2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 随机过程中的模型建立与分析

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——随机过程中的模型建立与分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设{X(t),t≥0}是一个随机过程，若对任意t1,t2∈T（状态空间），随机变量X(t1)和X(t2)的联合分布只依赖于t1-t2，则称{X(t),t≥0}为（）。A.马尔可夫过程B.平稳过程C.泊松过程D.独立增量过程2.一个离散时间马尔可夫链，其状态空间为{0,1,2}，转移概率矩阵为P=[[0.5,0.3,0.2],[0.4,0.4,0.2],[0.1,0.3,0.6]]，则从状态0出发，经过两步到达状态2的概率为（）。A.0.2B.0.25C.0.3D.0.353.设{X(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程，则E[X(10)|X(5)=n]=（）。A.nB.λ(10-5)C.λ(10)D.n+λ(10-5)4.若一个随机过程{X(t),t∈T}的均值函数E[X(t)]=t且自相关函数R_X(t1,t2)=|t1-t2|+1，则该过程（）。A.是宽平稳过程B.不是宽平稳过程C.是马尔可夫过程D.无法判断其类型5.设{X(t),t≥0}是一个平稳过程，其均值函数为μ_X(t)=0，自相关函数R_X(t1,t2)=e^{-|t1-t2|}，则t=1时刻的瞬时方差Var[X(1)]=（）。A.1B.eC.e^2D.1/e二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）6.一个马尔可夫链的状态空间为{1,2,3}，若P(X_0=1)=1/2,P(X_0=2)=1/4,P(X_0=3)=1/4，转移概率矩阵P的第一行为[0.3,0.4,0.3]，则P(X_1=2|X_0=1)=______。7.设{X(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程，则P(X(5)=2|X(2)=1)=______。8.若随机过程{X(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)}，其中A和B是相互独立且与t无关的随机变量，E[A]=E[B]=0,E[A^2]=E[B^2]=σ^2，则X(t)是平稳过程的充要条件是______。9.设{X(t),t≥0}是一个连续时间马尔可夫过程，状态空间为{1,2,3}，转移率矩阵Q=[[-λ_1,λ_1,0],[λ_2,-λ_2,λ_2],[0,λ_3,-λ_3]]，其中λ_1,λ_2,λ_3>0，则状态1和状态2是互通的______（填“是”或“否”）。10.设{X(t),t≥0}是一个平稳过程，其均值函数μ_X(t)=0，自相关函数R_X(t1,t2)=e^{-|t1-t2|}/2，则t=0.5时刻的方差Var[X(0.5)]=______。三、计算题（本大题共4小题，共55分。）11.（10分）设离散时间马尔可夫链的状态空间为{0,1,2}，转移概率矩阵为P=[[0.6,0.3,0.1],[0.2,0.5,0.3],[0.1,0.4,0.5]]。若初始状态分布为π_0=[1/3,1/3,1/3]，求π_3=[π_0(0),π_0(1),π_0(2)]P^3。12.（15分）设{X(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程。(1)证明：对0≤s<t，事件{X(t)-X(s)=1}与事件{X(s)=n}独立。(2)计算P(X(5)=3|X(2)=1)。13.（15分）设{X(t),t≥0}是一个平稳过程，其均值函数μ_X(t)=0，自相关函数R_X(t1,t2)=σ^2e^{-|t1-t2|}。(1)计算X(t)的均值和方差。(2)计算X(t)和X(t+1)的协方差Cov[X(t),X(t+1)]。(3)证明{X(t),t≥0}是宽平稳过程。14.（15分）考虑一个简单的排队模型，顾客到达过程视为参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}。当N(t)=n时，服务机构要么空闲，要么正在服务一个顾客（服务时间为指数分布，参数为μ）。假设t=0时系统空闲。(1)建立该系统在时刻t的状态（即系统中的顾客数）的随机过程模型。(2)分析该模型，说明其属于哪种随机过程（马尔可夫链或马尔可夫过程），并简述理由。若为马尔可夫链，写出其状态空间和一步转移概率（或转移率）。---四、证明题（本大题共2小题，共20分。）15.（10分）设{X(t),t≥0}是一个连续时间马尔可夫过程，状态空间为S={1,2,3}，转移率矩阵Q如第9题所示。证明状态2是常返状态。16.（10分）设{X(t),t≥0}是一个随机过程，若对任意t1,t2∈T且t1<t2，随机变量X(t2)与X(t1)-X(t0)（其中t0∈(t1,t2)）相互独立，则称{X(t),t≥0}具有独立增量特性。证明：若一个随机过程具有独立增量特性，并且其增量分布只依赖于时间间隔长度，则该过程是马尔可夫过程。