因式分解 压轴题（8大题型）解析版-2024七年级数学上册（沪教版五四制）

因式分解压轴题（8大题型）

题型归纳

题型一：利用因式分解简便运算

题型二：求值问题

题型三：十字相乘法的分类讨论

题型四：新定义题

题型五：最值问题

题型六：分组分解法；添项法

题型七：十字相乘法的应用

题型八：因式分解的几何应用

题型一：利用因式分解简便运算

〜2017x2017-2017,2018x2018-20182019x2019-2019

1.已知Q=------------------------------------,b=--------------,c=--------------

2016x2016+20162017x2017+20172018x2018+2018

A.-1B.3C.-3D.1

【答案】A

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键.利

用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可.

［详解］解...a=.2017x2017-2017=_2017x(2017-l)=_1

,2016x2016+20162016x(2016+1)

2018x2018-20182018x(2018-1),

DL=--------------=---------------------=—I

2017x2017+20172017x(2017+1)

2019x2019-2019__2019x(2019—1).

2018x2018+2018~~2018x(2018+1)~

故选:A.

(104+64)(l84+64)(26、64)(344+64)

2.计算:

⑹+64)(144+64)(224+64)(304+64)

【答案】65

【分析】本题考查因式分解的应用，根据完全平方公式及平方差公式整理算式，化简即可求解.

【详解】解：•//+64

=tz4+64+16a2-16a2

=（a2+8）2-16«2

=[：/+8）+4a][S+8）-4Q]

=（/+8+4a）（/+8-4a）

=（a2+4a+44-4）（a2-4a4-44-4）

104+64=[（10+2）2+4][（10-212+4]=（122+4）（82+4）；

184+64=[（18+2）2+4][（18-2）2-4]=（202+4）（162+4）；

26」+64=[（26+2『+4^（26-2）'+4]=（282+4）（242+4）；

344+64=[（34+2）2+4|（34-2『+4卜（36?+4）（322+4）；

64+64=[（6+2『+4]]（6-2）2+4]=£+4）（42+4）：

144+64=[（14+2）2+4][（14-2）2+4]=（162+4）（122+4）；

224+64=[（22+2）2+4口（22-2）。+4]=（242+4）（202+4）；

304+64=[（30+2）2+4][（30-2）2+4]=（322+4）（282+4）；

（122+4）（82+4）（202+4）|162+4）（282+4）（242+4）（362+4）（322+4）

•••原式

2222222

（8+4）（4+4）（16+4）（12?+4）（24+4）（20+4）（32+4）（28+4）

362+4

-42+4

1300

=^6~

故答案为：65.

题型二：求值问题

3.已知小gz满足工―z=12,XZ+/=_36,则x+2j，+z的值为（）

A.4B.1C.0D.-8

【答案】C

【分析】根据题目条件可用x来表示z,并代入代数式中，运用公式法因式分解可得（x-6f=-/,再根据

平方数的非负性可分别求出x,z的值，最后运算即可.

【详解】解：x-z=12,z=x-\2,

Xxz+y2=-36,

/.J(X-12)+>?2=-36,

J2-12x+36=-y2,(x-61=-y1,

(x-6)N0,-W0,

/.x-6=0»y=0,

1.x=6,y=0,z=-6,

代入x+2y+z得，x+2y+z=0.

故选：C.

【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本

题的关键.

22:

4.已知。・6=/>・c=2,a+b+c=llf则。6+仅?+。。=()

A.-22B.-1C.7D.11

【答案】B

【分析】由a-b=6-c=2可得a-c=4,然后通过配方求得加+〃+02-ab-力c-oc的值，最后整体求出

ab-^bc+acBPnJ.

【详解】解：*.2-力=Z>-c=2,

:.a-c=4,

2

-ab-be-ac=^(2a^2b^-lab-2bc-2ac)=|[(丁/，)？+(b・c)+(c-a)4=12,

.'•ab+hc+ac=a2+b2+c2-12=11-12=-1.

故答案为艮

【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关

键.

5.已知正数叫a3b+ab3-2a2b+lab1=lab-8,则/-y=()

A.1B.3C.5D.不能确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因

式分解成为解题的关键.

先将加-21+2加=7砧-8,通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为

a"。-8-lf+2(M-2)2=0.再根据a、Z)均为正数以及非负数的性质，得到ab=2,进而解出

a、b的值，代入/一〃求得结果.

