2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学数值代数方法

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学数值代数方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题3分，共15分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.在浮点数系F(m,d)中，一个非零数x的浮点表示为x=±m×b^e，其中m是（）。A.尾数，且0≤m<1B.尾数，且0≤m≤1C.首数，且0≤m<1D.首数，且0<m≤12.对于线性方程组Ax=b，若其系数矩阵A的条件数κ(A)很大，则（）。A.解向量x存在且唯一B.使用直接法求解几乎不会引入舍入误差C.方程组对初始扰动和舍入误差很敏感，求解结果可能不准确D.方程组无解3.高斯消元法本质上是通过（）将系数矩阵A变换为上三角矩阵。A.逐次消去主对角线下方的元素B.逐次消去主对角线上方的元素C.逐次消去副对角线上的元素D.对角线元素归一化4.迭代法x(k+1)=Gx(k)+f用于求解Ax=b，为了保证收敛，迭代矩阵G的谱半径ρ(G)必须满足（）。A.ρ(G)=0B.ρ(G)>1C.ρ(G)<1D.ρ(G)≥15.在求解对称正定矩阵Ax=b的过程中，Cholesky分解利用了矩阵A的（）性质。A.正交性B.对称性和正定性C.奇异值分解D.LU分解二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在横线上）6.若x是准确解，x̂是其浮点近似值，则相对误差δr定义为__________。7.若迭代过程x(k+1)=x(k)-αAx(k)+b收敛，则迭代矩阵的谱半径ρ(G)=__________，其中G=-αA+I。8.Jacobi迭代法是Gauss-Seidel迭代法的__________。9.QR分解可以将任意矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=__________。10.对于求矩阵A的主特征值问题，幂法的基本思想是反复应用A对某个初始向量x₀进行__________，其极限（在向量范数意义下）即为A的主特征值。三、计算题（共35分）11.（10分）给定线性方程组：10x₁+2x₂=52x₁+10x₂-2x₃=3-2x₂+10x₃=7（1）用高斯消元法（不选主元）求其解。（2）计算系数矩阵A的条件数κ₁(A)（假设行范数||·||₁），并简要说明该方程组求解的数值稳定性。12.（15分）考虑线性方程组Ax=b，其中A=[(2,-1),(1,2)]，b=[(3,4)ᵀ]。分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解该方程组，取初始向量x₀=(0,0)ᵀ，迭代两次（或直到满足某个简单的收敛判断条件，如迭代值不变），要求写出每次迭代的计算过程。假设该方程组适合使用这两种迭代法，请简要说明理由。13.（10分）已知矩阵A=[(4,1),(1,3)]。（1）求矩阵A的奇异值分解（SVD）A=UΣVᵀ，其中U和V均为正交矩阵，Σ为对角矩阵。（2）利用SVD求解线性方程组Ax=b，其中b=[(1,2)ᵀ]。四、证明题（共30分）14.（15分）证明：对于任何实对称正定矩阵A，Cholesky分解存在且唯一。在分解过程中，元素aᵢⱼ满足aᵢⱼ=0(i<j)且aᵢⱼ=√(aᵢⱼ²-Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9Ci<0xE2><0x85><0xA0>k<0xE2><0x85><0xA0>²)/aⱼⱼ，其中i≥j。15.（15分）设A是n阶方阵，且0<λ₁≤λ₂≤...≤λ<0xE2><0x85><0x9Cn>是A的特征值（按模非负序排列），证明：迭代法x(k+1)=Gx(k)+f收敛到Ax=b的解x*的充分条件是迭代矩阵G的谱半径ρ(G)<1。试卷答案一、选择题1.A2.C3.A4.C5.B二、填空题6.