2025年大学《统计学》专业题库- 统计学中的时间序列分析和生存分析

2025年大学《统计学》专业题库——统计学中的时间序列分析和生存分析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分。请将正确选项的字母填在括号内）1.若一个时间序列数据的均值和自协方差仅依赖于时间差（滞后），而不依赖于具体的时间点，则该序列被称为（）。A.平稳序列B.非平稳序列C.确定性序列D.随机序列2.在时间序列分析中，对于非平稳序列，通常需要进行差分处理以消除其非平稳性，差分的主要目的是（）。A.增强序列的自相关性B.使序列转换为平稳序列C.减少序列的方差D.消除序列中的季节性影响3.ARIMA(p,d,q)模型中，参数d代表的是（）。A.滞后阶数B.平稳性阶数C.预测期数D.季节性周期4.下列关于季节性ARIMA模型SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s的描述中，错误的是（）。A.它同时考虑了非季节性和季节性成分B.参数P,D,Q分别对应非季节性部分的AR阶数、差分阶数、MA阶数C.参数p,d,q分别对应季节性部分的AR阶数、差分阶数、MA阶数D.参数s代表季节性周期长度5.对于右删失的生存数据，意味着（）。A.研究对象的生存时间确切地等于观察期B.研究对象的生存时间在观察期结束时尚未发生C.研究对象的生存时间被人为地缩短了D.研究对象在观察期开始时尚未进入研究6.Kaplan-Meier生存估计方法属于（）。A.参数法B.半参数法C.非参数法D.半参数法或非参数法（取决于是否考虑参数）7.在Cox比例风险模型中，风险比（HazardRatio）反映了（）。A.随访时间长度对风险的影响B.不同组别或不同水平暴露因素下风险率的差异C.生存函数衰减的速度D.个体生存时间的分散程度8.检验Cox比例风险模型中比例风险假设的一种常用方法是（）。A.Log-rank检验B.Wilcoxon检验C.Score检验D.Kolmogorov-Smirnov检验9.若某生存回归模型中，某自变量的回归系数显著为正，则表明该变量（）。A.对生存时间有线性趋势影响B.增加该变量的取值会降低个体的风险C.增加该变量的取值会提高个体的风险D.对生存时间的影响不显著10.生存分析中，处理删失数据最常用的方法是（）。A.直接剔除删失数据B.使用参数模型进行拟合C.使用非参数或半参数方法（如Kaplan-Meier,Cox模型）D.将删失数据视为缺失值并使用插补方法二、填空题（每小题2分，共20分。请将答案填在横线上）1.时间序列的分解模型通常将序列分解为______、______和随机成分。2.ARIMA模型的自协方差函数满足______性。3.设一时间序列为AR(2)过程，其自回归系数满足方程ρ²-1.5ρ+0.5=0，则其特征根为______和______。4.生存分析中，衡量生存质量或事件发生可能性的指标是______。5.生存分析中，描述事件在给定生存时间已发生条件下，在未来单位时间内发生的瞬时风险的指标是______。6.在参数生存回归模型中，通常假设风险函数满足______条件。7.比较两组生存分布差异的秩和检验方法是______。8.对于一个服从Weibull分布的生存时间随机变量，其累积分布函数为F(t)=1-exp(-(t/γ)^(β))，其中γ是______，β是______。9.若一个时间序列经过d次差分后变得平稳，则称该序列是______阶差分平稳的。10.在Cox比例风险模型中，当调整其他变量后，某自变量的风险比等于2，意味着在其他条件相同的情况下，该变量每增加一个单位，个体未来的风险是原来的______倍。三、简答题（每小题5分，共20分）1.简述时间序列平稳性的判断依据及其重要性。2.简述ARIMA模型进行预测的基本步骤。3.简述生存分析中删失数据与完全数据的主要区别。4.简述Cox比例风险模型与Weibull回归模型的主要区别。四、计算题（每小题10分，共30分）1.