【详解】解：ayb+ab3-2a-b+2ab2=7ab-8,

ab\az+b2)-2ab(a-b)=7ab-S,

ab\a2-2ab+b~^-2ab(a-b)+2a'b2-7ab+S=0,

ab[a-by-2ab(a-b)+2a2b2_7az>+8=0,

碗”6)2一2(4-6)+1]+2(/从一4仍+4)=0

ab\a-b-\y+2(ab-2)~=0,

•:a、6均为正数，

ab>0,

.•“-6-1=0,a力-2=0,即q-6=l,ab=2,解得4=2、8=1或4=一1、b=-2(不合题意，舍去)，

•0•a2—b2=4-1=3.

故选:B.

6.a=2019x+2020,/>=2019x-2021,c=2019x+2022,则代数式a?+^+c?一瓶—叱一儿的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】此题考查了因式分解的应用，由。，b,。的代数式，求出b-c的值，原式利用完

全平方公式变形后代入计算即可求出值.

【详解】解：•••a=2019x+2020,Z>=2019x+2021,c=2019x+2022,

:.a-b=-\,a-c=-2,b-c=-1,

则a。+/+c，-ab-ac-6c

=；(2/+2b2+2c2-lab-lac-2bc)

=:[(a?-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(h2-2bc+c2)]

=；[("32+(叱。)2+3-。)2]，

3<7-6=-1,a-c=-2,b-c=-\Ui,原式=gx(l+4+l)=3.

故选：D.

题型三：十字相乘法的分类讨论

7.若Y+QX+18能分解成两个因式的积，则整数。的取值可能有()

A.4个B.6个C.8个D.无数个

【答案】B

【分析】把18分解为两个整数的积的形式，。等于这两个整数的和.

【详解】解：18=1x18=2x9=3x6=(-1)x(-18)=(-2)x(-9)=(-3)x(-6),

所以4=1+18=19或2+9=11或3+6=9或(」)+(-18)=19或(-2)+(-9)=-11或(-3)+(=6)=-9.

•••整数a的值是±9或±11或±19,共有6个.

故选:B.

【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键.

8.己知二次三项式/-米-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数〃的取值有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】把常数项75分为两个整数相乘，其和即为-左的值，即可确定出整数1的个数.

【详解】解：根据题意得：-15=-1X15=1X(-15)=-3X5=3X(-5),

可得一上=14,-14,2,-2,

解得：A=-14,14,-2,2,共4个，

故选：D.

【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.

9.已知Y-ax-24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有个

【答案】8

【分析】此题考查因式分解一十字相乘法，解题关键在于理解父十(。十。)工十成二(x十。)(工十。).把-24分成

两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案.

【详解】解：当/-a・24=(x+8)(x-3)时，^=-[8+(-3)]=-5,

当/_办_24=卜_8)(彳+3川寸，a=-[3+(-8)]=5,

同理可求：a=±2,a=±23,a=±10,

综上所述：。的取值是±2、±5、±10或±23,共8个.

故答案为：8.

题型四：新定义题

10.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数如4=22・。2,12=

42-22,20=62-42,因此4,12.20都是“神秘数〃,则下面哪个数是"神秘数”()

A.56B.60C.62D.88

【答案】B

【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，则“神秘数”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)

(2m+2-2m)=4(2m+l),因为m是自然数，要判断一个数是否是"神秘数”，只需根据该数=4(2m+l)列方程求

解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合.

【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2(m为自然数)，

二"神秘数”=(2m+2)2-(2m)2=(2m+2+2m)(2m+2-2m)=4(2m+l),

13

A、若4(2m+l)=56,解得m="y,错误：

B、若4(2m+l)=60,解得m=7,正确;

C、若4（2m+l）=62,解得m=错误;

4

21

D、若4（2m+l）=88,解得01=昼，错误；

故选：B.

【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题

的关键.

11.定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数〃，例如：

8=32-12,16=52-3\24=7?-5?,因此8,16,24都是“登高数”.

⑴特例感知：判断40是否为“登高数〃，说明理由.

（2）规律探究：根据“登高数〃的定义，设两个连续正奇数为2A-I和2〃+1,其中人是正整数，那么“登高数〃都

能被8整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明.

⑶拓展应用：求不超过2000的所有“登高数”的和.

【答案】（1）40是“登高数”，详见解析•：

（2广登高数〃能被8整除，详见解析；

（3）251000.

