2025年山西省大同市铁路第一中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2025年山西省大同市铁路第一中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.2．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°3．数列，则是这个数列的第（）A.项 B.项C.项 D.项4．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.C. D.5．如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（）A. B.C. D.6．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）A. B.C. D.7．已知m，n表示两条不同直线，表示两个不同平面.设有两个命题：：若，则；：若，则.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.8．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．在等比数列中,，,则等于A. B.C. D.或10．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（）A. B.C. D.11．设为抛物线焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则（）A.3 B.4C.2 D.不能确定12．方程表示的曲线为（）A.抛物线与一条直线 B.上半抛物线（除去顶点）与一条直线C.抛物线与一条射线 D.上半抛物线（除去顶点）与一条射线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等轴（实轴长与虚轴长相等）双曲线的离心率_______14．某人有楼房一栋，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元.如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为___________元.15．已知，，，，使得成立，则实数a的取值范围是___________.16．如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点为线的中点（1）证明：；（2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长18．（12分）已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.19．（12分）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值（1）求a，b，c的值;（2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值20．（12分）如图，在直角梯形中，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．M为线段的中点，P为线段上的动点（1）求证：；（2）当点P满足时，求证：直线平面；（3）是否存在点P，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定P点的位置；若不存在，请说明理由21．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围22．（10分）如图甲，平面图形中，，沿将折起，使点到点的位置，如图乙，使.（1）求证：平面平面；（2）若点满足，求点到直线的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.2、B【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小【详解】如图，取AD中点为G，连接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故选：B3、A【解析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项【详解】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.故选：A.4、B【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【详解】设等差数列公差为，由得：；又，，.故选：B.5、D【解析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.【详解】.故选：D.6、A【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A7、B【解析】利用直线与平面，平面与平面的位置关系判断2个命题的真假，再利用复合命题的真值表判断选项的正误即可【详解】，表示两条不同直线，，表示两个不同平面：若，，则也可能，也可能与相交，所以是假命题，为真命题；：令直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则，则，所以是真命题，所以为假命题；所以为假命题，是真命题，为假命题，是真命题，所以为假命题故选：8、A【解析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.【详解】当，，则，当时，，.∴“，”是“”的充分不必要条件.故选：A9、D【解析】∵为等比数列，∴，又∴为的两个不等实根，∴∴或∴故选D10、A【解析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.【详解】设，正八面体的棱长为，根据正八面体的性质可知：，所以是外接球的球心，且半径，所以外接球的体积为.故选：A11、A【解析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得，由抛物线的定义可得，即可求解.【详解】由可得，准线为，设，由抛物线的定义可得，因为过点作于，可得，所以，故选：A.12、B【解析】化简得出或，由此可得出方程表示的曲线.【详解】由可得或，所以，方程表示的曲线为上半抛物线（除去顶点）与一条直线，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可知，，由，化简可求离心率.【详解】由题意可知，，两边同时平方，得，即，，所以离心率，故答案为：.14、3600【解析】先设分割大房间为间，小房间为间，收益为元，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的整数点时，从而得到值即可【详解】解：设装修大房间间，小房间间，收益为万元，则，目标函数，由，解得画出可行域，得到目标函数过点时，有最大值，故应隔出大房间3间和小房间8间，每天能获得最大的房租收益最大，且为3600元故答案为：360015、【解析】由题可得，求导可得的单调性，将的最小值代入，即得.【详解】∵，，使得成立，∴由，得，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴函数在区间上的最小值为又在上单调递增，∴函数在区间上的最小值为，∴，即实数的取值范围是故答案为：.16、.【解析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】取CD的中点O，以O为原点，以CD所在直线为x轴，以底面内过点O且与CD垂直的直线为y轴，以过点O且与底面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，，，，，，所以，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先证明，，利用判定定理证明平面，从而得到；（2）设，利用等体积法，由由，解出a.【详解】（1）证明：由题意可知平面，平面∴∵所对为半圆直径∴∴和是平面内两条相交直线∴平面平面∴（2）设，因为，且所以，设，在等腰直角三角形中，取BC的中点E,连结AE,则，取BC1的中点为P，连结DP，∵，∴，又为的中点，∴,∴，即的高为∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距离为1，而由，即解得：，即.【点睛】立体几何解答题(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积，常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.18、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可试题解析：设直线l的方程为y＝x＋b①圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②联立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有③因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0考点：存在性问题【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解19、（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解；（2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解.【详解】（1）由题意，，因为曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，所以，，又当时，y＝f(x)有极值，所以，所以；（2）由（1）得，，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；又，，，，所以在[－3,1]上的最大值为，最小值为.20、（1）见解析（2）见解析（3）存在点P，【解析】（1）建立空间坐标系求两直线的方向向量，根据数量积为0可证的结论；（2）求得直线的方向向量和面的法向量，证得两向量垂直即可；（3）求直线的方向向量和面的法向量的夹角即可.【小问1详解】由已知可得，，，两两垂直，以A为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，因为，所以，，，，，，，，，∴，，∴，，即，，∴平面又∵平面，∴【小问2详解】设点坐标为，则，∵，∴，，，解得：，，，即设平面的一个法向量，∵，，∴，即，令，则，，得又，∴∴直线平面【小问3详解】设，则,设的一个法向量为∵，，∴，解，令，则，，得设与平面所成角为，则．解得：或(舍).故存在点P，，即点P为距的第一个5等分点21、【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为22、（1）证明见解析（2）【解析】(1)利用给定条件可得平面，再证即可证得平面