已知一个AR(1)时间序列满足y_t=φy_(t-1)+ε_t，其中ε_t~WN(0,σ²)，且观测到数据点y_1=1,y_2=0.8,y_3=0.96。试估计模型参数φ（要求写出估计过程）。2.假设某项研究中，观察到3名患者的生存时间（单位：月）分别为：5,8+,12。其中“8+”表示患者存活时间超过8个月，但研究结束时仍未发生事件（即右删失）。试分别计算该3名患者的生存概率S(5)和S(8)。（提示：S(5)包含两个患者的信息，S(8)包含三个患者的信息）3.假设根据Cox比例风险模型拟合得到某疾病的回归系数β=0.5，风险比h=1.65。请解释该回归系数和风险比的含义。如果另一个自变量的回归系数为-0.3，其风险比为0.75，请比较这两个自变量对风险的影响。五、分析题（15分）假设某研究欲比较两种治疗方案（A组和B组）对某种疾病的生存效果。共纳入100名患者，其中A组50人，B组50人。随访结束时，A组有20人发生事件（死亡或病情恶化），30人右删失；B组有25人发生事件，25人右删失。请简述如何使用Kaplan-Meier方法比较两组生存分布的差异，并说明可能需要进行的假设检验。如果进一步通过Cox比例风险模型分析，发现治疗方案是影响生存的重要风险因素，请简述模型中如何处理A、B两组的效应，并解释如何解读模型结果中的风险比。试卷答案一、选择题1.A2.B3.B4.C5.B6.C7.C8.C9.C10.C二、填空题1.趋势成分，季节性成分2.递归3.1，0.54.生存概率5.风险函数6.比例风险7.Log-rank检验8.尺度参数，形状参数9.d10.2三、简答题1.解析思路：判断依据主要看均值、方差、自协方差函数是否随时间变化。平稳性是大多数时间序列模型（如ARIMA）应用的前提，因为模型参数的估计和预测的有效性依赖于序列的平稳性假设。2.解析思路：基本步骤包括：1）分析序列图判断平稳性；2）进行平稳性检验（如ADF检验）；3）若非平稳，进行差分处理直至平稳；4）识别自回归阶数p、差分阶数d、移动平均阶数q（可通过自相关图ACF和偏自相关图PACF或信息准则如AIC/BIC）；5）估计模型参数；6）进行模型诊断（检查残差是否白噪声）；7）利用模型进行预测。3.解析思路：主要区别在于信息完整性。完全数据记录了所有研究对象的生存时间，包括事件发生时间和失访时间。删失数据仅知道部分研究对象的事件发生时间或失访时间（如右删失），导致无法获得完整的生存信息，给统计推断带来挑战。4.解析思路：主要区别在于对风险函数形式的假设。Cox比例风险模型是半参数模型，它不假设风险函数的具体形式，只假设不同组别或暴露水平下的风险函数成比例。Weibull回归模型是参数模型，它假设风险函数具有特定的Weibull形式，需要估计形状参数和尺度参数。四、计算题1.解析思路：利用Yule-Walker方程求解AR(1)参数。根据y_t=φy_(t-1)+ε_t，ε_t~WN(0,σ²)，有y_(t-1)=φy_(t-2)+ε_(t-1)，代入原式得y_t=φ²y_(t-2)+φε_(t-1)+ε_t。两边取均值E(y_t)=0，得到0=φ²E(y_(t-2))。由于是强平稳序列，E(y_t)=E(y_(t-1))=E(y_(t-2))=μ，所以0=φ²μ。若假设均值μ=0（通常对于标准化的随机游走或中心化序列），则φ²=0，φ=0。这与观测数据矛盾，说明假设μ=0不成立。更准确的方法是使用观测数据直接估计φ。根据y_t=φy_(t-1)+ε_t，对观测数据进行回归：y_t~φy_(t-1)+ε_t。使用最小二乘法估计φ，或利用Yule-Walker方程组：R(1)=φR(0)，其中R(k)是自协方差函数。R(0)=Var(y_t)=σ²+φ²Var(y_(t-1))=σ²+φ²σ²=σ²(1+φ²)。R(1)=Cov(y_t,y_(t-1))=Cov(φy_(t-1)+ε_t,y_(t-1))=φVar(y_(t-1))=φσ²。代入Yule-Walker方程R(1)=φR(0)，得φσ²=φσ²(1+φ²)。若φ≠0，则1=1+φ²，φ²=0，φ=0。此解说明原假设μ=0导致矛盾，或模型设定有误。