【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平

方差公式进行计算，难点是理解"登高数”都是8的倍数，即如果•个数是8的倍数，那么这个数■定是“登高

数”.

（1）设40=（2〃+1）2_（2〃-1『求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；

（2）利用平方差公式计算（24+lf-（2〃-l）2.然后由计算结果可得出答案：

（3）•/2000=250x8,通过计算即可得出不超过2000的所有“登高数”的和.

【详解】（1）解：（1）40是“登高数〃，

理由：设40=（2〃+1『一（2〃

解得：〃=5,

,40=112-92,

.••40是"登高数";

（2）解：“登高数〃能被8整除，

理由：•.•（24+1）2_（24_1）2=［（2八1）+（2&―1）］［（24+1）_（24_1）］,

=（2k+l+2"-l）（2k+l-2A'+1）,

=4kx2=8k,

•.4是正整数，

「.8%能被8整除，

.•.(2左+1『-(2左-1)2能被8整除，

，“登高数”都能被8整除：

(3)解：由(2),可知“登高数”能被8整除，

•••2000=250x8,

••.K超过2000的所有“登高数〃有8,16,24,-,1992,2000,

.•.8+16+24+…+1992+2000,

=8xl+8x2+8x3q---1-8x249+8x250,

=8x(l+2+3+…+249+250),

=251000.

12.19世纪的法国数学家苏菲•热门给出了一种分解因式/+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于

平方和卜2丫+22的形式，要使用公式就必须添一项4/,随即将此项4/减去，即可得

x4+4=x4+4,v2+4-4x2=(x2+2)~-4x2=(x2+2)--(2x)2=(x24-2x+2)(x2-2x+2),人们为了纪念苏菲・热

门给出这一解法，就把它叫做“热门定理

根据以上方法，把下列各式因式分解：

(1)4/+/；

(2)a2-4am-n2+4mn.

2

【答案】⑴(2—+/+2xy)(2x+/-2A7)：

(2)(a-n)(a-4m+n).

【分析】(1)根据苏菲•热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分

解；

(2)先分组，再利用提公因式法因式分解.

【详解】(1)原式=4八/»+4。2-402

=(2X2+/)2-4X2/

=(2x2+y2+2xy)(2x2+y2-2xy>)：

(2)原式=/_4。〃?+4"J_d"J_n~+

=卜4am+4nr)-+n~-4nui

=(a-2m)'-(2m-n)'

=(a-2m+2m-n)(a-2m-2m+〃)

=(a-n)(a-4m+n).

【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲•热

门的做法是正确进行因式分解的关键.

13.阅读理解：

条件①：无论代数式4中的字母取什么值，/都不小于常数M；条件②；代数式/中的字母存在某个取值,

使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界.

例如:

x2+2x+5=x2+2-X-1+12-I2+5=(x+l)2+4,

v(x+l)2>0,

:.X2+2X+5>4(满足条件①)

当)=一1时，V+2X+5=4(满足条件②)

一.4是J+2x+5的下确界.

又例如：

X2+2|X|+5=|X|2+2-|X|-I+12-12+5=(|X|+1)2+4,由于国工一1,所以r+2凶+5=4,(不满足条件②)故

4不是/+2区+5的下确界.

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)求r一6x+4的下确界.

⑵若代数式2必+3+3的下确界是1,求m的值.

⑶求代数式]/+/+2町，-43-廿+1()的下确界.

【答案】⑴-5

(2)m=±4

(3)6

【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行整式变型和因式分解，

(1)根据题干示例的方法计算即可作答：

(2)根据题意设2/+〃次+3=2(丫+/『+121,根据2(》+/『+1=2/+4田+2/+1可得｛一解方程

21+1=3

即可求解；

(3)先分组得至1」卜2+2个+/)+；./-4(》+刃+10,进而得至ij[a+y)2_4(x+y)+4]+；/+6,则可得到

原式=(x+y—2)2+；/+6,据此仿照题意求解即可.

