2025年浙江省衢州市开化县重点高中自主招生数学试卷 （解析版）

年数学试卷温馨提醒：、试卷有3大题，共小题；本卷满分分．、答题时不得使用计算器．一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共分．请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分）1.已知，则的值是（）A.13B.15C.17D.19【答案】C【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式的应用、二次根式的性质、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键．由完全平方公式可得，再对变形后将整体代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴．故选：C．2.若分式总有意义，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键．第1页/共20页分式有意义的条件是分母不为零．即分母恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可．【详解】解：分式总有意义，分母为二次函数方程无实数根，∴，解得．故选A．3.如图，点、、在上，点为外一点，，则的度数可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据勾股定理逆定理得，根据圆周角定理得，再根据三角形外角的性质得，即可得出答案．【详解】解：如图，设与交于点E，连接，∵，∴，∴，∵，第2页/共20页∴，∴，∵，∴的度数可以是．故选：A．4.如图，已知，垂足为点，，且，则（）A.8B.10C.12D.13【答案】C【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设，可得，在中，由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设，∵，∴，在中，，，∵，∴，解得：，所以，，故选：C．5.设，关于x的一次函数，当时，y的最大值是（A.kB.C.D.第3页/共20页【答案】A【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，确定一次函数的增减性质是解题的关键．先把一次函数的解析式整理为减性求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴∴随的增大而减小，∵，∴当时，的值最大，最大值为：，故选：A．6.两个数、，定义：，若关于正数不等式组恰好有2个整数解，则的取值范围是（）AB.C.D.【答案】B【解析】x的取值范围列出相应的关于x的不等式组并解不等式组是解题的关键．根据定义将函数表示2个整数解确定的求值范围即可．【详解】解：∵，∴当时，由可得：；当时，由可得：第4页/共20页∴的解集为．∵，，∴，即．∴．∵不等式组恰好有2个整数解，∴整数为6和7．∴，即．故选：B．7.为的图象经过和的面积为6，则的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，三角形的中位线相关知识，反比例函数的图象，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．设，连接并延长交轴于点E，过点作轴于F，过点C作轴于G，利用平行四边形的性质证明，推出，再利用三角形的中位线相关知识，推出，，结合点C，D的坐标可得，，最后利用平行四边形的面积为6，求出的值．【详解】解：如图，连接并延长交轴于点E，过点作轴于F，过点C作轴于G，第5页/共20页点C，D在反比例函数的图象上，可设，平行四边形的面积为6，，即，四边形是平行四边形，，即，，又D为的中点，可得，，，轴，轴，，又，即D为的中点，F为的中点，即，，即，，由得，，，代入，可得，故选：B．8.如图，已知中，，点在上，点在延长线上，且，作于点，连结，则的最小值为（）第6页/共20页A.B.C.D.【答案】C【解析】的表达式是解题的关键．设，则，则，在中，，则，由，即可求解．【详解】解：过点F作于点，设交于点，过点作于点，∵，，∴，∵，，，，则，设，则，则，在中，，则，则，故的最小值为，第7页/共20页故选：C二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共9.分解因式________．【答案】【解析】【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式．先提公因式a，再利用十字相乘法分解即可．【详解】解：，故答案为：．10.已知，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查了乘法的意义，积的乘方，同底数幂的除法，先根据乘法的意义得，逆用同底数幂的乘法法则得，然后利用同底数幂的除法法则即可求解．【详解】∵∴∴∴∴∴．故答案为：．第8页/共20页已知关于的不等式组的解集为，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、解二元一次方程组以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程组是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集列出关于mn的方程组，然后求出mn的值，最后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：解不等式组，得，∵解集为，∴，解得：∴，故答案为：．12.已知，则________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．先变形已知条件法计算．