2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在社交网络分析中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在社交网络分析中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述什么是社交网络？并举例说明如何使用图论方法对社交网络进行建模。二、在社交网络分析中，度中心性、介数中心性和紧密性中心性分别衡量个体的哪些方面？请简要说明每种中心性的一个潜在应用场景。三、给定一个社交网络，其邻接矩阵如下：```A=[[0,1,0,1,0],[1,0,1,1,0],[0,1,0,0,1],[1,1,0,0,1],[0,0,1,1,0]]```请计算与节点3（即第4行第4列）相连的节点集合，并指出节点3的度数。根据度数，简要分析该节点在网络中的潜在地位。四、解释什么是社群结构？在社交网络分析中，衡量社群结构好坏的常用指标是什么？该指标如何定义？五、简述随机游走模型在社交网络分析中的基本思想，并说明其可以用来近似计算哪些网络属性。六、为什么介数中心性高的节点有时被称为“桥梁”或“关键路径”？请结合图论概念解释其原因。七、比较分析SIR模型和随机游走模型在模拟社交网络中信息传播方面的主要异同点。八、在社交网络分析中，拉普拉斯矩阵（L）可以用来计算哪些网络中心性指标？请列举至少两种，并简述其计算方法与中心性指标之间的联系。九、假设你需要分析一个大型社交网络中信息传播的效率。你会考虑使用哪些图论算法？请简述其中一种算法的基本思想及其在该问题中的应用价值。十、讨论将数学模型应用于社交网络分析时可能遇到的主要挑战或局限性。试卷答案一、社交网络是由一组节点（代表社交实体，如人、组织）以及连接这些节点的边（代表实体间的某种关系，如互动、沟通）组成的集合。使用图论方法建模时，将社交实体表示为图的顶点，将实体间的关系表示为图的边。例如，在Facebook中，用户是顶点，关注关系是边，形成一个大型无向图；在学术合作网络中，研究者是顶点，共同发表论文是边，形成一个有向图或无向图。二、度中心性衡量个体连接的紧密程度，即与其他个体的直接联系数量（对于无向图）或出度/入度（对于有向图）。介数中心性衡量个体位于网络中其他节点对之间最短路径上的频率，即控制信息流动的能力。紧密性中心性衡量个体与其直接邻居之间的接近程度。应用场景：度中心性可用于识别社交圈中的人脉广度；介数中心性可用于识别意见领袖或信息关键传播者；紧密性中心性可用于评估个体融入其小团体或社群的程度。三、与节点3相连的节点集合为{1,4,5}。节点3的度数为3（其邻接矩阵第4行中1的个数）。根据度数，节点3连接了较多其他节点，位于网络的较中心位置，可能是一个活跃分子或信息的多渠道传播者。四、社群结构是指社交网络中节点倾向于聚集形成紧密子群（社群或社区）的现象。衡量社群结构好坏的常用指标是模块度（Modularity）。模块度Q定义为网络中实际社群结构与其随机生成结构之间差异的度量，计算公式为Q=Σ[(A_ij-P_ij)*δ(c_i,c_j)]/Σ(A_ij)，其中A_ij是邻接矩阵元素，P_ij是随机网络中节点i和j相连的概率，δ(c_i,c_j)是克罗内克δ函数，表示节点i和j是否属于同一社群。五、随机游走模型的基本思想是模拟一个随机游走者（或信息传播者）在网络中从一个节点跳到另一个相邻节点的过程。通过长时间或多次随机游走，可以近似计算网络中各个节点的可达性或重要性。该模型可以用来近似计算节点的介数中心性、紧密度中心性等网络属性，反映节点在网络中的连通性和影响力。六、介数中心性高的节点位于许多节点对之间的最短路径上，如同连接不同部分的桥梁。当信息或信号在网络中传播时，必须经过这些桥梁节点才能到达其他节点。因此，这些节点对于维持网络的连通性和控制信息流动至关重要，使其成为网络中的关键路径节点。七、相同点：两者都可用于模拟信息或行为在网络中的传播过程。不同点：SIR模型是一个基于差分方程的确定性模型，描述了易感者(S)、感染者(I)、移除者(R)三个状态之间的转换，常用于疾病传播模拟，关注群体状态变化；随机游走模型是一个基于图论的概率过程，模拟个体在节点间的随机移动，关注个体位置的分布和转移概率，不涉及状态转换。SIR模型更侧重宏观动态，随机游走更侧重个体行为的微观模拟。八、拉普拉斯矩阵可以用来计算度中心性（特别是紧密度中心性的平方根与拉普拉斯矩阵特征值的关联）和特征向量中心性（如PageRank算法的基础）。计算方法与中心性指标的联系：例如，PageRank算法通过求解拉普拉斯矩阵的归一化特征向量来得到节点的排序，反映了节点的重要性或影响力；某些紧密度中心性的计算涉及对拉普拉斯矩阵特征值的处理。九、可以考虑使用最短路径算法（如Dijkstra或Floyd-Warshall）来分析信息传播的效率。基本思想：最短路径算法旨在寻找网络中两节点之间经过边权重和最小的路径长度。在信息传播背景下，可以将边的权重设置为信息传播的成本、时间或阻力。通过计算所有节点对之间的最短路径长度，可以评估信息从源节点传播到网络中其他节点的平均速度或效率。应用价值：有助于识别网络中的信息传播捷径和瓶颈，优化信息传播策略。十、主要挑战或局限性包括：1)社交网络数据的动态性和复杂性，真实关系和互动变化迅速，难以用静态模型完全捕捉；2)模型简化与现实差距，