【详解】(1)解：X2-6X+4=X2-2-3-X+32-32+4=(X-3)2-5,

V(J-3)2>0,

.•.(J-3)2-5>-5(满足条件①)，

当)=3时，(x—3『—5=(3-3)2-5=0—5=—5(满足条件②)，

二一5是一一6x+4的下确界；

(2)解：•••代数式2犬+g+3的下确界是1,

二可设2/+〃?x+3=2(x+ty+1>1,

2(x+z)?+1=2x2+4tx+2r+\,

2x2+mx+3=2x2+4tx+2r+1,

4/=m

•*•«-7.—,

2广+1=3

m=±4

解得：

/=±1

即：m=±4；

3

(3)解：-A-2+/+2.^-4X-4^+10

=(—+2q，+/)+；/-4(x+y)+10

=+y)--4(x+y)+4+—x2+6

」2

=(x+y-2)-+；/+6,

•：(j+y-2)2>0,x2>0,

.•・。+y一2『+；/+6?6(满足条件①)，

当i=0,x+y-2=0,即x=0,j=2时，I"/+/+2划一4x-4y+10=0+2?+0-0-4x2+10=6(满足

条件②)，

3

.,.6是ax"+y~+2xy—4x—4y+1()的下确界

题型五：最值问题

14.若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，整式/+2融+〃及/_2/+从称做

完全平方式.如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完

全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的

数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式.还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式

最大值，最小值等.

例如：分解因式解+2x-3.

原式二(/+2X+1)-4=(X+1)~-2，=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1)：

例如：求代数式2/+4%-6的最小值.

原式=2/+4."6=2(/+2x-3)=2(x+l)‘一8.可知当工=-1时，2—+4x-6有最小值，最小值是一8.

⑴用配方法分解因式：/+2。-8：

⑵当x为何值时，整式-2/-8x+5有最大值，并求出这个最大值.

(3)求使得〃/+加+7是完全平方数的所有整数用的积.

【答案】⑴(。+4)("2)

(2)当工=-2时，整式-2%2-8x+5有最大值13

⑶84

【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键.

(1)把a212a8变形为(〃2+2〃+1)-9即可求解：

(2)将原式配方为-2(x+2『+13,根据平方非负性即可求解；

(3)将原式因式分解变形为(2〃什2々+1)(2〃?-2"1)=-27,分类讨论求解即可.

【详解】(1)解：a2+2^-8

=(a2+2a+l)-l-8

=(a+l)2-9

=g+l+3)(a+l-3)

=(a+4)(a-2)；

(2)解：-2X2-8X+5

=-2(-+4x)+5

=-2(x2+4.r+4-4)+5

=-2(X+2)2+13；

V-2(X+2)2<0,

/.-2(X+2)2+13<13,

.•.当x=一2时，整式-2x2-8x+5有最大值13.

(3)解：设+川+7=二，

所以〃/+〃?+:+多=〃，

44

所以+—=k2,

2j4

所以（m[-公=卫，

I2）4

所以（加+；+%）（w+g_2）=一日，

所以（2m+24+1）（2〃?-2左+1）=-27

因为左NO（因为公为完全平方数），且〃?与々都为整数，

所以①2/〃+2R+l=27,2nt-2k+\=-\,解得："1=6,k=71

②2"?+2〃+1=9,2m-2Zr+1=-3,解得：〃1=1,%=3；

（3）2ni+2k+\=3,2m-2k+\=-9,解得：m=-2,A=3；

@2m+2k+\=\,2m-2k+\=-27,解得：zw=-7,k=7.

所以所有加的积为6x1x（-2）x（-7）=84.

15.我们把整式/,2abI〃及/2abI〃叫做完仝平方式，如果一个整式不是完仝平方式，我们常做如下

变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法

叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，

还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式/+2%-3=12+2刀+1）-4=（工+1『-4=（工+1+2）（工+1—2）=（4+3）（4一1）

例如：求代数式2r+4X-6的最小值2，+4X-6=2（/+2X-3）=2（X+1『-8.可知

当）=-1时,2-+4”-6有最小值,最小值是-8.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

⑴分解因式：〃，-6〃?-16=_;

（2）若a、b满足/+/一4。+66+13=0,求6"的值:

7Q

（3）己知P=尚冽-1,。=痴弋用（刑为任意实数）,比较尸、。的大小；

⑷当小歹为何值时，整式/一2切，+2/+4工一10»+29有最小值，并求出这个最小值.

【答案】（1）（，"+2）（切—8）

（2）9

⑶P＜。

（4）.V=I,歹=3,16

【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用，

（1）根据阅读材料，先将〃/-6阳-16变形为/_6加+9-25,再根据完全平方公式写成（加-3）2-25,然

后利用平方差公式分解即可；

(2)利用配方法将整式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得。=2,b=-3,进而可得力"的值；

(3)用。减P得。-2=〃，一加+|,利用配方法将整式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解

答即可;

(4)利用配方法将整式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可.

