2024年山东省青岛市西海岸新区自主招生数学试题（解析版）

九年级理科素养试题（总分分，时间分钟）注意事项：．本试卷分三部分：第一部分为数学试题，第二部分为物理试题，第三部分为化学试题．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．．回答数学、物理、化学选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷上无效．．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号位置上，写在试卷上无效．．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分数学试题（总分分）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知式子的值为0，则x的值为（）A.2B.C.2或D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．【详解】解：分式的值为0，且，解得：，故选：A．2.为丰富校园文化生活，提高学生艺术素养，某校成立校园民乐乐团．下表是乐团成员年龄分布：年龄/岁12131415频数6103若该乐团又增加两名成员，下列统计量一定不会发生改变的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】B【解析】第1页/共25页【分析】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．由频数分布表可知总人数，结合平均数、中位数、众数及方差的定义依次判断即可．【详解】解：由表可知，总人数为：，中位数为第15、16名成员的年龄，即岁，增加两名成员后，中位数为第16、17名成员的年龄，∵，∴第16、17名成员的年龄均为13岁，故中位数不变，其他选项均会发生变化，故选：B．3.四则运算符号有，，，，的运算结果是a和b中较大的数，的运算结果是a和b中较小的数，则下列等式不一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了新定义计算.分和两种情况或举反例逐一判断各个选项即可．【详解】解：A.当时，，原式，当时，，原式，此选项成立，不符合题意；B.当时，原式；当时，原式，此选项成立，不符合题意；C.当时，，∴，当时，，∴，，此选项成立，不符合题意；D.第2页/共25页举反例，当，时，即，，不相等，此选项不成立，符合题意．故选D．4.）A.B.C.D.以上均可能【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正方体对面上的数字问题，根据题意可得这6个整数可以为或或，再由相对面上所标数字之和相等得到最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，据此分三种情况讨论，结合三个数不能互相为对面进行求解即可．【详解】解；由题意得，这6个整数可以为或或，∵相对面上所标数字之和相等，∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，当这6个整数为和为对面，和为对面，和∴此时这6个数的和为；当这6个整数为，则和为对面，不符合题意；当这6个整数为，则和为对面，不符合题意，综上所述，这6个整数的和为，故选：C．5.如图，在中，，，且点在双曲线上，边交双曲线于点C，则C点的坐标为（）第3页/共25页A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质．作轴，轴，且线段和线段的延长线交于点M．根据题意易证，可求得B点坐标为的解析式为C点坐标为即可．【详解】解：如图，作轴，轴，且线段和线段的延长线交于点M．∵，，∴，∴在和中，∴．根据题意可知A点坐标为，∴，，第4页/共25页∴B点坐标为，又∵点A在函数的图象上，∴，∴设直线的解析式为，将代入得，解得：，∴直线的解析式为，设C点坐标为，又∵点C在函数图象上，∴，解得．∵C点在第二象限，即，∴C点坐标为，故选：A．6.地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离与乙车行驶时间的函数关系图象，则下列说法正确的是（）A.乙车的速度为B.两地相距第5页/共25页C.甲、乙两车最远相距D.乙车出发时最终与甲车相遇【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象与行程问题，理解数量关系是关键．根据函数图象，分别找出甲、乙形式的时间，速度，两车之间的距离，由行程数量关系计算即可．与乙车行驶时间甲的时间为，∴表示甲用行驶了，甲的速度为，表示乙用了追上了甲，此时甲行驶了，路程是，乙用时追上了甲，两车之间的距离为，即甲、乙相遇，乙用了行驶了，乙的速度是，故A选项错误，不符合题意；，表示时，甲、乙两车相距，∴，即两地相距，故B选项错误，不符合题意；，即甲、乙两车最远相距，故C选项错误，不符合题意；乙车先达到地并停留分钟，此时甲、乙两车的距离逐渐减小，∴表示，，∴，，∴，乙车出发时最终与甲车相遇，故D选项正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共分）7.设，，则______．第6页/共25页【答案】##【解析】【分析】本题考查完全平方公式，分式的求值，根据的值，整体代入法求值即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，∴；故答案为：8.的长方形网格中已有5部分成为轴对称图形的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了轴对称图形，简单的概率计算，未涂空格共有个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有种，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：如图：第7页/共25页未涂空格共有个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形有种，∴任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率为，故答案为：．9.中，，，是，阴影部分的面积为______．【答案】【解析】作于点，过作于点，过作于点，利用勾股定理求得，利用内心得出，再利用求出，最后求面积即可．【详解】解：如图，过作于点，过作于点，过作于点，∵，，，∴，∵点是的内心，∴，第8页/共25页∵，即，即，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积为．10.中，，，D在的面积为10，点E为的中点，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】过点D作的垂线交于点M，延长，取，连接，，过点E作于点F，证明，得出，求出，垂直平分NDE三点共线时，据勾股定理求出即可．