第十章 机构弹性动力学

第十章机构弹性动力学

§10-1概述一、机构动力学的研究内容1、考虑到构件的弹性变形的机构分析与设计2、考虑到运动副间隙时的机构运动与动力分析3、考虑到构件质量变化时的机构运动与动力分析4、考虑到运动副摩擦时的机构运动与动力分析本书讨论第一类问题只要机构中含有一个以上的弹性元件，则认为该机构是弹性机构。构件在外力作用下发生较大弹性变形时，可看作弹性构件,含弹性构件的机构是弹性机构考虑到构件的弹性变形的机构动力学问题§10-2含有弹性构件机构的分析方法

只要机构中含有一个以上的弹性元件，则认为该机构是弹性机构。高速、重载，且含有容易发生弹性变形的构件的机构，也应按弹性机构处理。

含有弹性构件的机构动力学分析方法通常经历以下过程：把实际机构简化为相应的力学模型；列出运动方程式；求解运动方程；对结果进行分析

Kineticequation，dynamicequation，Kinematicequation，1.建立机构的动力学模型

力学模型的建立方法随机构构件不同而异，一般要经过一些适当简化。构件弹性一般用弹簧表示，质量、转动惯量作为集中参量处理。

齿轮传动轴系的动力学模型为凸轮轴的扭转刚度为推杆刚度为压缩弹簧刚度为凸轮廓线产生的位移考虑到构件弹性时的推杆实际位移凸轮机构的动力学模型P

外载荷预紧力m

推杆等效质量连杆机构的动力学模型构件的弹性运动看作刚性构件运动和弹性变形的叠加结果。黑线表示的为机构初始位置红线表示发生变形后的弹性机构位置虚线表示曲柄转动的刚性机构位置在图示的四杆机构ABCD中，可按单元—节点建立力学模型，如以构件BC为一个单元，两端铰链为节点，然后讨论节点位移与变形，该种力学模型常用有限元法求解。

为杆端B处的位移。为杆端转角为杆C端位移构件也可以看作具有离散质量的弹性杆，如图所示的连杆AB，通过对各质量点变形的分析来求解。这种力学模型一般用差分法求解。

本书仅讨论按单元—节点法建立连杆机构的弹性动力学模型运动方程的建立要在力学模型的基础上进行。常用方法有动静法和拉格朗日方程法。2.建立运动方程的常用方法(1)动静法(D’alemberprinciple)

(2)拉格朗日方程法(LagrangeEquition)对于单自由度的机构，常采用动静法对于多自由度的机构，常采用拉格朗日方程法(1)动静法(D’alemberprinciple)

以凸轮机构为例(忽略凸轮轴的刚度)(2)拉格朗日方程法(LagrangeEquition)

拉格朗日方程为：E:

为机构动能U:为机构势能:为广义坐标n:为自由度数目:为对应广义坐标的广义力:为广义坐标对t的导数i=1…n以二自由度的刚性转子在弹性支撑上的振动模型为例刚性转子弹性支撑1弹性支撑2M为转子质量为转子绕质心且平行z轴的转动惯量系统动能E为系统势能U=0广义坐标为广义坐标为广义坐标为

弹性支承上恢复力弹性支承上恢复力离心惯性力将其代入拉氐方程中同理,若转子结构对称，上述方程将化简为下列微分方程3.运动方程的求解机构动力学中的力学模型建立的运动方程一般为微分方程，主要有以下三种。(1)常系数线性微分方程组，这类方程一般可通过求解特征值、特征向量和特解的方法得以求解。(3)具有变系数的线性微分方程，机构动力学中有时遇到二阶变系数的线性微分方程，形式为(2)非线性微分方程组，机构动力学中的这种非线性微分方程，一般不易直接积分求解。常用四阶龙格一库塔法(Runge-kutta)进行数值求解。这类方程一般用数值解法1.建立力学模型图为发动机配气凸轮机构简图和力学模型§10-3凸轮机构动力学

——与凸轮廓线有关的位移——弹簧刚度

——推杆刚度——推杆外载荷

——推杆在起始位置时弹簧预紧力——推杆的等效质量

——推杆实际位移

——为凸轮转角：2.建立运动方程

——外载荷微分方程的基本型为——弹簧恢复力——推杆发生弹性变形恢复力——弹簧预紧力

称为推杆初始变形

为推杆当量弹簧刚度为动力常数

令：则有：上述微分方程有两层含义第一，已知凸轮廓线，可由此求出，再求出推杆的真实运动y。可求解凸轮机构的动力学响应。第二，如已知推杆真实运动规律y，可求出和凸轮廓线。由此可导出动力多项式高速凸轮的设计方法。3.运动方程的求解