【详解】(1)解：〃

=nr-6w+9-25

=W-3『-25

=(m-3+5)(加-3-5)

=(.7/+2)(W-8)；

(2)解：•••。2+〃一4。+6"13=0，

.•.(/-4〃+4)++6b+9)=0,

.•.("2)2+S+3『=o,

•••6/—2=0,b+3=0,

/.a=2,b=-3,

.-.y=(-3)2=9；

78

(3)解：•.•尸=石加-1,Q=m2~—ft1»

八D287,

:.Q-r-m---m----〃？+l

-1515

=nr-m+\

(1Y33A

I2；44

即P<。；

(4)解：x2-2,^+2/+4x-10j+29

=JC-2xy+4x+y2-4y+4+y2-6y+9+\6

=x2-2x(y-2)+(y-2\+y2-6y+9+\6

=(x-y+2)2+(y-3)2+16>16,

.•.当x-»+2=0且y-3=。时，/一2即，+2y1+4x-10y+29有最小值16,

此时得：5=3,x=l,

.•.x=l,尸3时，整式一一2k+2/+4x-10y+29有最小值为16.

16.我们把整式a2+2ah+b2和/-2cm+〃叫作完全平方式.如果一个整式不是完全平方式，我们常做

如F变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种

方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因

式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.

例如：分解因式X2+2X-3=(X2+2X+1)-4=(X+1)2-4=(X+1+2)(X+I-2)=(X+3)(X—1).

例如：求整式2/+4.丫一6的最小值，由21+4x—6=2(/+2x+l—I)-6=2(x+l『一8可知，当x=—l时,

整式2/+4x-6有最小值,最小值是-8.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

⑴分解因式°一4m-5=.

(2)当〃，方为何值时，整式/+护一4〃+6方+18有最小值？并求出这个最小值.

(3)当m人为何值时，整式片一加力+2/一46+27有最小值？并求出这个最小值.

【答案】⑴(〃?+1)(〃?-5)

(2)当。=2,6=-3时，原式有最小值，最小值为5

(3)当。=6=2时，原式有最小值，最小值为23.

【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质.本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方

法.

(1)根据阅读材料，先将加J4用-5变形为加2一4〃2+4-9,再根据完全平方公式写成(加-2)2-9,然后利

用平方差公式分解因式即可：

(2)利用配方法将整式/+〃一而+64+18转化为(〃-2)2+(2+3)2+5,然后利用非负数的性质解答;

(3)利用配方法将整式/一2而+2/一46+27转化为(。一6)2+伍-2)2+23,然后利用非负数的性质解答.

【详解】(1)解：m2—4w—5

=(,/-4/〃+4)-9

=(?n-2)2-9

=(.7：-2+3)(/7/-2-3)

=(.7?+l)(7n-5)；

(2)解：人2—44+6力+18

=(/-4a)+(/+6匕)+18

=(a~-4Q+4-4)+仅，+66+9-9)+18

=(a-2)2+(b+3)2+5,

22

v(fl-2)>0,(Z)+3)>0,

.-.(a-2)2+(Z)+3)2+5>5,

.•.当"2=0,b+3=0时,a?+加一4。+66+18有最小值,最小值为5.

即。=2,6=-3时，原式有最小值，最小值为5.

(3)解：a2-2ab+2b2-4b+21

二(12-248+》，+(82-45+4)+23

=«-f+e-2『+23,

之0,(/>-2『20,

.•.("4+3-2)2+23223,

.,.当。-6=0,/>-2=0时,/-2而+2从-46+27有最小值,即当a=b=2时,原式有最小值,最小值为

23.

题型六：分组分解法；添项法

17.八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题：将2a-3M-4+6b因式分解.

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2。-3")-(4-6/>)="2-3卜)-2(2-31)=(2-36)(。-2)；

解法二：原式=(2“一4)—(3,力-6方)=2(。-2)—3"。-2)=(。-2)(2—38).

【感悟】对项数较多的整式无法直接进行因式分解时，我们可以将整式分为若干组，再利用提公因式法、

公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、

函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)

【类比】(1)请用分组分解法将《一/+工+。因式分解；

【挑战】(2)请用分组分解法将故+为一2"-反+/因式分解;

(3)若/+/=9,a-b=2,请用分组分解法先将"一2戊>+2/从一2加因式分解,再求值.

