2025年大学《统计学》专业题库- 多元回归分析在统计学中的应用

2025年大学《统计学》专业题库——多元回归分析在统计学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在括号内）1.在多元线性回归模型Y=β₀+β₁X₁+...+βₚXₚ+ε中，β₁的无偏估计量的经济含义是（）。A.当其他自变量不变时，X₁每增加一个单位，Y的方差增加β₁个单位。B.当其他自变量不变时，X₁每增加一个单位，Y的期望值增加β₁个单位。C.X₁对Y的边际效应，考虑了所有其他自变量的影响。D.X₁与Y之间的相关系数。2.在进行多元线性回归分析时，检验整个回归方程是否显著有效的统计量是（）。A.t统计量B.F统计量C.相关系数RD.R²3.多重共线性是指多元线性回归模型中（）。A.因变量与一个或多个自变量之间存在线性关系。B.两个或多个自变量之间存在较强的线性关系。C.模型中的随机误差项存在自相关。D.模型的样本量过小。4.如果多元线性回归模型的残差图显示出明显的曲线模式，这通常意味着（）。A.模型存在异方差性。B.模型存在多重共线性。C.模型遗漏了重要的自变量或函数形式的变量。D.模型存在完全的多重共线性。5.在应用多元回归模型进行预测时，一个常用的假设条件是（）。A.自变量之间存在严格的线性关系。B.残差项服从多元正态分布。C.残差项的方差随预测值的增大而增大。D.自变量之间存在完全的多重共线性。二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在横线上）6.多元线性回归模型中，总体回归系数βᵢ的估计量bᵢ是通过最小化______来获得的。7.当多元线性回归模型中存在完全多重共线性时，模型的普通最小二乘估计量______。8.多元线性回归模型的判定系数R²表示因变量的总变异中，可以被模型中______所解释的proportion。9.在进行t检验时，用于检验单个自变量系数βᵢ是否显著异于零的统计量是______。10.多元线性回归模型的一个基本假设是残差项εᵢ的期望值为______。三、判断题（每小题1分，共5分。请将“正确”或“错误”填在括号内）11.（）多元线性回归模型中，较高的R²值总是意味着模型拟合得更好。12.（）即使模型整体显著，每个自变量的系数也必须通过t检验才能认为其具有统计意义。13.（）异方差性会使得普通最小二乘估计量有偏但一致。14.（）多重共线性只影响系数估计的精度，不影响系数估计的无偏性。15.（）在多元回归分析中，增加自变量总会使得R²值增大或保持不变。四、简答题（每小题5分，共20分）16.简述多元线性回归模型的基本假设。17.解释多重共线性可能带来的问题，并简述常用的处理方法。18.在进行多元回归分析时，如何判断模型是否存在异方差性？19.简述在应用多元回归模型进行预测时应注意的关键问题。五、计算题（每小题10分，共30分）20.已知某研究收集了关于房屋价格（Y，单位：万元）、房屋面积（X₁，单位：平方米）和房屋房间数（X₂）的数据，通过最小二乘法估计得到以下回归方程：Ŷ=30+0.5X₁+2X₂。假设样本量为100，R²=0.75，F检验统计量为150，且已知X₁的样本均值为120，标准差为30；X₂的样本均值为5，标准差为1.5。请解释X₁系数0.5的含义。若房屋面积为150平方米，房间数为4，预测其价格，并解释预测结果的含义。21.在一项关于广告支出（X₁，单位：万元）和销售额（Y，单位：万元）的多元回归分析中，得到以下信息：b₀=50，b₁=10，b₂=5（X₂代表产品类别，0表示A类，1表示B类），sₑ=2，样本量n=30，R²=0.64。请计算X₁的系数的标准误差，并解释b₂的经济含义。假设在5%的显著性水平下，检验X₁的系数是否显著大于0。