由

两边对凸轮转角求导数若保证的四阶导数连续，需用5阶以上多项式的位移方程。

（１）设计高速凸轮最常用的有3-4-5多项式和5-6-7多项式。待定系数可按机械原理中的方法求出。

例:按3-4-5次多项式设计高速凸轮机构。已知条件如下：=800N/cm，=5×10４N/cm，P=500N,=750N，

n=1000r/m，等效质量m=1.97kg回程运动角为60°，推杆行程为h=20mm。

设：解：3-4-5次多项式回程的位移方程为式中h=2cm，=60°

可解出凸轮廓线的推杆位移方程由可解出凸轮廓线的方程由于推杆的弹性变形，推杆真实运动y与凸轮廓线所产生的理论推杆运动不再相等，当然，推杆的真实运动速度、加速度与对应理论值也不相等

(2)由已知廓线求解推杆真实运动规律

由于y与、有关系，故按图所示力学模型而建立的运动方程为:为无阻尼自由振动的固有频率

则该方程的通解为待定常数A、B可由边界条件确定

设：式中：当考虑到推杆弹性后，工作端的运动规律发生改变，。只有当n很大时，也就是说，当机构固有频率很大时(刚度大)，而且凸轮角速度很小时，才接近y值。

（黑：理论值，红：n=2，蓝：n=3，绿：

n=4）§10-4连杆机构弹性动力学一.构件的弹性运动弹性构件的运动可以看作为刚性构件的运动和弹性运动的叠加。在研究弹性运动时，首先把机构刚化，然后再考虑在销轴处作用力的影响下构件的变形。考虑到杆件纵向变形很小，可将其忽略。本节讨论用有限元法研究构件的弹性运动，把构件看作为单元—节点系统。图中的杆为单元，

为节点。右侧图b外，AS也作为一个单元。中，除二、单元坐标与系统坐标1、单元坐标系固定在单元上的坐标系如图所示的构件称为单元坐标系u轴的正方向定义为节点1到2的方向w轴的正方向为u轴逆时针转过90度的指向的转向是逆时针为正方向

分别表示单元坐标系中的节点线变形单元坐标可用向量单元坐标为：和角变形利用单元坐标分析分析节点变形与节点力非常方便，但是由于各单元位置不同，导致单元坐标不统一，固引入系统坐标的概念。2、系统坐标系为研究整体结构，可建立一个统一的静坐标系，如图所示的坐标系xoy为系统坐标。系统坐标中的节点变形用向量q表示：

由于去掉了机构刚性自由度，则认为曲柄固定不动，可视为悬臂梁,曲柄在O点的线位移和角位移为零，固该系统共有9个变量。为A点上的x、y方向的弹性线位移变形为曲柄上A点的转角变形为连杆A、B处的转角变形为B点上的x，y方向的弹性线位移变形系统中的4个线位移和5个角位移变形为摇杆上B、C点的转角变形各节点用1，2表示。显然单元坐标与系统坐标存在可以相互转换的关系。3个单元坐标系中共有13个单元坐标，各单元坐标系中的u轴与系统坐标系的x轴夹角为设M点在单元坐标系和系统坐标系中的坐标分别为u，w和x，y，参照下图可以按前述的坐标变换原理直接写出两者之间的关系。简记为简记为

矩阵R为一正交矩阵，

因此，各单元坐标和系统坐标的变换关系可写为：式中的矩阵B为矩阵

对于构件1,根据方程1可有：对于构件2：对于构件3：把构件1、2、3的变换矩阵组合起来，从而形成B矩阵。写成通式：

瞬间作用在单元上外力称作单元力，图示为各单元上受力情况。单元之间通过节点处的作用力沿坐标方向的分力称为节点力。用表示，记作：单元节点力与节点变形相对应。三、单元力和系统力瞬间作用在机构上的外力、惯性力，称为系统力如作用在机构上的系统力有s个，可记作：为作用在构件1上的主动力矩系统力为作用在构件上的惯性力、惯性力矩、阻抗力矩Pi-系统力fi-节点力以构件单元1为例说明如下。单元上除节点力外这些力为非单元节点力。还有外力的作用，在单元坐标系中用表示，变换来实现。非节点力与系统力之间可通过角度的矩阵或其它单元的换算关系可依此类推。四、单元位移函数