通常需要重新审视模型或数据。若考虑均值μ≠0，则需估计μ和φ。更标准的方法是使用极大似然估计。似然函数为L(φ,μ,σ²)=Π(φy_(t-1)+ε_t-μ)*exp(-ε_t²/2σ²)/(σ√(2π))。对数似然函数为lnL=Σ[ln(φy_(t-1)+ε_t-μ)-ε_t²/(2σ²)-ln(σ√(2π))]。直接求解较复杂。常用软件可直接计算。但若仅用给定数据点，可尝试简化。对于AR(1)，φ≈(y_t-y_(t-1))/Var(y_(t-1))。计算：Var(y_1)≈(1-1)²/2=0?不适用。尝试其他关系。考虑φ=Cov(y_t,y_(t-1))/Var(y_(t-1))。需要更多数据点或假设。更准确需软件计算。若题目意图是考察基本概念，φ=1可能是期望值（需μ=0）。但根据方程φ²=1.5φ-0.5，解为φ=1,φ=-0.5。若用数据点，φ=(0.8-1)/(1-1)和φ=(0.96-0.8)/(0.8-1)均无意义。需极大似然。此处给答案φ=1似乎基于方程解，但未说明过程或数据应用。（注：此题计算细节在仅给三个数据点时处理较困难，通常依赖软件或更大数据）2.解析思路：计算S(5)。需要找到在时间t=5时发生事件的患者。第一个患者y_1=5，在5个月时事件发生，其生存概率为1。第二个患者y_2=8+，在5个月时尚未发生事件，其生存概率仍为1。所以S(5)=1*(1/1)=1。计算S(8)。在时间t=8时发生事件的患者有第一个（y_1=5，事件发生在5个月，仍在观察中）和第二个（y_2=8+，事件发生在8个月，事件发生）。第三个患者y_3=12+，在8个月时尚未发生事件，其生存概率仍为1。S(8)=S(5)*(1-(1/2))=1*(1/2)=1/2。或者，S(8)=P(生存超过8个月)=P(生存超过5且生存超过8)=P(生存超过5)*P(生存超过8|生存超过5)=S(5)*(1-P(事件发生在5到8月之间)/P(生存超过5))。P(事件发生在5到8月之间)=1/2。P(生存超过5)=S(5)=1。所以S(8)=1*(1-1/2)=1/2。3.解析思路：回归系数β=0.5的含义：在其他自变量保持不变的情况下，该自变量的取值每增加一个单位，个体的风险（或对数风险）将增加0.5个单位。风险比h=1.65的含义：在控制其他自变量不变的情况下，该自变量的取值处于较高水平（相对于较低水平或参考水平）的个体，其风险是取值处于较低水平的个体的1.65倍。比较两个自变量：自变量1的风险比为1.65，自变量2的风险比为0.75。风险比大于1表示该变量增加会增加风险，风险比小于1表示该变量增加会降低风险。因此，自变量1对风险的影响更大（增加该变量会增加风险），而自变量2对风险有保护作用（增加该变量会降低风险）。可以通过比较风险比的绝对值大小来粗略判断影响的程度，1.65>0.75，说明自变量1的影响在绝对值上更大。五、分析题解析思路：1.Kaplan-Meier比较：首先，根据A、B两组患者的随访数据（发生事件时间和删失时间），分别计算两组的生存函数S(t)值。可以使用Kaplan-Meier产品的定义：S(t)=Π(1-d_i/n_i)，其中d_i是在时间点t发生事件的人数，n_i是在时间点t开始观察的人数（即前一时点存活且未被删失的人数）。绘制两组的生存曲线。观察曲线的形状和走势，看是否有一组曲线显著低于另一组。比较两组生存分布差异的假设检验通常使用Log-rank检验。该检验的原假设是两组的生存分布相同。检验统计量基于两组生存函数在所有事件发生时间点的差值的加权平方和，权重为该时间点发生的事件人数。若检验统计量显著，则拒绝原假设，认为两组生存分布存在显著差异。Score检验（或Wilcoxon检验）是另一种常用的非参数检验方法，它更侧重于早期事件的差异。2.Cox模型处理与解读：在Cox模型中，若要比较A、B两组的治疗方案的效应，通常将治疗方案作为分类自变量引入模型。例如，可以设置一个虚拟变量x，若患者属于A组则x=1，属于B组则x=0。模型形式为log(h(t))=β₀+β₁x+Σβ_kX_k，其中h(t)是风险