2025年大学《应用统计学》专业题库- 金融统计学中的随机过程分析

2025年大学《应用统计学》专业题库——金融统计学中的随机过程分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题2分，共10分）1.下列哪一个过程是一维齐次马尔可夫链？A.维纳过程B.泊松过程C.具有转移概率矩阵$P=\begin{pmatrix}0.8&0.2\\0.3&0.7\end{pmatrix}$的离散状态马尔可夫链D.几何布朗运动2.设$W_t$为标准布朗运动，下列哪个表达式描述了一个一维Ornstein-Uhlenbeck过程？A.$dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigmadW_t$B.$dX_t=\sigmadW_t$C.$dX_t=\mudt+\sigmadW_t$D.$dX_t=\thetadW_t$3.在金融领域，几何布朗运动通常用于描述什么？A.利率的随机波动B.股票价格的随机波动C.货币汇率的随机波动D.交易量的随机波动4.下列哪个选项不是随机过程数字特征的范畴？A.均值函数B.方差函数C.协方差函数D.转移概率矩阵5.设$X_t$是一个均值为0，方差为$\sigma^2t$的维纳过程，$Y_t=X_t-t$，则$Y_t$的均值函数和方差函数分别为？A.$\mathbb{E}[Y_t]=0,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2t$B.$\mathbb{E}[Y_t]=0,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2(t-1)$C.$\mathbb{E}[Y_t]=-t,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2t$D.$\mathbb{E}[Y_t]=-t,\mathrm{Var}(Y_t)=\sigma^2(t-1)$二、填空题（每题2分，共10分）1.一个随机过程，如果它的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关，则称其为______过程。2.设$W_t$为标准布朗运动，则$X_t=W_t+\mut$的均值函数为______，方差函数为______。3.Black-Scholes模型的标的资产价格$S_t$遵循的随机微分方程为______。4.泊松过程在时间区间$(0,t)$内发生的事件次数$N_t$的均值和方差分别为______。5.马尔可夫链的平稳分布$\pi=(\pi_1,\pi_2,\ldots)$满足方程______。三、计算题（每题5分，共10分）1.设$X_t$是一个参数为$\theta$的泊松过程，求$P(X_2=3|X_1=1)$。2.设$W_t$为标准布朗运动，定义随机过程$Y_t=W_t^2-t$，求$Y_t$的均值函数和方差函数。四、证明题（每题7.5分，共15分）1.证明一维齐次马尔可夫链的转移概率矩阵$P$满足矩阵范数不等式$||P||_\infty\leq1$。2.证明Ornstein-Uhlenbeck过程$dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigmadW_t$的解是平稳的。五、综合应用题（10分）假设某股票价格遵循几何布朗运动模型$dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t$，其中$\mu=0.1$，$\sigma=0.2$。投资者购买了一份欧式看涨期权，执行价格为$K=50$，到期时间为$T=1$年。请利用Black-Scholes模型计算该期权的价格。试卷答案一、选择题1.C2.A3.B4.D5.A二、填空题1.马尔可夫2.$\mut,\sigma^2t$3.$dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t$4.$\lambdat,\lambdat$5.$\piP=\pi$三、计算题1.解：泊松过程具有无记忆性，故$P(X_2=3|X_1=1)=P(X_1+X_2-X_1=3-1)=P(X_2-1=2)=P(X_2=2)$。由于$X_2$服从参数为$2\theta$的泊松分布，故$P(X_2=2)=\frac{(2\theta)^2e^{-2\theta}}{2!}=2\theta^2e^{-2\theta}$。2.解：$Y_t=W_t^2-t$。$\mathbb{E}[Y_t]=\mathbb{E}[W_t^2]-t=t-t=0$。$\mathrm{Var}(Y_t)=\mathbb{E}[(W_t^2-t)^2]=\mathbb{E}[W_t^4]-2t\mathbb{E}[W_t^2]+t^2=3t^2-2t^2+t^2=2t^2$。四、证明题1.证明：设$P=(p_{ij})$为转移概率矩阵，$||P||_\infty=\max_j\sum_i|p_{ij}|$。由于$p_{ij}\geq0$且$\sum_ip_{ij}=1$，故$\sum_ip_{ij}\leqn$，其中$n$为状态空间的大小。因此，$||P||_\infty\leq\sum_i1=n\leq1$（对于有限状态空间）。2.证明：首先求解$X_t$的解为$X_t=e^{-\thetat}X_0+\mu\int_0^te^{-\theta(t-s)}ds+\sigma\int_0^te^{-\theta(t-s)}dW_s$。计算$X_t$的均值和方差，发现均值为$\mu$，方差为$\frac{\sigma^2}{2\theta}(1-e^{-2\thetat})$，随着$t\to\infty$，方差趋于$\frac{\sigma^2}{2\theta}$，故$X_t$是平稳过程。五、综合应用题解：根据Black-Scholes模型，期权价格$C$为$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$，其中$d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$。代入参数$S_0=50$，$K=50$，$T=1$，$r=0$，$\sigma=0.2$，计算得$d_1=\frac{\ln(50/50)+(0+0.2^2/2)\times1}{0.2\sqrt{1}}=0.5$，$d_