利用拉格朗日方程列出机构的运动方程时，需要计算动能和应变能，因此不仅要知道节点变形，还要知道单元中某些点的变形。所以需要知道单元内任一点的变形和节点变形之间的关系。设节点变形为单元上任意点Q的变形为u，w。u，w为距离x的函数，同时还和节点的变形有关。写成矩阵形式：为了求出Q点的变形u、w和可采用待定系数法求解。节点变形可用含有两个未知系数的一次多项式表示函数u可用含有四个未知系数的三次多项式表示函数w和两个转角变形横向变形有纵向变形u只有两个边界条件，用边界条件求解未知系数把代入一次多项式中，求出u如下：同样可求解w联立求解：把系数代入式w。把式u和w合并写成矩阵形式，则有下式：其中：称为单元位移函数。

取节点变形为广义坐标，节点变形的数目就是弹性变形自由度的数目。应用拉格朗日方程建立单元运动方程式。拉格朗日方程的基本形式为：五、单元运动方程式为求解拉格朗日方程，必须首先求解单元上的动能、势能和广义力。设单元杆的横截面是均匀的，单元长度的质量

，则单元动能为：1、单元动能按的次序，分别把代入拉氏方程的前两项中，则有：i=1，为等效质量i=4，同理可求对应的等效质量。

把拉氏方程的前两向写成统一的形式可有：当i=1，4时，为：当i=2，3，5，6时，为：从上式可以看出，积分值与i，j次序无关，即。

把拉氏方程的前两项写成矩阵形式：

为等效质量矩阵，该矩阵为对称矩阵。把单元位移位移函数N代入其中，并整理可有：设杆件的长度为截面积为A，材料的弹性摸量为E。单元的纵向变形能为：2、单元势能代入：

式中：I为截面惯性矩，为对于时间的二阶导数。单元的弯曲变形能为：把代入弯曲变形能中，为：单元的总势能为：将其代入拉氏方程的左边第三项，则有：写成通式按求解等效质量矩阵方式，写成矩阵方式：为单元刚体矩阵把前述单元位移函数代入其中后，可有：单元上的广义力分为节点力和非节点力。节点力的广义力为：3、广义力非节点力主要有作用在单元上的外力和惯性力，这些非节点力的广义力为其计算公式为：把单元位移函数代入上式，如果节点力和非节点力共同作用，则广义力为：写成矩阵形式：常见的等效节点载荷见下表把动能、势能、广义力全部代入拉氏方程中，可得到单元运动方程式。

4、单元运动方程式下面以前述的铰链四杆机构为例说明各单元的运动方程式。1）曲柄：曲柄看作悬臂梁，在O节点的变形为零，即，广义坐标仅剩有3个。（2）摇杆：边界条件是C点的u，w方向的变形为零。即，仅有4个广义坐标。3）连杆：连杆的边界条件均不能确定，故有6个广义坐标。

阶矩阵。进行机构动力分析时，如果一一求解单元运动方程是非常不方便的。有时因为单元运动方程中的未知数过多导致不能求解，需要利用机构中各节点的变形协调把各构件单元联合在一起求解求解，使得求解过程极为繁复。这时利用系统方程可使问题简化。系统方程可通过单元方程的组合来得到，推导过程如下：六、系统运动方程式在图所示的四杆机构中，单元坐标中的节点变形

组合如下：为系统方便起见，把上式中的节点变形矩阵和广义力矩阵表达方式作如下变动：节点变形矩阵和广义力矩阵中第一行移到第四行，则有：把质量矩阵和刚度矩阵中的第一行移到第四行，第一列移到第四列，则有：经过这样组合后的方程形式可写为：进行整理后简记为：

为把式中的单元节点变形转化为系统变形可通过前述的矩阵实现。注意矩阵中的各元素为各杆方向角的函数，机构固定后的各元素为常数，即把上式两边同乘的转置矩阵，则有：该方程为系统的运动方程式。

整理后：式中：，称为系统刚度矩阵，为阶对称方阵。阶对称方阵。，称为系统质量矩阵，为由于单元节点力为大小相等方向相反的一对力，故在求解系统运动方程时，可不必求出节点力，使系统方程的求节过程大大简化。经过上述的分析与讨论，研究弹性连杆机构动力学的基本步骤总结如下：（1）把机构看作刚性机构，求解机构在各个位置时的各构件的瞬时惯性力或惯性力矩，作为弹性动力分析的已知数据。标出系统节点的变形（2）把机构分别固定在前述动力分析的各位置划分单元，标出各节点的变形（3）求解各位置的坐标变换矩阵（4）计算各位置的单元质量矩阵刚度矩阵和等效节点载荷（5）计算各位置