2025年大学《数理基础科学》专业题库-组合数学在算法设计中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——组合数学在算法设计中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设\(S=\{1,2,\dots,n\}\)，\(A\)和\(B\)是\(S\)的两个子集，且\(A\capB=\emptyset\)。若\(|A|=k\)且\(|B|=m\)，其中\(k\)和\(m\)是已知常数，且\(k+m\leqn\)。请计算集合\(S\)中所有满足\(A\capB=\emptyset\)的有序对\((A,B)\)的总数。二、给定一个有\(n\)个顶点的无向完全图\(K_n\)。请计算从顶点\(v_1\)出发，经过恰好\(k\)条边到达其他\(n-1\)个顶点中的任意一个顶点的所有不同简单路径的总数。三、一个有\(n\)个房间和\(m\)条双向通道的宫殿，每个房间通过一条唯一的通道与其他某个房间相连（即宫殿构成一棵树）。一位游客从房间1出发，他希望访问所有房间恰好一次。请证明存在一条满足条件的访问路径，并计算所有满足条件的访问路径的总数。四、考虑一个\(n\timesn\)的棋盘，其中\(n\geq3\)是奇数。请证明在棋盘上无法放置\(n^2-1\)个国王（国际象棋棋子），使得棋盘上的每个方格恰好被一个国王“攻击”到（国王攻击同一行、同一列以及同一对角线的所有方格）。请给出证明。五、设计一个算法，用于在一个包含\(n\)个元素的数组\(A\)中查找所有元素值出现次数大于\(\frac{n}{3}\)的元素。请描述算法的主要步骤，并用组合数学思想分析该算法在最坏情况下的时间复杂度。六、在一个有\(n\)个顶点的无向图中，每条边的权重为1。请证明，图中任意一个连通分量的顶点数至少是该分量中所有边数加1。请将此结论与树的性质联系起来，并说明如何利用此结论和组合计数方法来计算一个图中所有连通分量的总数。七、假设我们要在一个\(n\timesn\)的棋盘上放置\(k\)个国王，使得没有任何两个国王互相攻击。请给出一个组合上的限制，说明对于给定的\(n\)和\(k\)，国王的这种放置方式（若存在）可能需要满足的条件。例如，当\(n=4\)且\(k=2\)时，讨论这种放置的可能性，并简要解释原因。八、给定\(n\)个不同的球和\(k\)个不同的盒子（\(k\leqn\)）。请计算所有可能的放球方式的总数，其中恰好有\(m\)个盒子是空的。请先给出一般情况的计算公式，然后考虑当\(m=1\)时的特殊情况，并解释该特殊情况下的结果与斯特林数（第二类）的关系。试卷答案一、解：首先选择\(A\)中的\(k\)个元素，方法数为\(\binom{n}{k}\)。然后从剩下的\(n-k\)个元素中选择\(B\)中的\(m\)个元素，方法数为\(\binom{n-k}{m}\)。由于\(A\)和\(B\)互斥，根据乘法原理，满足条件的有序对\((A,B)\)的总数为\(\binom{n}{k}\times\binom{n-k}{m}\)。二、解：从\(v_1\)出发经过\(k\)条边到达其他\(n-1\)个顶点中的一个，形成一个长度为\(k+1\)的简单路径。该路径包含\(v_1\)和目标顶点，以及\(k\)个中间顶点。首先选择\(k\)个中间顶点，方法数为\(\binom{n-1}{k}\)。然后对这\(k+1\)个顶点进行全排列，得到路径，方法数为\((k+1)!\)。但是，由于目标是到达\(n-1\)个顶点中的任意一个，因此需要乘以\(n-1\)。最后，还需要考虑方向，因为从\(v_1\)到其他点的路径与从其他点回到\(v_1\)的路径被视为不同。因此，总数为\(2\times(n-1)\times\binom{n-1}{k}\times(k+1)!\)。简化后得到总数为\((n-1)\times(n-2)\times\cdots\times(n-k)\timesk!\times2\)。三、解：首先证明存在性。由于宫殿构成一棵树，树有\(n\)个顶点，则恰好有\(n-1\)条边。从根节点（房间1）出发，可以找到一条遍历所有顶点的路径，即树的先根遍历序列。将此路径上的边按顺序删除，可以得到\(n-1\)条不相交的路径，每条路径连接两个房间。选择其中任意一条路径，将其中的一个端点作为新的起点或终点，连接到原路径的另一个端点，形成一个环。然后从该环上任意一点出发，沿着剩余的路径遍历所有房间，即可得到一条满足条件的访问路径。此路径访问所有房间恰好一次。然后计算总数。树的先根遍历序列有\(n!\)种排列方式。对于每种排列方式，可以选择其中任意一条边构成环，共有\(n-1\)条边可选。选择某条边构成环后，环上有两个端点，可以选择其中一个作为新起点或终点，有2种选择。环外的路径有\(n-2\)条，可以按任意顺序访问，有\((n-2)!\)种排列方式。因此，总路径数为\(n!\times(n-1)\times2\times(n-2)!=2n!\times(n-1)\)。四、解：用反证法。假设可以放置\(n^2-1\)个国王，使得每个方格恰好被一个国王攻击到。由于\(n\)是奇数，棋盘上黑方格和白方格的数量不等，分别为\(\frac{n^2+1}{2}\)和\(\frac{n^2-1}{2}\)。每个国王攻击其所在方格以及同一行、同一列和对角线上的方格。