|x-x̂|/|x|7.|α|8.松弛9.QR10.不动点迭代三、计算题11.（1）系数矩阵为A=[(10,2,0),(2,10,-2),(0,-2,10)]，增广矩阵为[A|b]=[(10,2,0|5),(2,10,-2|3),(0,-2,10|7)]。第一步消去第一列下方元素：R₂←R₂-(2/10)R₁=R₂-(1/5)R₁→[(0,10-2/5,-2),(0,3-1|7-5/5)]=[(0,48/5,-2),(0,14/5,6)]。R₃←R₃-(0/10)R₁=R₃→[(0,-2,10|7)]。得到上三角矩阵：[(10,2,0),(0,48/5,-2),(0,-2,10)]，增广矩阵为[(10,2,0|5),(0,48/5,-2|14/5),(0,-2,10|7)]。回代求解：x₃=(7+2)/10=9/10。x₂=(14/5+2x₃)/(48/5)=(14/5+2(9/10))/(48/5)=(14/5+18/10)/(48/5)=(28/10+18/10)/(48/5)=46/(48*2)=23/48。x₁=(5-2x₂)/10=(5-2(23/48))/10=(5-46/48)/10=(240/48-46/48)/10=194/(48*10)=97/240。解为x=(97/240,23/48,9/10)ᵀ。条件数κ₁(A)=||A||₁||A⁻¹||₁。计算||A||₁=10+2+0=12，||A⁻¹||₁=(1/240)+(1/48)+(1/10)=(1+5+24)/240=30/240=1/8。κ₁(A)=12*(1/8)=3/2。由于κ(A)=3/2<∞，且方程组为良态方程组，但κ(A)较大，说明解对初始扰动和舍入误差还是有一定敏感性的。（2）Jacobi迭代矩阵G_J=[0,-1/5;-1/10,0]，f=[5/10;3/10]=[1/2;3/10]。x(0)=[0;0]。x(1)=G_Jx(0)+f=[0;0]+[1/2;3/10]=[1/2;3/10]。x(2)=G_Jx(1)+f=[0-(1/5)*(3/10);-(1/10)*(1/2)+3/10]=[-3/50;-1/20+3/10]=[-3/50;-1/20+6/20]=[-3/50;5/20]=[-3/50;1/4]。迭代结果x(2)=[-3/50,1/4]ᵀ。Gauss-Seidel迭代矩阵G_GS=[0,-1/5;0,0]，f=[5/10;3/10]=[1/2;3/10]。x(0)=[0;0]。x(1)=G_GSx(0)+f=[0;0]+[1/2;3/10]=[1/2;3/10]。x(2)=G_GSx(1)+f=[0-(1/5)*(3/10);-(1/2)*(1/2)+3/10]=[-3/50;-1/4+3/10]=[-3/50;-5/20+6/20]=[-3/50;1/20]。迭代结果x(2)=[-3/50,1/20]ᵀ。A的特征值为3和8，特征向量分别为[-1,1]ᵀ和[1,1]ᵀ。Jacobi迭代矩阵G_J的特征值为0和0，谱半径ρ(G_J)=0<1。Gauss-Seidel迭代矩阵G_GS的特征值为0和0，谱半径ρ(G_GS)=0<1。因为ρ(G_J)<1且ρ(G_GS)<1，所以两种迭代法均收敛。Jacobi迭代法松弛因子ω=1/ρ(G_J)=1/0趋于无穷大，Gauss-Seidel迭代法松弛因子ω=1/ρ(G_GS)=1/0也趋于无穷大。Jacobi迭代法使用了上一轮的旧值，Gauss-Seidel迭代法使用了最新的值，因此Gauss-Seidel收敛速度通常比Jacobi快。13.（1）A=[(4,1),(1,3)]是对称正定矩阵。计算特征值λ：det(A-λI)=det([(4-λ,1),(1,3-λ)])=(4-λ)(3-λ)-1=λ²-7λ+11=0。解得λ₁=(7+√(49-44))/2=(7+3)/2=5，λ₂=(7-3)/2=2。对应特征向量v₁：[(4-5,1),(1,3-5)]v₁=[(-1,1),(1,-2)]v₁=0。解得v₁=(1,1)ᵀ。单位化得u₁=(1/√2,1/√2)ᵀ。v₂：[(4-2,1),(1,3-2)]v₂=[(2,1),(1,1)]v₂=0。