试卷答案一、选择题1.B2.C3.B4.B5.A二、填空题6.0.47.3/108.A和B独立同分布9.是10.1/4三、计算题11.π_3=[7/27,10/27,10/27]解析思路：利用马尔可夫链的平稳分布性质，π=πP，或通过递推计算P^3，然后计算π_0P^3。12.(1)证明思路：利用泊松过程的独立增量性和同分布增量性。事件{X(t)-X(s)=1}对应于s到t间恰好发生一次事件，此事件的发生与s时刻的值n独立，因为增量分布只依赖时间长度。(2)P(X(5)=3|X(2)=1)=P(X(5)-X(2)=2)/P(X(2)=1)=(e^3*(e^-3-e^-2))/(e^2*(e^2-1))=3/e=3/10解析思路：利用泊松过程的独立增量性和条件概率。条件概率等于给定X(2)=1的情况下，X(5)-X(2)=3-1=2的概率。X(5)-X(2)仍服从参数为λ(5-2)=3的泊松分布。条件概率等于P(N(3)=2)/P(N(2)=1)。13.(1)μ_X=0,Var[X(t)]=σ^2e^0=σ^2解析思路：平稳过程均值恒为常数，直接读取。方差Var[X(t)]=E[X(t)^2]-(E[X(t)])^2=E[X(t)^2]=R_X(t,t)=σ^2e^0。(2)Cov[X(t),X(t+1)]=E[X(t)X(t+1)]-E[X(t)]E[X(t+1)]=E[X(t)X(t+1)]-0=R_X(t,t+1)=σ^2e^-(t+1-t)=σ^2e^-1解析思路：利用平稳过程自协方差函数的性质Cov[X(t),X(s)]=R_X(t,s)。对于R_X(t,t+1)=σ^2e^-(t-(t+1))=σ^2e^-1。(3)证明思路：验证平稳过程的两个定义条件。①均值函数为常数：μ_X(t)=0(常数)。②自相关函数R_X(t1,t2)只依赖于t1-t2：R_X(t1,t2)=σ^2e^|-t2+t1|=σ^2e^|t1-t2|。满足定义，故为宽平稳过程。14.(1)模型：X(t)=N(t)（其中t≥0）解析思路：系统状态即系统中顾客数。由于顾客到达（参数λ）和服务结束（参数μ）是独立发生的随机事件，时刻t系统中的顾客数等于自t=0以来到达的顾客总数。(2)该模型是齐次马尔可夫过程（或称马尔可夫过程）。理由：系统状态X(t)满足马尔可夫性质，即X(t)的未来演变只依赖于当前状态X(t)和未来时刻，与过去历史无关。状态空间为{0,1,2,...}（非负整数）。对于给定的n(X(t)=n)，下一个时刻状态X(t+1)取值为n+1（有顾客到达且服务未结束）或n-1（有顾客服务结束离开），或仍为n（到达和服务结束同时发生或均未发生）。这些概率只依赖于当前状态n，不依赖于t。若考虑有限容量C，则状态空间为{0,1,...,C}，仍为马尔可夫过程。一步转移概率（或转移率）：P(X(t+1)=n+1|X(t)=n)=λ/(λ+μ)（若系统容量无限或n<C）P(X(t+1)=n-1|X(t)=n)=μ/(λ+μ)（若系统容量无限或n>0）P(X(t+1)=n|X(t)=n)=1/(λ+μ)（若系统容量无限）对于连续时间马尔可夫过程，应给出转移率矩阵Q，其中q_(ij)=λ_ij*P(X(t+1)=j|X(t)=i)或q_(ij)=λ_ij*P(X(t+h)->j|X(t)=i)/h，当h->0时。这里λ_ij是状态i到j的瞬时转移率。对于X(t)=N(t)的简单排队模型，转移率（若考虑状态0）为q_0N(t)=λ,q_N(t)0=μ(若N(t)>0),q_N(t)N(t+1)=λ,q_N(t)N(t-1)=μ(若N(t)>0)。状态转移完全由到达率λ和服务率μ决定。四、证明题15.证明思路：利用常返性的定义。计算从状态2到达状态2的期望首次返回时间。设T_2为首次返回时间。考虑从状态2出发，下一步要么到状态1(概率0.2)，要么到状态3(概率0.1)，要么仍留状态2(概率0.5)。若到1或3，期望返回时间为各自期望首次到达时间之和。设E_1,E_2,E_3分别为从状态1,2,3到达状态2的期望首次返回时间。则E_2=1+0.5E_2+0.2E_1+0.1E_3。类似可建立E_1,E_3的方程。由于状态1和3必然互通（可通过状态2互通），E_1=E_3。解方程组得E_2<∞，故状态2常返。16.证明思路：利用马尔可夫性质的判定定理，即如果过程具有独立增量特性，并且增量分布只依赖于时间间隔长度，则过程是马尔可夫过程。证明过程如下：设Y(t)=X(t)-X(t_0)，其中t>t_0。由独立增量特性，Y(t)与Y(t-t_0)独立。又由增量分布只依赖时间长度，Y(t)与Y(t-t_0)具有相同的分布。考虑过程{Z(t)=X(t),t≥t_0}。对任意s,t(s<t<t_0)，需要证明P(Z(t)<=y|Z(s)=x,Z(u)<=vforallu∈(s,t))=P(Z(t)<=y|Z(s)=x)。利用给定的条件和独立增量性：P(Z(t)<=y|Z(s)=x,Z(u)<=vforallu∈(s,t))=P(Y(t-s)+X(s)<=y|Y(t-s)+X(s)=x,Y(u)<=vforallu∈(0,t-s))。由于Y(t-s)与Y(u)独立，且增量分布只依赖长度，这可化简为P(Y(t-s)+x<=y|Y(u)<=vforallu∈(0,t-s))。进一步，利用Y(t-s)与Y(u)的独立性，此概率等于P(Y(t-s)<=y-x|Y(u)<=vforallu∈(0,t-s))。当v足够大时，条件Y(u)<=v对所有u∈(0,t-s)几乎必然成立（