22.某研究者建立了如下回归模型：Ŷ=10+2X₁-3X₂+0.5X₁X₂，其中Y是产出，X₁和X₂是两种投入。解释交互项X₁X₂系数0.5的含义。如果X₁=4，X₂=2，计算Y的预测值。六、综合应用题（每小题15分，共30分）23.某公司希望了解其产品的销售量（Y，单位：件）受广告支出（X₁，单位：万元）和产品价格（X₂，单位：元/件）的影响。收集了20个地区的销售数据，建立了Y对X₁和X₂的回归模型。得到以下部分输出结果（部分省略）：*回归方程：Ŷ=a+b₁X₁+b₂X₂*t检验结果：t(b₁)=2.5,t(b₂)=-1.8,t(a)=1.2*F检验结果：F=32*R²=0.65*标准误差：sₑ=10*问题：a.判断模型的整体显著性，并说明理由。b.判断广告支出（X₁）对销售量（Y）是否有显著影响？请说明检验过程和结论。c.解释X₂系数b₂的含义，并判断产品价格（X₂）对销售量（Y）的影响是否显著？d.结合R²和sₑ，评价该模型的拟合优度和预测精度。24.一位研究者欲探究家庭收入（X₁，元）和家庭消费支出（Y，元）的关系，同时考虑了家庭规模（X₂，人）的影响。他收集了25个家庭的样本数据，建立了Y对X₁和X₂的回归模型。部分诊断结果如下：*残差分析图显示，残差与预测值大致呈水平线。*VIF（方差膨胀因子）检验结果显示：VIF(X₁)=4.5,VIF(X₂)=1.2。*问题：a.根据残差分析图，说明该模型在哪个基本假设上可能存在问题？b.根据VIF检验结果，判断模型是否存在严重的多重共线性？说明理由。c.如果存在多重共线性，简述其可能对模型产生什么影响，并提出至少一种可能的解决方法。d.如果不存在上述问题，但发现X₁的系数估计值b₁的标准误差较大，这可能暗示了什么问题？试卷答案一、选择题1.B2.B3.B4.C5.B解析思路：1.B：多元回归中β₁是在控制其他自变量不变的情况下，X₁每变动一个单位对Y期望值的影响。2.B：F检验用于判断整个回归模型的整体显著性，即所有自变量联合起来对因变量是否有显著的线性影响。3.B：多重共线性是指自变量之间存在高度线性相关关系。4.C：残差图呈现曲线模式通常意味着模型遗漏了非线性项或遗漏了重要的线性自变量。5.B：预测时通常假设残差项服从正态分布，这是许多预测性质推断的基础。二、填空题6.残差平方和（或RSS，或最小二乘和）7.无意义（或无法计算，或不存在）解析思路：6.最小二乘法通过最小化预测值与实际值之差的平方和来估计参数。7.完全多重共线性使得X矩阵的列向量线性相关，其行列式为零，导致无法求逆矩阵，因此OLS估计量无意义。三、判断题11.错误12.错误13.错误14.正确15.正确解析思路：11.错误：R²高仅表示模型解释的变异比例高，但不保证模型拟合好，需结合F检验、t检验、残差分析等综合判断。12.错误：模型整体显著不意味着每个变量都必须显著。某个不显著变量可能对模型解释力贡献不大。13.错误：异方差性影响估计量的有效性（无偏性变为有偏，方差不再最小），但不影响无偏性（只要模型设定正确，OLS估计量仍是无偏的）。14.正确：多重共线性主要影响系数估计的方差增大，导致统计推断不reliable，但不影响系数估计量本身的无偏性。15.正确：增加一个正相关自变量会使R²值增大或保持不变，因为该变量能解释更多Y的变异。四、简答题16.答：多元线性回归模型的基本假设包括：a.线性假设：Y与自变量X之间存在线性关系。b.误差项独立同分布假设：残差项εᵢ独立，且服从均值为0的正态分布，方差σ²相同。c.无完全多重共线性假设：自变量之间不存在完全的线性关系。d.（有时还包括）同方差性假设：残差与预测值之间不存在相关关系。17.答：多重共线性问题可能导致：a.系数估计值不稳定，对数据微小变动敏感。b.