【答案】(1)(x+〃)(x—〃+l)；(2)(a-b)(a-b+x)；(3)(a2+b2)(a-b)2,36

【分析】(1)直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；

(2)先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；

(3)分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由/+从=9,a-b=2,整体代人得出答案即

可.

此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组

冉运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键.

【详解】(1)x2-a2+x+a

=(x2-a2)+(x+a)

=(x+a)(x-Q)+(x+4)

=(x+tz)(x-«+l)；

(2)ax+a2-lab-bx+b2

=(--2ab+/?2)+(ar-bx)

=(a-h)2+x(a-b)

=(a-b)(a-b+x)；

(3)a4-2a3b+2a2h2-2ah3+b4

=(«4+2a2b2+b4)-(2a3b+2ab5)

=(/+/)2一2"(/+/)

=(Q?+〃)(/-2ab+b2^

=[a2+b2)(a-b)2.

当/+/=9，。一6=2时，原式=9x2?=36.

18.阅读下列文字与例题，并解答：

将一个整式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法.

例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法.

a2+2ab+b2+ac+be

原式二(二+2"+⑹+(ac+bc)

=(a+h)'+c(a+b)

=(a+b)(a+b+c)

⑴试用“分组分解法”因式分解：/+,在_片

⑵已知四个实数。，b,c,d,满足axb,c丰d,并且/+ac=12A,b2+bc=\2k»c2+ac=24k>

d、ad=24k,同时成立.

①当A=1时，求a+c的值；

②当女工0时，用含。的代数式分别表示6、c、d(直接写出答案即可).

【答案】⑴a-y)a+y+z)

(2)①a+c=±6；②c=2a,h=d=-3a

【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键.

(1)根据因式分解一分组分解法分解即可：

(2)根据因式分解一分组分解法和提公因式法分解即可.

【详解】(1)解：x2-y2+xz-yz

=a+y)(%_y)+z(x_y)

=(x+y+z)(x-y).

(2)解:①当上=1时,得a'+ac=12，c2+ac=24,

(/+")+(/+ac^=a(a+c)+c(a+c)=(a+c)(a+c)=(a+cy=12+24=36,

a+c=±6；

②•.•当丘0时，

/+ac=121，b~+bc=\2kc'+ac=24k»d'+ad=24k»

(/+QC)-+〃C)=0,

I'ja2-b2+ac-bc=0

：.(a-b)(a+b+c)=0,

*:a*b,

:.a+b+c=O,

：.b=-a-c,

・・•日得。2+〃C=24Z,d，ad=24k得,(c2+ac)-(t/2+«J)=0,

c2-d2+ac-ad=即(c-4(c+d+q)=0,

♦:cHd,

c+d+a=0,

：.d=-a-c,

:.b=d=-a-cf

又由/+QC=12左，c2+ac=24k，得2(/+oc)=c?+ac,\i\：2a(a+c)=c(c+a),

2a(^a+c)-c(c+a)=0,即(a+c)(2"c)=0,

，。+。=0或2。一。=0,

c=-a,或c=2a,

又A工0,则c=2“，

/.c=2a,b=d=—3a.

19.阅读理解：

添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作

用，例如：

例1：i+®(3+l)(32+l)(34+l)(38+l)(316+l)(332+l)

解：原式一g(3-1)(3+1)(32+1)(3?,+1)(38+1)(316+1)(332+1)

=5(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)

4481632

=yX.(3-1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)

F

4

例2:因式分解：X+X2+l

解：原式=X4+X2+1=X，+2X2+1-X2

=(:<2+l)2-x2

=(:<2+l+x)(x2+l-x)

根据材料解决下列问题：

⑴计算：(1+；)(1+/)(1+城)(1+3)...(l+£y);

⑵小明在作业中遇到了这样一个问题，计算有+鬻Di*：?，通过思考，他发现计算式

中的式子可以用代数式之x，+4来表示，所以他决定先对x，+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松

解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：

①分解因式：x，+4；

⑦。4+4)(父+4)(94+4)….(494+4)

S'舁：(34+4)(74+4)(114+4>.....(5广+4)'

【答案】⑴季U；⑵①W+2X+2XX2-2X+2)；②4二

【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2x(1-g)即可，连续使用平方差公式，得出最后结果，

(2)①根据配方法在原式的基础上1+4x2-4x2),转化为完全平方公式，再利用拆项法配方，最后化为两个因

式的积，

②根据x，+4的分解结果，分别求出当x=l,x=3,x=5,x=7.x=9,x=U……所对应的k+4个结果,从

而得到一个规律，再代入求值即可.