【详解】解：，，第9页/共20页，，，，，故答案为：2024．13.如图，矩形中，，为的平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】通过矩形性质以及角平分线推导为等腰直角三角形，再根据中位线定理分析动点轨迹，根据动点运动到特殊点最终结合垂线段最短求出最小值．【详解】解：矩形中，，，平分，因此，在中，，，故是等腰直角三角形，即，点是上的动点，是的中点，根据中位线定理，当F在直线上运动时，的轨迹是一条平行于的线段，取的两个特殊点：当运动到点时，是的中点，记为；当运动到点时，是的中点，记为，连接M、N，则线段即为的轨迹，且∥，，第10页/共20页所以，要使最小，需，即，所以的最小值是即为的长度，所以，即的最小值为．【点睛】本题考查了动点轨迹与转化最小值问题，角平分线的性质，利用三角形中位线定理，分析出垂线段最短原理是解决本题的关键．14.如图，是抛物线上两点，点为的中点，过作轴的垂线，交抛物线于点，．设两点的横坐标分别为．则的值为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点的坐标是解题的关键．将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解．【详解】解：由题意得，点的坐标分别为：，则点，点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，，第11页/共20页则的值为，故答案为：．三、解答题（本题共5题，共15.若对于任意两数，定义一种运算“”，使得．（1）求的值；（2）试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由．【答案】（1）（2）满足结合律，见解析【解析】【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可；（2）把相应的值进行结合律运算，再比较即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：已知，令，则．将，代入运算规则可得：第12页/共20页，令，则．将，代入运算规则可得：因为，，所以，运算“”满足结合律．16.若关于的一元二次方程有两个实数根为、，且满足，，那则称这样的两个根是是“和谐方程”．（1）方程是“和谐方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于的一元二次方程是“和谐方程”，求的值．【答案】（1）是，理由见解析（2）【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系；（1）先解方程，再结合新定义可得答案；（2）根据根与系数的关系以及新定义可得，，，再进一步求解即可.【小问1详解】解：∵，∴，∴或，第13页/共20页解得，，∵，方程不是“和谐方程”；【小问2详解】解：∵关于一元二次方程是“和谐方程”，∴，，，∴，∴，解得：；经检验符合题意.17.已知和中，，且．（1）如图1，点在内，求证：；（2）如图2，A，D，E三点在同一条直线上，若，求的面积；（3）如图3，若，点在边上运动，则周长的最小值为_______表示）【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．（1）由可证，可得，由余角的性质可求解；（2）由等腰直角三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求解；第14页/共20页（3有最小值时，时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解．【小问1详解】证明：如图1，延长交于H，，，在和中，，，，，，，；【小问2详解】解：如图2，过点C作于N，第15页/共20页由（1）可知：，是等腰直角三角形，，，，，，，或，【小问3详解】解：由（1）可知：，有最小值时，的周长有最小值，当时，有最小值，是等腰直角三角形，，周长的最小值为18.已知二次函数，记的最大值为，最小值为．第16页/共20页（1）当时，求的值；（2）若时，求的值；（3）若总成立，则写出的取值范围为_______．【答案】（1）8（2）或（3）【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，涉及二次函数的性质、分类讨论思想以及不等式恒成立的条件．（1）将代入求出解析式，再解答即可；（2）先求出二次函数顶点坐标为，分，或分别讨论即可；（3）根据（2）中最值解答即可．【小问1详解】解：当时，函数为，对称轴为直线，因此，最值在端点处：当时，；当时，．故．小问2详解】解：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，情况1：，即，最小值；到1距离更远时，最大值，，解得：或到距离更远时，最大值，，解得：（舍去）或．第17页/共20页情况2：或，当时：在范围内，y随x增大而增大，则，则，解得：（舍去，因当时：在范围内，y随x增大而减小，则，则，解得：（舍去，因综上，或．【小问3详解】解：函数恒成立，即最小值：顶点在范围内时，恒成立；顶点在范围外或：当时，，解得；当时，，解得．综上，的取值范围为．19.定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”．（1）如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值．（2）如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，，①如图3，若，求的度数；第18页/共20页②求证：四边形是“近似矩形”．【答案】（1）（2）①；②见解析【解析】1）先根据新定义得出，再根据勾股定理计算即可；（2）①利用直径所对的圆周角为直角，得到，结合角平分线定义证明，推出，，利用弧、弦、圆心角之间的关