2025年大学《应用统计学》专业题库- 大气科学与统计学分析方法

2025年大学《应用统计学》专业题库——大气科学与统计学分析方法考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分。请将正确选项的字母填在括号内。）1.在大气科学研究中，欲比较两种不同类型天气系统（如冷锋与暖锋）过境后某气象要素（如气温）的均值差异，最适合使用的假设检验方法是？A.单样本t检验B.配对样本t检验C.双样本t检验（独立样本t检验）D.方差分析2.对于时间序列数据（如逐月平均气温），如果数据点之间存在显著的自相关性，那么在拟合回归模型时会倾向于导致：A.模型系数的估计偏大B.模型系数的估计偏小C.残差平方和（SSE）偏小D.残差平方和（SSE）偏大3.设大气污染物浓度数据服从正态分布，现希望了解某区域过去五年平均污染物浓度是否显著高于一个已知的基准值（μ₀），应采用何种统计推断方法？A.单样本区间估计B.单样本t检验C.方差分析D.相关系数检验4.在多元线性回归模型中，调整后的决定系数（R²_adjusted）相较于决定系数（R²）的主要作用是？A.总是使R²的值变小B.总是使R²的值变大C.用于衡量模型的拟合优度，且不受模型中自变量数量影响D.用于比较不同样本量下模型的解释能力5.为了评估某项气象干预措施（如人工降雨）的效果，研究人员收集了干预前后同一地点的降水数据。此时，最适合比较干预前后降水均值变化的方法是？A.双样本t检验（独立样本）B.单样本t检验C.配对样本t检验D.卡方检验6.在进行相关性分析时，如果两个大气变量（如风速和气压）的相关系数r接近-1，这表明：A.一个变量的增加必然导致另一个变量的减少B.两个变量之间存在强烈的线性关系，但可能存在其他类型的关系C.没有线性关系存在D.两个变量之间必然存在因果关系7.对于分类数据（如天气现象：晴、阴、雨）的频率分布进行描述，最适合使用的统计量是？A.均值和中位数B.标准差和方差C.众数D.相关系数8.在建立统计模型后，进行残差分析的主要目的是？A.检验模型参数的显著性B.评估模型对观测数据的拟合程度以及模型假设的满足情况C.选择最优的模型参数D.预测未来的数据点9.设想一项研究旨在探讨不同海拔高度（低、中、高）对某植物叶片含水量（单位：%）的影响，若要分析海拔高度是否对叶片含水量有显著影响，应采用什么统计方法？A.独立样本t检验B.配对样本t检验C.单因素方差分析（ANOVA）D.相关性分析10.已知某城市近50年的年降水量数据呈明显的下降趋势，若要拟合这一趋势并进行未来年份的预测，除了线性回归外，还可能考虑使用哪种统计模型？A.独立样本t检验B.配对样本t检验C.线性回归模型D.时间序列ARIMA模型二、计算题（共60分。请写出详细的计算步骤和公式。）11.（10分）研究人员测量了城市A和城市B在夏季（6-8月）的日平均气温（单位：℃），分别得到以下两组样本数据：城市A：30,32,31,33,30；城市B：28,29,27,30,31。假设两城市夏季日平均气温均服从正态分布且方差相等。试以α=0.05的显著性水平检验两城市夏季平均日气温是否存在显著差异。12.（10分）某气象站连续记录了30天的日最高气温（单位：℃），数据如下：[25,26,24,27,28,23,25,29,30,24,26,27,25,23,22,24,28,29,31,27,26,25,24,23,22,21,20,19,23,24]。试计算这30天日最高气温的样本均值、样本方差、样本标准差，并绘制一个简单的频率分布表（包括组距、频数、频率），描述其分布特征。13.（15分）为了研究不同类型土壤（A、B、C三种类型）对植物生长的影响，随机抽取了来自三种土壤类型的植物样本各5株，测得其株高（单位：cm）如下：土壤A：85,88,82,87,84土壤B：78,80,83,79,81土壤C：90,92,87,89,91假设植物株高服从正态分布，且三个总体的方差相等。请以α=0.05的显著性水平检验三种土壤类型对植物株高是否存在显著影响。14.（15分）某研究者收集了某地区10年的年平均气温（X，单位：℃）和年平均降水量（Y，单位：mm）数据，并计算出相关统计量如下：n=10,Σ(Xi)=70,Σ(Yi)=1000,Σ(Xi²)=540,Σ(Yi²)=105200,Σ(XiYi)=8200。试计算年平均气温与年平均降水量之间的Pearson相关系数，并解释其含义（说明正负、大小代表的含义）。15.（10分）某城市空气质量监测站记录了某周内每天的最大风速（m/s）和当天的PM2.5浓度（μg/m³），数据如下：风速：3,4,2,5,3,6,4；PM2.5：35,40,38,45,36,50,42。假设PM2.5浓度与风速之间存在线性关系。请建立PM2.5浓度对风速的简单线性回归方程，并解释回归系数的含义。三、应用分析题（共20分。请结合大气科学背景进行阐述和分析。）16.某研究团队收集了某地区过去20年的年太阳辐射总量（单位：MJ/m²）和年平均气温（单位：℃）数据，发现两者之间存在一定的相关性。研究者试图建立一个回归模型来解释年太阳辐射对年平均气温的影响。请简述在建立此回归模型的过程中，需要考虑哪些关键步骤？至少列举出三个步骤，并对每个步骤的目的进行简要说明。试卷答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.B9.C10.D二、计算题11.解：设城市A的样本均值为x̄₁，样本量为n₁；城市B的样本均值为x̄₂，样本量为n₂。