【详解】解：(1)原式=2x(1-g)、(1+；)(1+5)(1+J)(1+$•)....0+^iF)

21024-1

21023~，

(2)0x4+4=x4+4x2+4-4x2

=(:d+2)2-(2x)2

=(x2+2x+2)(x2-2x+2),

②...x4+4=(x2+2x+2)(x2-2x+2)

•••X4+4=(X2+2X+2)(X2-2x+2)=[(xfl)2+l]*[(x-1)2+1]

1H-_(。2+1)(2?+1)(4?+1)(6?+蟠+*…(502+1)二

"八一(22+1)(42+1)(62+1)(82+1).....(502+1)(522+1)-522+1

【点睛】考杳因式分解，平方差公式、完全平方公式等知识，掌握公式，通过因式分解的变形，找出存在

的规律是解决问题的关键.

题型七，十字相乘法的应用

20.材料1:将一个形如/+px+g的二次三项式因式分解时，如果能满足〃=加+〃且9=〃〃?，则可以把

/+px+q因式分解成(x+M(x+〃).例如Y+3X+2,具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉

线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和,

使其等于•次项系数，这种方法称为“十字相乘法〃.

这样，我们可以得到：X2+3X+2=(X+1)(X+2).

|1X"2+1X'12=3||

材料2：分解因式：(x+y1+2(x+y)+l

解：将“X+N”看成一个整体，令1+y=K,则原式=K2+2K+l=(K+1『，再将"K〃还原，得：原式

=(x+y+l)2

上述解题用到“整体思想"和"换元思想"，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法.

【迁移运用】

⑴利用上述的十字相乘法，将下列整式分解因式：

@x2+5x4-6;②2,+212

(2)结合材料1和材料2,对下面小题进行因式分解：

①(x—y1+4(x—j，)+3；②(2〃+3力,一4(2〃+3人)-12.

【答案】⑴①(工+2心+3)；②(x+3)(2x-4)；

(2)①(x-_y+l)(x-y+3)；②(2a+36+2)(2q+36-6).

【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式.解决本题的关键是阅读材料中提供的

解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式.

⑴①仿照材料1的供的思路把1分解成1X1,把6分解成2x3,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然

后交叉相乘，可得Ix2+lx3=5,所以分解因式可得X2+5X+6=(X+2)(X+3)：

②仿照材料1的供的思路把2分解成1x2,把-12分解成-3x4,分别写在十字交叉线的右上隹和右下角，

然后交叉相乘，可得-3x2+lx4=-2,所以分解因式可得2X2+2X-12=(X-3)(2X+4)；

(2)①设=则原式化为p?+4p+3,仿照⑴中的方法用十字相乘法分解因式，再把P还原即可；

②设2a+3b=g,则原式化为d-4q-12,仿照⑴中的方法用十字相乘法分解因式，再把“还原即可.

【详解】(1)①解：V+5x+6,

|1X2+1X3=5|

x2+5x+6=(x+2)(x+3)；

②解：2/+2x-12,

2、/-4

、、、、z/

/、、

J、、

1/、、、3

.•.2V2+2X-12=(X+3)(2X-4)；

(2)①解：(x-y)~+4(x-y)+3,

设i一尸〃，

则原式化为/+4p+3,

|1X3+IX1=4|

.,.p'+4p+3=(p+l)(p+3),

把P还原可得：+4(x-y)+3=(x-y+l)(x-y+3)：

②：解(2q+3b1-4(2q+3/))-12,

设2。+3b=g,

则原式化为夕？-4夕-12,

1、厂6

、、、//

Jz-、、、、

1，、2

1X(-6)+1X2=-4

/-4g-12=(q-6)(q+2),

把9还原可得：(2a+3b)2—4(2a+36)-12=(2a+36—6)(24+3b+2).

21.【阅读与思考1

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式ax■加+c(〃wO)分解因式呢？我们已经知道:

22

(a(x+Cj)(a2x+c2)=a[a,x+a1c2x4-a2c1x+qc2=a[a2x+a2c])x+c1c2.反过来，就得到：

+(4,2+。2。1)工+。1。2=(。1X+。1)(。2丫+。2).