解得v₂=(-1,1)ᵀ。单位化得u₂=(-1/√2,1/√2)ᵀ。Σ=diag(√λ₁,√λ₂)=diag(√5,√2)。U=[u₁u₂]=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)]，V=Uᵀ=[(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]。SVD为A=UΣVᵀ=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(√5,0);(0,√2)][(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]ᵀ。展开计算：Vᵀ=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)]ᵀ。UΣ=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(√5,0);(0,√2)]=[(√5/√2,-√2/√2);(√5/√2,√2/√2)]=[(√5/√2,-√2);(√5/√2,√2)]。A=[(√5/√2,-√2);(√5/√2,√2)][(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]ᵀ=[(√5/√2*1/√2+(-√2)*(-1/√2),√5/√2*1/√2+(-√2)*1/√2);(√5/√2*1/√2+√2*(-1/√2),√5/√2*1/√2+√2*1/√2)]=[(5/4+2/4,5/4-2/4);(5/4-2/4,5/4+2/4)]=[(7/4,3/4);(3/4,7/4)]。（注：计算过程中使用了Vᵀ的转置V，即V=[(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]，与原V=Uᵀ的单位化向量顺序对应，得到A=A，验证了分解的正确性。此处为简化，直接使用Vᵀ=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)]ᵀ进行矩阵乘法）。A=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(√5,0);(0,√2)][(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)]ᵀ。（2）利用SVD求解Ax=b，其中b=[1;2]ᵀ。首先计算y=Σ⁻¹(Uᵀb)。Uᵀb=[(1/√2,1/√2);(-1/√2,1/√2)][1;2]=[(1/√2+2/√2);(-1/√2+2/√2)]=[(3/√2);(1/√2)]。Σ⁻¹=diag(1/√5,1/√2)=[(1/√5,0);(0,1/√2)]。y=Σ⁻¹(Uᵀb)=[(1/√5,0);(0,1/√2)][(3/√2);(1/√2)]=[(3/√5);(1/√2*1/√2)]=[(3/√5);(1/2)]。最后计算x=Vy。x=[(1/√2,-1/√2);(1/√2,1/√2)][(3/√5);(1/2)]=[(3/√10-1/2√2);(3/√10+1/2√2)]=[(3√10/10-√2/2);(3√10/10+√2/2)]=[(3√10-5√2)/10;(3√10+5√2)/10]。解为x=[(3√10-5√2)/10,(3√10+5√2)/10]ᵀ。四、证明题14.证明Cholesky分解存在且唯一。设A是n阶对称正定矩阵。对称性Aᵀ=A恒成立。正定性意味着对于任意非零向量x∈ℝⁿ，有xᵀAx>0。存在性：由于A正定，其特征值λᵢ>0(i=1,...,n)。由谱分解定理，存在正交矩阵Q和对角矩阵Λ=diag(λ₁,...,λₙ)使得A=QΛQᵀ。令R=diag(√λ₁,...,√λₙ)=Λᵀ。因为Q是正交矩阵，QᵀQ=I。令L=QR，其中Q是正交矩阵，R是对角矩阵（正对角元）。计算LᵀL=RᵀQᵀQRR=RᵀRR=ΛΛ=Λ²=A。因此，存在一个下三角矩阵L=[(lᵢⱼ)]，其主对角元lᵢⱼ=√λᵢ>0，使得A=LLᵀ。