x̄₁=(30+32+31+33+30)/5=31.0x̄₂=(28+29+27+30+31)/5=29.0n₁=5,n₂=5计算合并方差估计量S_p²：S_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)s₁²=[(30-31)²+(32-31)²+(31-31)²+(33-31)²+(30-31)²]/(5-1)=(1+1+0+4+1)/4=7/4s₂²=[(28-29)²+(29-29)²+(27-29)²+(30-29)²+(31-29)²]/(5-1)=(1+0+4+1+4)/4=10/4S_p²=[(5-1)*7/4+(5-1)*10/4]/(5+5-2)=[4*7/4+4*10/4]/8=(7+10)/8=17/8S_p=√(17/8)≈1.467计算t统计量：t=(x̄₁-x̄₂)/(S_p*√(1/n₁+1/n₂))t=(31.0-29.0)/(1.467*√(1/5+1/5))=2/(1.467*√(2/5))=2/(1.467*0.6325)≈2/0.929≈2.148自由度df=n₁+n₂-2=8查t分布表，α=0.05，双尾检验，df=8，临界值t_crit≈2.306因为|t|=2.148<2.306=t_crit，所以不能拒绝原假设H₀。结论：在α=0.05的显著性水平下，没有足够的证据表明城市A和城市B夏季平均日气温存在显著差异。12.解：样本数据：[25,26,24,27,28,23,25,29,30,24,26,27,25,23,22,24,28,29,31,27,26,25,24,23,22,21,20,19,23,24]。样本量n=30。样本均值x̄=Σx_i/n=745/30≈24.833样本方差s²=Σ(x_i-x̄)²/(n-1)Σ(x_i-x̄)²=(25-24.833)²+...+(24-24.833)²≈150.667s²=150.667/(30-1)≈150.667/29≈5.196样本标准差s=√s²≈√5.196≈2.282频率分布表（组距选择为3）：下限：19，上限：28，组中值：23.5频数：19-20,21-23,24-26,27-29,30-32频数f：2,6,10,8,4频率f/n：2/30,6/30,10/30,8/30,4/30分布特征：数据集中在24-26区间，呈近似对称分布，但略偏向右侧。13.解：设三种土壤类型的样本均值为x̄₁,x̄₂,x̄₃，样本量为n₁=n₂=n₃=5。x̄₁=85+88+82+87+84/5=426/5=85.2x̄₂=78+80+83+79+81/5=401/5=80.2x̄₃=90+92+87+89+91/5=449/5=89.8计算总体均值估计（GrandMean）：G=(Σx̄ᵢ*nᵢ)/(Σnᵢ)=(85.2*5+80.2*5+89.8*5)/(5+5+5)=(426+401+449)/15=1276/15≈85.067计算总离差平方和（SST）：SST=ΣΣ(x_ij-G)²SST=(85.2-85.067)²+(88-85.067)²+...+(91-85.067)²≈436.133计算组内离差平方和（SSE）：SSE=Σ(nᵢ-1)sᵢ²s₁²=[(85-85.2)²+(88-85.2)²+...+(84-85.2)²]/(5-1)≈17.2s₂²=[(78-80.2)²+(80-80.2)²+...+(81-80.2)²]/(5-1)≈10.2s₃²=[(90-89.8)²+(92-89.8)²+...+(91-89.8)²]/(5-1)≈7.2SSE=(4*17.2)+(4*10.2)+(4*7.2)=68.8+40.8+28.8=138.4计算组间离差平方和（SSA）：SSA=SST-SSE=436.133-138.4=297.733计算F统计量：F=SSA/(SSE/(k-1))=297.733/(138.4/(3-1))=297.733/(138.4/2)=297.733/69.2≈4.296自由度df₁=k-1=3-1=2自由度df₂=n-k=(5+5+5)-3=12查F分布表，α=0.05，df₁=2，df₂=12，临界值F_crit≈3.885因为F=4.296>3.885=F_crit，所以拒绝原假设H₀。结论：在α=0.05的显著性水平下，有足够的证据表明三种土壤类型对植物株高存在显著影响。14.解：设年平均气温为X，年平均降水量为Y。计算相关系数r：r=[nΣ(XiYi)-ΣXiΣYi]/√{[nΣ(Xi²)-(ΣXi)²][nΣ(Yi²)-(ΣYi)²]}r=[10*8200-70*1000]/√{[10*540-70²][10*105200-1000²]}r=[82000-70000]/√{[5400-4900][1052000-1000000]}r=12000/√{[500][52000]}r=12000/√26000000r=12000/5099.019≈2.357/5099.019≈0.462解释：计算得到的Pearson相关系数r≈0.462。该值接近0.5，为正相关。这表明在所研究的10年间，该地区的年平均气温与年平均降水量之间存在一定的正线性相关关系，即气温较高的年份通常也伴随着降水量较高的年份，反之亦然。但相关系数的绝对值小于0.7，表明这种线性关系的强度属于中等偏弱。15.解：设风速为X，PM2.5浓度为Y。样本量n=7。计算回归系数b₁和b₀：b₁=[nΣ(XiYi)-ΣXiΣYi]/[nΣ(Xi²)-(ΣXi)²]b₁=[7*8200-30*1000]/[7*3+4+2+5+3+6+4-30²]b₁=[57400-30000]/[84-900]=27400/(-816)≈-33.636b₀=Ȳ-b₁X̄X̄=3