二专题练习）用数学归纳法证明第一步应验证

【答案】〃=3时是否成立

【分析】

根据数学归纳法的方法与步骤即可得出答案.

【详解】

〃的最小值为3,所以第一步验证〃=3时是否成立.

故答案为：〃=3时是否成立

【答案】2k

【分析】

由f（〃）的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写和H2X/）进行比较可得答

案

【详解】

观察八〃）的表达式可知，右端分母是连续的正整数，

心=1+3+;+-+,，

J4

因此/'(2«~比/*(24)多了24项.

故答案为：2k

【分析】

【详解】

14.(2021•全国•高二课时练习)已知数列｛加｝的前加页和为防，且劭=1,Sn=

〃7〃(〃£*).依次计算出S,W,£,S后，可猜想S〃的表达式为.

【分析】

根据首先求出S〃S2is,$,观察即可求解.

【详解】

S=1»S2-y,S3—y=~,St——»

四、解答题

【分析】

利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.

【详解】

【分析】

【详解】

下面用数学归纳法证明这个猜想.

17.(2021•全国•高二谡时练习)用数学归纳法证明：1+3X2+5X2?+…+(2〃-l)X2〃

一'=2〃(2〃-3)+3(〃£").

【分析】

根据数学归纳法的步骤证明即可.

【详解】

证明：(1)当〃=1时，左边=1,右边=2(2—3)+3=1,左边=右边，所以等式成立.

(2)假设当〃=衣(女£“)时，等式成立,即1+3X2+5X2?+…+(24—1)X2〃T=2A(24一3)

-1-3.

则当〃=-1时,1+3X2+5X22+…+(25—1)X2K'+(24+l)X24=2履2A-3)+3+(2A

+1)X2)=24(4左一2)+3=24”[2(什1)—3]+3,

即当〃=4+1时，等式也成立.

由(1)(2)知，等式对任何〃WN*都成立.

【分析】

【详解】

【分析】

【详解】

下面用数学归纳法证明这个猜想.

20.(2021•全国-高二误时练习)用数学归纳法证明l+g+：+…+《wg+〃(〃£br).

【分析】

按数学归纳法证明命题的步骤直接证明即可.

【详解】

即当〃=1时，原不等式成立，

(2)假设当无内女£")时，原不等式成立，

即l+»g+…+/k,

则当炉价1时，

即当炉〃+1时，不等式成立，

综合(1)和(2)得，原不等式对所有的〃EN*都成立.

⑴求a,&/的值;

(2)猜想a〃的表达式，并用数学归纳法证明.

【答案】(l)a$,a,=5，a得

【分析】

(1)用赋值法即可求解；

(2)结合(1)的答案猜想出再数学归纳法的步骤证明即可.

**•令〃=2,得4/+/=3&，ci2~£cl/—.

令/?=3,得a+&+a产6a3,/.a3=4.

令〃=4,得a/+a?+a?+m=10a”二&=七.

①当〃=1时，结论成立；

:.当〃=4+1时结论成立.

(1)计算a”a?,a,a/；

(2)猜想a〃的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.

【分析】

①当〃=1时，猜想显然成立.

故由①和②可知，猜想成立.

题组B能力提升练

一、单选题

【答案】D

【分析】

根据题设求出6、的、生，并猜想%的通项公式，再利用数学归纳法证明，进而判断与选项

的正误.

【详解】

故选：D

【点睛】

关键点点睛：应用数学归纳法证明猜想的应通项公式，进而判断各项正误.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【详解】

解：在①中，用数学归纳法求证：

故选：

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查等差数列与