我们发现，二次三项式依2+尿+4”工0）的二次项的系数。分解成勺死,常数顶。分解成。心，并且把勺，

的，G，。2如图1所示撰放，按对角线交叉相乘再相加，就得到如果2G的值正好等于

ox'+Zu+c的一次项系数3那么ad+^x+c就可以分解为(年+。)(。/+0)，其中外,G位于图的上一行,

生，。2位于下一行.

人

图1

像这种借助画卜字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“卜字相乘法〃.

例如，将式子/—X—6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1X1,

把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2x(-3)；然后把1,1,2,-3按图2所示的摆放，按对角线交

叉相乘再相加的方法，得到lx(-3)+lx2=-l,恰好等于一次项的系数-1,于是--x-6就可以分解为

("2)(.”3).

X

图2

(1)请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：./+X—6=；

【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：

(2)@2x2-5.r-7=；(2)]2x2-\\xy+2y2=；

【探究与拓展】

①类比我们已经知道：(qx++4)=+axb2x+a2b[y+/也.

反过来，就得至ij：cha,xy+a1b2x+a2b{y+b{b2=(a1x+b{)(a2y+b2).

(3)请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①2孙+3y+2x+3=；

②若。、/7均为整数，且。、b满足6"+88-15。=308,求〃+/)的值.

【答案】(l)(x-2)(x+3)；(2)①(2x-7)(x+l)：②(3x-2刃(4x-刃；(3)①(2x+3)(y+l)；②q+b=-14

【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法’的内涵是正确解答的关键.

(1)利用如图1、图2,仿图3的“十字”可以对犬+x—6进行因式分解；

(2)①利用如图1、图2的"十字"可以对2/_5x-7进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对

12.*一|1个+2/进行因式分解；

⑶①利用题中的“十字〃可以对整式2个+3y+2x+3进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对整

式6帅+%-154=308进行因式分解为(3“+4)(2方-5)=288,然后结合有理数的乘法运算分析求解即可.

【详解】

.­,lx3+lx(-2)=l,

.-.x:+x-6=(x-2)(x+3),

故答案为:(x-2)(x+3).

⑵①:X：

2x2-5x-7=(2x-7)(x+1)；

②X4/\-l

.•,3：<(-l)+4x(-2)=-ll,

12x2-1lxy+2y2=(3x-2j)(4x-j),

故答案为：(3工一2力(4x-y)：

(3)①根据题意得:

2xy+3y+2x+3=(2x+3)(y+1),

故答案为:(2x+3)(y+l)；

②6ab+8b-15a=308,

(3a+4)(2Z>-5)=308-20,

.♦.(3。+4)(26-5)=288,

•：a、人均为整数，

・•・2b-5为奇数，3a+4不能为3的倍数，

.•.当3a+4=32,2b-5=9时，。号6=7,不符合题意;

当％+4=-32,28-5=-9时，a=-\2,b=-2f符合题意;

-14.

题型八：因式分解的几何应用

22.如图，有A型，8型，C型三种不同的纸板.其中A型是边长为x的正方形，共有1块；8型为边长为

2的正方形，共有2块；C型是长为x,宽为2的长方形，共有4块.现用这7块纸板去拼出一个大的长方

形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（）

x2x

A.用全部7块纸板B.加上3块"型纸板

C.拿掉2块C型纸板D.加上1块A型纸板

【答案】D

【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可.

【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：x2+4・2x+2x22=/+8x+8不能拼出一个大的长方形；

B、加上3块8型纸板，总面积为：x2+4.2》+5x22=/+8x+20不能拼出一个大的长方形；

C、拿掉2块C型纸板，总面积为：x2+2・2x+2x22=x2+4x+8不能拼出一个大的长方形；

D、加上1块A型纸板，总面积为：2X2+4-2X+2X22=2X2+4X-8=2（X+2）2=（2X+4）（X+2）,即可以拼出

•个长为2x+4,宽为x+2的大长方形;

故选D.

23.综合与实践：

图I图2图3

【问题情境】（1）对于一个图形，如图1,通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式

【探究实践】

（2）类比图1,写出图2中所表示的数学等式；

（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若a+8+c=8,ab-¥bc+ac=25,求/+//+/的值；

【拓展应用】

（4）用图3中2张边长为。的正方形，3张边长为人的正方形，〃?张边长分别为〃，方的长方形纸片拼出一

个长方形或正方形，直接写出〃，的值.

【答案】(1)(a+b)2=a2+2ab+b\

(2)(«+Z)+c)'=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(3)14：

(4)5或7

【分析】(1)根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果；

(2)大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案；

(3)由