2022年上海市曹杨第二中学自主招生考试数学试卷（解析版）

2022曹杨二中自招真题1.已知，化简的结果是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】题目主要考查二次根式的化简及分式的运算，根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0，把绝对值变为括号；式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号，最后去括号，化简即可【详解】解：根据题意得：，故，故选D2.有名员工，其中位的工资分别为，，，，，，另外两位的工资不清楚，则中位数不可能是（）A.5600 B.6000 C.5200 D.5800【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数的定义，根据题意当未知的两个数据均小于时，得出本组数据的中位数为所有情况中最小，即为，进而结合选项，即可求解．【详解】将目前已知的个数据由小到大排列为：、、、、、，当未知的两个数据均小于时，此时本组数据的中位数为所有情况中最小，即为，因此中位数不可能为，故选：C．3.P是线段上一点，，求t（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的线性计算，根据，结合，进行求解即可．【详解】解：如图：则：；故选C．4.a，b，c均为正数且，已知，求（）A.1 B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，即可得得到，再由即可得到答案．【详解】解：，，∴∴，∵，，故选：A．5.两个袋中分别装着标号为1、2、3、4小球，分别从每个袋中任取一小球，则所取两个小球标号之积为偶数的P为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主经考查了概率的求法．得到两个小球标号之积为偶数的情况数，是解决本题的关键，用到公式为：概率＝所求情况数与总情况数之比．根据题意先列表，得出所有等可能的情况数和两个小球标号之积为偶数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】列表：123411234224683369124481216共16种等可能结果，其中有12种结果是偶数，∴乘积为偶数的概率为：．故选：C．6.没有意义的实数解共有（）个A.2 B.1 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查了分式没有意义的条件．根据“分式没有意义，分母等于0”列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，解，得；解，得；解，得；综上，共有4个解，故选：C．7.的两实根平方和比两实根之积大19，则k为（）A. B.或9 C.9 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系用含的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的平方和比两根之积大19的等式中，求出的值，对不在取值范围内的值要舍去．根据根与系数的关系，得到关于的方程，求出的值，再由判别式把使方程没有根的的值舍去．【详解】解：，，，，，，解得或，，．（舍去），，故选：D8.已知与x轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，若M是抛物线在第一象限内的动点，则的最大值为（）A. B.7 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数的平移，根的判别式；先求出A、B两点的坐标，然后求出直线AB解析式，然后联立得到方程，根据方程有解得到，解得，然后计算最大值即可．【详解】当x=0时，；令，则，解得：（舍去），，∴与正坐标轴交点分别为，设直线AB的解析式为，，解得，∴直线AB的解析式为，若使最大，M到直线的距离最大，∴设经过点M且与直线AB平行的直线解析式为，则对于方程，即有解，有：，解得，即时，最大，∴；故选：D．9.边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对折叠性质、勾股定理、三角形的全等判定和性质，熟练掌握对折的性质是解题的关键；根据翻折的性质，及正方形的性质得，在证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：四边形是边长为2的正方形，，，以为折痕将翻折得，，，，，，，，，，，，设，，M是的中点，，，在中，，即，解得：，故选：D．10.有2个实数解且，则a的值为（）A. B.4 C. D.或4【答案】A【解析】【分析】本题主要考查根和系数的关系，其中熟悉应用根和系数的关系列方程是解决问题的关键，根据题意得出，再由根和系数的关系求出与，再结合列方程求解的值即可．【详解】且，，，即为，为的2个实数解，，，，整理得，解得或，，．故选：A．11.在圆内接四边形中，，延长交于，则长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，补角性质，相似三角形的判定和性质，利用圆的内接三角形和补角性质可得，即得，得到，设，列出方程组即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：四边形内接于圆，，∵，∴，又∵，∴，∴，设，则有，解得，∴，故选：．12.已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法：（1）可能均为有理数（2）可能均为无理数（3）可能恰有一个为有理数（4）可能恰有两个为有理数正确序号为：__________【答案】①②③【解析】【分析】本题考查实数的运算，根据a，b，c不全为无理数，得到三个数至少有一个是有理数，分种情况进行讨论，判断即可．【详解】解：∵a，b，c不全为无理数，∴a，b，c至少一个有理数，当a，b，c有1个有理数时，不妨设为有理数，则：均为无理数，可能为有理数（互为相反数时），也可能是无理数，当a，b，c有2个有理数时，不妨设无理数，则：为无理数，为有理数，当a，b，c都是有理数时，三个数都是有理数，故①②③说法正确，④说法错误．故答案为：①②③．13.已知常数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次根式的化简及代数式求值，同时也考查了完全平方公式的应用：熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先根据题意，由完全平方公式及二次根式性质可知，再由因式分解及完全平方公式变形，代入即可求解．【详解】故选：B14.将个同样大小的小正方体拼成一个（a，b，c为正整数且）的长方体，在其表面染色，在满足上述条件的各种可能拼法中，恰有一面染色的小正方体的个数的最大值与最小值分别为M，m，则（）A.84 B.96 C.72 D.32【答案】B【解析】【分析】此题考查了整式的混合运算的应用．根据题意列式得到一面染色的正方体个数为，再根据题意得到多项式的最大值和最小值即可．【详解】解：由题意可知，一面染色的正方体个数为，最少为0，最大时a，b，c分别为2，8，10，此时，，故选：B15.用红蓝两色给的棋盘染色（可以只用一种颜色），要求任意的连续三个方格不能全部染成红色，则符合要求的染色方法数为（）A.44 B.21 C.24 D.55【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了组合计数和逻辑推理的解题能力，解题的关键在于理解相邻的定义，能够识别并计数所有不符合条件的组合，以及采用合适的解题方法来得出答案；通过逻辑推理，判断哪些组合会导致3个红色方格相邻，从而不符合条件，采用合适的方法（如列举法）来计数所有不符合条件的组合．【详解】解：不考虑限制条件，共有种填色方式，由于任意的连续三个方格不能全部染成红色，所以：①有6个方格全为红色不符合条件（全部红色），1种②有5个方格为红色不符合条件（选择一个方格染为蓝色，其余染为红色）6种，③有4个方格为红色时，其中3个方格相邻时不符合条件（红色方格占据第1、2、3、4个位置，红色方格占据第1、2、3、5个位置，红色方格占据第1、2、3、6个位置，红色方格占据第1、3、4、5个位置，红色方格占据第1、4、5、6个位置，红色方格占据第2、3、4、5个位置，红色方格占据第2、3、4、6个位置，红色方格占据第2、4、5、6个位置，红色方格占据第3、4、5、6个位置，）9种，④有3个方格为红色时，3个方格全部相邻时不符合条件（红色方格在1，2，3位置，红色方格在2，3，4位置，红色方格在3，4，5位置，红色方格在4，5，6位置）共4种，种．16.在中，其内切圆与边切于D，若，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角形内切圆的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练应用切线长定理和连接合适的辅助线是解题的关键，设，根据三角形内切圆的性质得出，再作，运用锐角三角函数的定义表示出，再由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，中，内切圆圆心，，，设，，，，作垂足为，，，在中，，即，整理得，，，．故选：D．17.的实数解共有（）组A.3 B.4 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查解三元方程组，一元二次方程，根据题意，得到，进而得到，分，，两种情况进行求解即可．【详解】解：由，得①若，则②若且，则即或；故选B．18.在某次交友活动中，原计划每两个人都要进行5分钟交谈，但有4个人各交谈两次后就离开了．若整个活动进行了50次5分钟交谈，