由于国王数量\(n^2-1\)比白方格数量\(\frac{n^2-1}{2}\)多，因此至少有一个白方格被两个或更多国王攻击。设\(w\)为被至少两个国王攻击的白方格。考虑国王\(K_1\)和\(K_2\)（攻击方格\(w\)的两个国王）。由于\(K_1\)和\(K_2\)不同，它们不在同一行也不在同一列。设\(K_1\)在\((i,j)\)，\(K_2\)在\((p,q)\)。由于\(K_1\)和\(K_2\)都攻击\(w\)，它们必然在对角线上，即\(|i-p|=|j-q|\)。考虑\(K_1\)和\(K_2\)的对角线。如果\(|i-p|=1\)，则\(|j-q|=1\)，即\(K_1\)和\(K_2\)相邻，这与它们不在同一列矛盾。如果\(|i-p|>1\)，则\(|j-q|>1\)，这意味着\(K_1\)和\(K_2\)之间存在其他方格\(w'\)（在它们连线上的黑方格），且\(w'\)同时被\(K_1\)和\(K_2\)攻击。这与每个方格恰好被一个国王攻击到矛盾。因此，假设不成立，无法放置\(n^2-1\)个国王满足条件。五、解：算法步骤：1.初始化一个空的哈希表（或字典）count，用于记录每个元素出现的次数。2.遍历数组\(A\)中的每个元素\(x\)。a.如果\(x\)已经在count中，则将其对应的计数加1。b.如果\(x\)不在count中，则将\(x\)添加到count，并将其对应的计数设为1。3.初始化一个空列表result，用于存储满足条件的元素。4.遍历哈希表count中的每个键值对\((x,c)\)。a.如果\(c>\frac{n}{3}\)，则将\(x\)添加到result中。5.返回result。时间复杂度分析：步骤1遍历数组\(A\)的时间复杂度为\(O(n)\)。步骤2中，哈希表插入和查询的平均时间复杂度为\(O(1)\)，因此遍历数组并更新哈希表的时间复杂度为\(O(n)\)。步骤3初始化列表的时间复杂度为\(O(1)\)。步骤4遍历哈希表的时间复杂度为\(O(n)\)（因为哈希表中最多有\(n\)个元素）。因此，整个算法的最坏情况时间复杂度为\(O(n)+O(n)+O(1)+O(n)=O(n)\)。六、解：设\(C\)是图\(G\)的一个连通分量，包含\(k\)个顶点和\(e\)条边。根据树的性质，任何一棵包含\(k\)个顶点的树都有\(k-1\)条边。因此，如果\(C\)是一棵树，则\(e=k-1\)。如果\(C\)不是一棵树，则它包含至少一个环。设\(r\)是环中的边数，则\(r\geq1\)。在\(C\)中删除环中的任意一条边，剩下的图仍然连通，且包含\(k\)个顶点和\(e-1\)条边。根据树的性质，这棵剩下的图是一棵树，因此\(e-1=k-1\)，即\(e=k\)。因此，无论\(C\)是否是树，都有\(e\geqk\)，即连通分量的顶点数至少是边数加1。利用此结论和组合计数方法计算连通分量总数：遍历图中的所有边，每次遇到一条新边，如果这条边连接了两个不同的连通分量，则将这两个连通分量合并为一个连通分量。每次合并操作，新连通分量的边数增加1，顶点数也增加1。因此，合并后的连通分量仍然满足顶点数至少是边数加1。假设图最终被划分为\(m\)个连通分量\(C_1,C_2,\dots,C_m\)，则对于每个\(i\in\{1,2,\dots,m\}\)，都有\(|C_i|\geq|C_i|-1+1\)。对所有\(i\)求和，得到\(\sum_{i=1}^m|C_i|\geq\sum_{i=1}^m(|C_i|-1)+m\)。即\(2E\geq2V-m\)，其中\(E\)是图的总边数，\(V\)是图的总顶点数。整理得\(m\leq2V-2E\)。因此，可以通过统计图中边的数量来间接限制连通分量的数量。七、解：组合上的限制：在一个\(n\timesn\)的棋盘上放置\(k\)个国王，使得没有任何两个国王互相攻击。等价于在\(n\timesn\)的棋盘上选择\(k\)个方格，使得这些方格在棋盘的同一行、同一列或同一对角线上没有重复。这是一个经典的组合设计问题，属于斯坦纳系统\(S(2,k,n)\)的特殊情况。斯坦纳系统\(S(2,k,n)\)是指从\(n\)个元素中选取\(k\)个元素的子集，使得任意两个选定的子集之间有且仅有一个公共元素。在本题中，每个国王占据一个方格，两个国王互相攻击当且仅当它们占据的方格在同一行、同一列或同一对角线上。因此，问题可以转化为：在\(n\)个元素（方格）中选取\(k\)个元素，使得任意两个选定的元素属于同一行、同一列或同一对角线的集合中恰好有一个元素。这等价于构造一个\(n\timesn\)的拉丁方，其中每个数字代表一个国王，数字的个数就是国王的个数\(k\)。当\(n=4\)且\(k=2\)时，考虑拉丁方的构造。由于国王不能在同一行或同一列，因此必须将两个国王放在不同的行和不同的列。同时，国王也不能在同一对角线上，因此必须将两个国王放在不同方向的斜线上。对于\(n=4\)的棋盘，有两条主对角线和两条副对角线。假设两个国王分别位于\((1,2)\)和\((2,1)\)。它们不在同一行也不在同一列，满足条件。但是，它们位于同一条主对角线上（从左上到右下的对角线），因此互相攻击。因此，不存在两个国王可以同时满足不在同一行、同一列和同一对角线上的条件。所以，当\(n=4\)且\(k=2\)时，不存在满足条件的国王放置方式。八、解：一般情况：首先选择\(m\)个非空的盒子，方法数为\(S(n,m)\)，其中\(S(n,m)\)是第二类斯特林数，表示将\(n\)个不同的元素划分为