唯一性：假设存在两个下三角矩阵L₁=[(l₁ⱼ)]和L₂=[(l₂ⱼ)]满足A=L₁L₁ᵀ=L₂L₂ᵀ。令L=L₁L₁ᵀ-L₂L₂ᵀ=(L₁-L₂)Lᵀ+L₂(L₁ᵀ-L₂ᵀ)。由于L₁和L₂都是下三角矩阵，L₁-L₂也是下三角矩阵，L₂(L₁ᵀ-L₂ᵀ)是上三角矩阵。因此，(L₁-L₂)Lᵀ是下三角矩阵，L₂(L₁ᵀ-L₂ᵀ)是上三角矩阵。它们的和L只能是零矩阵，即L=0。所以L₁L₁ᵀ=L₂L₂ᵀ且L₁L₁ᵀ-L₂L₂ᵀ=0意味着L₁L₁ᵀ=L₂L₂ᵀ=A。现在证明唯一性。设L₁=[(l₁ⱼ)]，L₂=[(l₂ⱼ)]，且A=L₁L₁ᵀ=L₂L₂ᵀ。计算A的(i,j)元素(i>j)：aᵢⱼ=(L₁L₁ᵀ)ⱼᵢ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ᵢk=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ᵢk（因为i>j，k≥j时l₁ᵢk=0，k<j时l₁ⱼk=0）。aᵢⱼ=(L₂L₂ᵀ)ⱼᵢ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₂ⱼkl₂ᵢk。由于i>j，所以aᵢⱼ=0。对于i=j，aᵢⱼ=l₁ⱼ²>0。对于i<j，aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ᵢk=0。因此L₁是严格下三角矩阵。由于A正定，其Cholesky分解中的下三角矩阵L的严格下三角部分（即i<j时的lᵢⱼ）必须为零。现在证明lᵢⱼ的唯一性。由A=L₁L₁ᵀ，有aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ᵢk。对于i>j，aᵢⱼ=0。由于k≥j时l₁ᵢk=0，k<j时l₁ⱼk=0，唯一可能是所有满足k≥j且i>k的l₁ⱼk=0。即i>j时，l₁ⱼk=0对所有k≥j成立。对于i≥j，我们需要计算lᵢⱼ。i=j时，aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ⱼk=l₁ⱼ²。因为aᵢⱼ=l₁ⱼ²>0且l₁ⱼ>0，所以l₁ⱼ=√aᵢⱼ。由于aᵢⱼ是唯一确定的，l₁ⱼ也是唯一确定的。i>j时，aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ᵢk。这里k<j时l₁ⱼk=0。令j'=j-1。对于k=j'+1,...,j，有k≥j'且i>k。由前面的结论，l₁ⱼk=0。对于k=1,...,j'-1，l₁ⱼk可能非零。设l₁ⱼk=cₖ。则aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>ₖl₁ⱼkl₁ᵢk=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>ₖcₖl₁ᵢk。因为i>k，所以l₁ᵢk=0对所有k<j'=j-1成立。只有当k≥j时，l₁ᵢk可能非零。设k=j,...,j，令j'=j-1。对于k≥j，有k≥j'且i>k。由前面的结论，l₁ⱼk=0。因此，aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>ₖl₁ⱼkl₁ᵢk=0。由于i>j，aᵢⱼ=0。唯一可能是所有k≥j且i>k的l₁ⱼk=0。即i>j时，l₁ⱼk=0对所有k≥j成立。综上所述，对于i<j，lᵢⱼ=0。对于i=j，lᵢⱼ=√aᵢⱼ。对于i>j，lᵢⱼ=0。并且，由aᵢⱼ=Σ<0xE2><0x85><0xA0>k=1<0xE2><0x85><0x9C>l₁ⱼkl₁ᵢk=0，当i>j且aᵢⱼ=0时，必须l₁ⱼk=0对所有k≥j且i>k成立。这与i>j时l₁ⱼk=0的结论一致。因此，Cholesky分解中下三角矩阵L的所有元素lᵢⱼ都是唯一确定的，并且由aᵢⱼ和L的结构唯一确定。15.证明迭代法x(k+1)=Gx(k)+f收敛到Ax=b的解x*的充分条件是迭代矩阵G的谱半径ρ(G)<1。迭代法收敛的定义：若序列{x(k)}收敛于x*，则lim<0xE2>