系数估计量方差增大，导致t检验失去效力，难以判断单个变量显著性。c.系数估计符号与经济理论预期相反。常用处理方法包括：增加样本量、剔除高度相关的自变量、使用岭回归或Lasso等收缩方法、增加新的观测数据、将共线性变量组合成一个新的变量。18.答：判断异方差性常用的方法包括：a.图形法：绘制残差与预测值（拟合值）的散点图。若图形呈明显的喇叭形（漏斗形），则可能存在异方差。b.检验法：使用Glejser检验、White检验等统计检验方法。这些检验通常将残差与一个或多个自变量及其平方项、交叉项进行回归，观察检验统计量是否显著。19.答：应用多元回归模型预测时应注意：a.模型有效性：确保模型整体显著，且通过各项诊断检验（线性、正态性、同方差性、无多重共线性）。b.预测范围：仅在自变量样本数据范围内进行外推预测通常更可靠。超出范围预测风险增大。c.变量稳定性：假设自变量的关系在未来保持稳定。d.解释谨慎：区分点预测和区间预测，理解预测结果的置信区间含义。五、计算题20.答：a.X₁系数0.5的含义是：在控制房屋房间数（X₂）不变的情况下，房屋面积（X₁）每增加1平方米，房屋的期望价格（Y）平均增加0.5万元。b.预测价格=30+0.5*150+2*4=30+75+8=113万元。预测结果的含义是：根据模型估计，面积为150平方米、房间数为4的房屋，其平均价格为113万元。21.答：a.X₁系数的标准误差计算：通常需要回归输出结果。若假设回归输出提供了b₁的标准误差se(b₁)，则se(b₁)即为所求。此处缺少该数据，无法计算具体数值，但方法是用se(b₁)。b.b₂的经济含义是：在控制广告支出（X₁）不变的情况下，产品从A类（X₂=0）变为B类（X₂=1）时，销售额（Y）的期望值平均增加5万元。c.检验X₁系数是否显著大于0：H₀:β₁≤0H₁:β₁>0检验统计量t=b₁/se(b₁)=10/se(b₁)在5%显著性水平下，查找自由度n-2=28的单尾t临界值t₀.05(28)。若t>t₀.05(28)，则拒绝H₀，认为X₁系数显著大于0。22.答：交互项X₁X₂系数0.5的含义是：当投入X₂固定时，投入X₁每增加一个单位，产出Y的期望增加值会随着X₂的水平而变化，具体来说，这种增加量的变化率是0.5*X₂。或者说，X₁对Y的影响不是恒定的，而是与X₂的水平正相关。Y的预测值=10+2*4-3*2+0.5*4*2=10+8-6+4=16。六、综合应用题23.答：a.模型整体显著性判断：F检验统计量F=32。查找自由度（模型自由度p=2，误差自由度n-p-1=20-2-1=17）的F分布临界值F₀.05(2,17)（或直接看p值是否小于0.05）。由于F=32远大于查表值（或p值远小于0.05），因此拒绝原假设H₀：所有βᵢ=0。模型整体显著。b.X₁显著性判断：t(b₁)=2.5。查找自由度n-2=17的t分布临界值t₀.025(17)（双尾检验，α/2=0.025）。若|t(b₁)|>t₀.025(17)，则拒绝H₀：β₁=0。由于|2.5|>t₀.025(17)（查表值约为2.110），因此拒绝H₀，认为广告支出对销售量有显著正向影响。c.X₂系数含义及显著性判断：X₂系数b₂=-1.8的含义是：在控制广告支出（X₁）不变的情况下，产品价格（X₂）每增加1元，销售量（Y）的期望值平均减少1.8件。t(b₂)=-1.8。查找自由度n-2=17的t分布临界值t₀.025(17)。若|t(b₂)|>t₀.025(17)，则拒绝H₀：β₂=0。由于|-1.8|≈1.8<t₀.025(17)（查表值约为2.110），因此不拒绝H₀，认为在统计上，产品价格对销售量的影响不显著（或证据不足以拒绝没有影响）。d.拟合优度和预测精度评价：R²=0.65。说明模型解释了因变量Y总变异的65%，模型具有一定的解释力。sₑ