安徽省农兴中学2025-2026学年数学高二上期末联考试题含解析

安徽省农兴中学2025-2026学年数学高二上期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A. B.C. D.2．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③3．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.1444．若向量则（）A. B.3C. D.5．函数的导数为（）A.B.CD.6．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()A.0 B.1C.2 D.37．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A.153 B.190C.231 D.2768．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.810．参加抗疫的300名医务人员，编号为1，2，…，300.为了解这300名医务人员的年龄情况，现用系统抽样的方法从中抽取15名医务人员的年龄进行调查.若抽到的第一个编号为6，则抽到的第二个编号为（）A.21 B.26C.31 D.3611．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.12．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）A.60 B.120C.150 D.240二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.14．以点为圆心，为半径的圆的标准方程是_____________.15．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1=2，a2=3，则a2022的值为_________.16．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为（1）求和；（2）设，求数列的前项和18．（12分）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.（1）求圆M的方程；（2）若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.19．（12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.20．（12分）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.（1）证明：图2中，平面；（2）图2中，求二面角的正切值.21．（12分）如图①，等腰梯形中，，分别为的中点，，现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中：（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，分别为，的中点（1）证明：平面；（2）证明：平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.【详解】解：抛物线的准线为因为在抛物线的准线上故其焦点为故选：【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.2、B【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.【详解】，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.3、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.4、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D5、B【解析】由导数运算法则可求出.【详解】，.故选：B.6、A【解析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.详解】设过点的直线方程为或，①当斜率存在时有，得(*)当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：，即又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，，即，，使但使，因此当时，方程①无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在②当时，经过点的直线不满足条件.综上，符合条件的直线不存在故选：A7、B【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：B【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.8、D【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是故选：D9、B【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B10、B【解析】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，然后按系统抽样方法得解.【详解】将300个数编号：001，002，003，，3000，再平均分为15个小组，则第一编号为006，第二个编号为.故选：B.11、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.12、C【解析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.【详解】，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.14、【解析】直接根据已知写出圆的标准方程得解.【详解】解：由题得圆的标准方程为.故答案为：15、【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，所以故答案为：16、【解析】由题意知在上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于的不等式，进而可求其取值范围.【详解】解：由题意知，知在上恒成立，则只需，解得.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在上恒成立问题，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解；（2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解.【小问1详解】根据题意，易知；.【小问2详解】根据题意，易知，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数列，故18、（1）.（2）.【解析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.【小问1详解】解：设圆M的方程为，则圆心依题意得，解得.所以圆M的方程为.【小问2详解】解：设，，依题意得，得.点为圆M上的动点，得，化简得P的轨迹方程为.19、（1）证明见解析（2）存在，点E为线段中点【解析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：连接交于点，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故.【小问2详解】由(1).平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，且设，，得所以，设平面的一个法向量，由，得：，取,由(1)知平面，所以平面的一个法向量,所以，解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.【小问1详解】由已知得：,平面，又平面,在中，,由余弦定理得：，，即，平面.【小问2详解】由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则与，即与,..,观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.21、（1）证明见解析.（2）2【解析】（1）根据面面平行的判定定理结合已知条件即可证明；（2）将所求四棱锥的体积转化为求即可.【小问1详解】证明：因为，面，面，所以面，同理面，又因为面,所以面面.【小问2详解】解：因为在图①等腰梯形中，分别为的中点，所以，在图②多面体中，因为，面，，所以面.因为，面面，面，面面,