2025年重庆市重庆市北碚区自主招生数学试题（原卷版）

学年（下）学生学业水平素养能力调研抽测九年级数学试题（全卷共三个大题，满分分，考试时间分钟）注意事项：．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔完成；．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．个小题，每小题4分，共分）在每个小题的下面，都给出了代号为、、、的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.的倒数是（）AB.5C.D.2.下列图形是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.已知点在反比例函数的图象上，则的值为（）A.B.5C.D.104.若两个相似三角形周长比是，则这两个相似三角形的面积比是（）A.B.C.D.5.蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35）第1页/共7页A.59B.67C.75D.966.已知，则实数的取值范围是（）A.3B.4C.5D.67.有一块周长为米的矩形菜地，为扩大种植面积，将菜地的长、宽各增加米，结果菜地面积增加了，求原来菜地的长和宽．若设原来菜地的长为米，根据题意，下列所列方程正确的是（）A.BC.D.8.为圆心，于点为圆心，长为半径画弧，与相切于点．若，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.9.如图，在矩形中，为的中点，，分别是边，上的点，且．将沿翻折得到，点恰好落在上．则的值为()A3B.C.D.10.已知整式，，，，，均为不等于第2页/共7页，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（）A.B.C.D.6个小题，每小题5分，共分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．计算__．12.如图，，点是上一点，，，则___________．13.有四张完全一样正面分别标有字母，，，的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为和的概率是___________．14.若关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和是___________．15.如图，是的直径，弦，垂足为为上一点，过点作的切线，分别交的延长线于点和点，连接交于点，连接．若，，则___________，___________．16.一个四位正整数，各数位上的数字均不为，若的千位数字与十位数字之和是百位数字与个位数第3页/共7页字之差的是“差倍数”，则最小的“差倍数”是___________．将“差倍数”任意去掉两个数位的数字得到一个两位倍数”的百位数字与个位数字之差是是的最大值与最小值之和为___________．8个小题，每小题分，共分）解答时每小题必须给出必要的演算上．17.计算：（1）；（2）．18.中，，是外角的平分线，．（1）用直尺和圆规，作的平分线，交于点（2）在（1）所作图中，试说明四边形是矩形．请根据以下思路完成填空：证明：平分，___________①___________．．，．平分平分，第4页/共7页，___________②___________．___________．四边形是矩形．进一步思考，若是等腰直角三角形，那么四边形是___________④___________．19.为了解学生的科学素养状况，某校举办了科学知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的竞赛成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩在C83858686878787878889年级20名学生的竞赛成绩是：67，69，70，74，75，78，82，83，85，88，88，89，89，89，90，93，95，98，98，100．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表七年级所抽学生的竞赛成绩统计图年级七年级八年级平均数8585中位数88众数87根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中___________，___________，___________；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科学知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）（3500名学生、八年级有450名学生参加了此次科学知识竞赛．估计该校七、八年级参加此次科学知识竞赛成绩为“优秀”（）的学生人数总共是多少？第5页/共7页20.甲、乙两地之间新修建了一条高速公路，比原来国道的长度减少了35千米，现两条公路一共长315千米．（1）求甲、乙两地之间的高速公路和原来国道各有多少千米？（2）高速公路通车后，某长途货车的行驶速度比在原来国道上的行驶速度提高了，从甲地到乙地的行驶时间缩短了小时．求该长途货车在原来国道上行驶的速度．21.中，，，为不与重作的距离为与线段的长度之比为．（1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.222.如图，港在港的正北方向42海里处，港在港的正东方向30海里处，港，港在港的正东方向，且港在港北偏东方向，港在）（1）求，（2）甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港装运新的物资．若甲、第6页/共7页乙两艘货轮的速度相同（停靠港？请通过计算说明．23.轴交于点轴交于两点(在的左侧)，，连接，抛物线的对称轴为．（1）求抛物线的表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值；（3）点为抛物线上一点，其横坐标比在(2)中取得最大值时点的横坐标大，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．24.在中，，，为的中点，为