【详解】解：过点D作的垂线交于点M，延长，取，连接，，过点E作于点F，如图所示：第9页/共25页∵，，，，∵点E为的中点，∴，∵，，∴，∴，∴，，，，，则，∴，∵，∴垂直平分，∴，，∵两点之间线段最短，∴当点N，D，E三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，∵，，∴，即最小值为．第10页/共25页故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．中，平分于点E，于点F，为边，作矩形，与相交于点H，若，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，等角对等边，比例的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．首先证明，出四边形为正方形，然后利用相似三角形的判定推导出，于是可得，进而可得，等量代换并代入数据可得解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，，∴，∵平分，∴，，，第11页/共25页∴，∴，，∴四边形为正方形，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．12.如图是一张矩形纸片，E是CD的对应点分别为点MN，的延长线经过点B，与相交于点GG平分的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据矩形和折叠得到，设，则，设，由，得到，再代入表示好的数据得到，在中，第12页/共25页由勾股定理得，即可求解．【详解】解：四边形是矩形，∴，∴，，折叠，∴，∴，∴，点G平分，∴设，则，∵点E是的中点，∴设，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∵在中，由勾股定理得，∴，解得：∴，故答案为：．第13页/共25页三、解答题（本大题共4小题，共分）13.已知，是方程的两个实数根．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据方程有实数根得到，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；（2，时，有最小值，最小值为，即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意得方程的，，，实数的取值范围是；【小问2详解】解：，是方程的两个实数根，，，第14页/共25页，，，当时，有最小值，最小值为，的最小值为．14.如图，A，B，C，D是上的四点，为的直径，．点E是延长线上的一点，，是的切线，，延长，相交于点F，连接．（1）求的度数；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查圆切线性质、圆周角定理、等边三角形判定及面积公式，解题关键是通过连接辅助线，利用切线性质和圆周角定理推导角度，结合面积公式计算阴影面积．（1）连接，根据切线的性质可知．设的半径为，在中，由勾股定理解得出．再证是等边三角形，得根据，所以，则，进而可得．根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以．（2）由（1）知，根据等边三角形的判定为等边三角形．连接，因为点为中点，根据“三线合一”的性质，可得．在中，，，利第15页/共25页用三角函数，即，可求得．根据三角形面积公式求出，，根据扇形面积公式可得的面积减去积扇形的面积，再减去的面积，即可解答．小问1详解】连接，∵是切线，∴．设半径为，，在中，由勾股定理，解得，∴，，∴，又∵，∴∴，∴，故．根据圆周角定理得．【小问2详解】第16页/共25页中，由(1)得，，为等边三角形．连接，点为中点，，中，，，，，，，在中，过D作，∵，，∴为等边三角形，∴M是的中点，∴，在中∴,第17页/共25页∴∵中，，，．15.单价比乙种实验器材的单价少301800元购买甲种实验器材与用2400元购买乙种实验器材的数量相等．（1）甲，乙两种实验器材的单价各是多少？（2元．学校购买甲、乙两种实验器材共90件，且购买乙种器材的数量不少于总器材数量的一半，但不多于甲种器材数量的2倍，此时购买这两种实验器材所需的最少费用为9360元，求a的值．【答案】（1）甲种实验器材的单价为90元，乙种实验器材的单价为120元（2）【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用等知识．（1x1800元购买甲种实验器材与用2400元购买乙种实验器材的数量相等为等量关系列出关于x的分式方程求解即可得出答案．（2）设甲种器材数量为m件，则购买乙种器材件，先根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解出m的取值范围，设购买这两种实验器材所需的费用为w元，列出w关于m的一次函数，再分情况，和分情况利用一次函数的性质求解即可．第18页/共25页【小问1详解】解：设乙种实验器材的单价为x元，则甲种实验器材的单价为元，根据题意：，解得：，经检验，是分式方程的解，乙种实验器材的单价为120元，甲种实验器材的单价为90元．【小问2详解】解：设甲种器材数量为m件，则购买乙种器材件，根据题意可得出：，解得m的取值范围为：，设购买这两种实验器材所需的费用为w元，则当时，即，W随m的增大而增大，当时，w取得最小值，此时，解得：，与矛盾，舍去，当时，即，，不符合题意，舍去，当时，即，W随m的增大而减小，当时，w取得最小值，此时，解得：，与符合，则第19页/共25页16.已知抛物线经过点，与抛物线交于点C线交于点D，与x轴交于点M．（1）试确定抛物线的解析式；（2）若当时，的最小值为2，最大值为20，则m的取值范围为______；（3）连接，在对称轴上，是否存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似?若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；（4）将抛物线平移，平移后的抛物线经过点AMx轴的另一个交点为点N，在平面上是否存在点F，使得以点A，B，N，F为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）（3）在对称轴上，存在点E，使以点B，D，E为顶点的三角形与相似，点E的坐标为或；（4）点F的坐标为或或．【解析】1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得以及点关于直线的对称点为，利用配方法求得顶点，据此求解即可；第20页/共25页（3）先求得，推出是等腰三角形，得到也是等腰三角形，分三种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；（4N的坐标为F的坐标为行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线经过点，，对称轴直线，∴，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：当时，，此时，∵对称轴直线，∴点关于直线的对称点为，第21页/共25页∵，