2025年大学《统计学》专业题库- 空间自回归模型在统计学中的应用

2025年大学《统计学》专业题库——空间自回归模型在统计学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.空间自相关衡量的是（）。A.空间单元之间因变量数值的相似程度B.空间单元之间自变量数值的相似程度C.空间单元之间因变量和自变量数值的相关程度D.空间单元内部因变量数值的相似程度2.莫兰指数（Moran'sI）的取值范围是（）。A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-∞,+∞)3.空间自回归模型（SARModel）主要用于解释（）。A.空间单元内部的依赖关系B.空间单元之间的依赖关系C.时间序列的依赖关系D.空间单元与时间变量的交互关系4.SAR(1)模型中，系数ρ表示（）。A.空间自相关系数B.时间滞后项的系数C.空间滞后项的系数D.随机误差项的系数5.空间自回归模型参数ρ的显著性检验通常使用（）。A.t检验B.F检验C.卡方检验D.曼-惠特尼U检验6.如果SAR模型残差存在自相关，说明（）。A.模型拟合良好B.模型存在设定偏误C.模型参数估计不准确D.模型无法解释的空间效应7.空间自回归移动平均模型（SARMAModel）是SAR模型的扩展，它同时考虑了（）。A.空间自相关和时间自相关B.空间自相关和随机误差项C.时间自相关和随机误差项D.空间自相关和外部解释变量8.在空间数据分析中，地理加权回归（GWR）属于（）。A.空间自回归模型B.空间移动平均模型C.空间回归模型但非空间自回归模型D.时间序列模型二、填空题1.空间自相关是指空间数据中存在的，与空间位置相关的统计依赖关系。2.莫兰指数（Moran'sI）的公式为I=(n/W)*Σ(zi*zj)/σz²，其中n是空间单元个数，W是空间权重矩阵，zi和zj分别是第i和第j个空间单元的因变量值，σz²是因变量值的标准差。3.空间自回归模型（SARModel）的表达式为Yt=ρWyt-1+μ+εt，其中Yt是第t个空间单元的因变量值，Wy是空间权重矩阵，μ是常数项，εt是随机误差项。4.SAR模型参数ρ的估计方法通常采用最大似然估计法。5.空间自回归模型诊断检验主要包括残差分析、Ljung-Box检验等。6.SARMA模型的表达式为Yt=ρWyt-1+φΣYt-sWyt-s+μ+εt，其中φΣ是时间自相关系数矩阵。7.空间自回归模型在经济学、地理学、环境科学等领域有广泛的应用，例如城市增长分析、疾病传播建模、环境质量评估等。三、计算题1.假设有5个空间单元，其因变量值分别为2,4,6,8,10，空间权重矩阵W为：```W=|01010||10101||01010||10101||01010|```计算该空间数据集的莫兰指数（Moran'sI）。2.根据以下数据，估计SAR(1)模型参数ρ，并进行显著性检验（假设已通过软件计算得到ρ的估计值为0.6，标准误为0.2）。|空间单元|Yt|Wyt-1||---|---|---||1|3|2||2|5|4||3|7|6||4|9|8||5|11|10|3.假设已得到一个SARMA(1,1)模型的估计结果如下：Yt=1.2Yt-1+0.5Yt-2+0.8Wyt-1+0.3Wyt-2+5+εt。请解释模型中各项系数的含义，并说明该模型是否考虑了时间自相关和空间自相关。四、论述题1.比较空间自回归模型（SARModel）和空间误差模型（SEMModel）的异同，并说明在实际应用中选择哪种模型更合适。2.结合一个具体的应用领域（例如城市增长、疾病传播、环境质量等），论述空间自回归模型在该领域中的应用价值和发展前景。3.讨论空间自回归模型在应用中可能遇到的问题和挑战，并提出相应的解决方法。试卷答案一、选择题1.A2.C3.B4.C5.A6.B7.A8.C二、填空题1.相关2.n/W*Σ(zi*zj)/σz²3.Yt=ρWyt-1+μ+εt4.最大似然估计法5.残差分析、Ljung-Box检验6.Yt=ρWyt-1+φΣYt-sWyt-s+μ+εt7.经济学、地理学、环境科学三、计算题1.解析思路：根据莫兰指数公式计算。首先计算因变量的平均值(Σyi/n=(2+4+6+8+10)/5=6)，然后计算每个空间单元与其邻居的加权离差之和(Σ(zi-z̄)Wyizi)。将计算结果代入公式I=(n/W)*Σ(zi*zj)/σz²，其中W是空间权重矩阵，σz²是因变量值的标准差(σz=sqrt(Σ(yi-6)²/5)=2.828)。最终计算得到Moran'sI值。计算过程：平均值μ=6，标准差σ=2.828。Σ(zi-z̄)Wyizi=(2-6)*1*(4)+(4-6)*1*(2)+(6-6)*1*(8)+(8-6)*1*(2)+(10-6)*1*(4)=-8+-4+0+4+16=8。I=(5/(1+1+1+1+1))*8/(2.828*2.828)=1*8/8=1。答案：Moran'sI=1。2.解析思路：根据t检验公式计算。H0：ρ=0（不存在空间自相关），H1：ρ≠0（存在空间自相关）。计算t统计量t=ρ估计值/标准误=0.6/0.2=3。查找自由度为n-1=4的t分布表，得到临界值（通常α=0.05时，双侧检验临界值为2.776）。因为计算得到的t值（3）大于临界值（2.776），所以拒绝原假设，认为ρ显著不为0，即空间自相关存在。答案：ρ的估计值0.6在0.05的显著性水平下显著。3.解析思路：解释模型中各项系数的含义。1.2是Yt对自身滞后一期的弹性，即空间单元i在t期的发展水平对其在t-1期发展水平的响应程度。0.5是Yt对自身滞后两期的弹性，表示时间滞后两期的影响。0.8是Yt对空间滞后一期Yt-1在i的邻居t-1期的弹性，即空间单元i在t期的发展水平对其邻居在t-1期发展水平的响应程度。0.3是Yt对空间滞后两期Yt-2在i的邻居t-2期的弹性，表示空间滞后两期的影响。5是常数项。该模型同时包含了时间自相关（0.5和0.3）和空间自相关（0.8），因为它包含了Yt-1、Yt-2和WYt-1、WYt-2项。四、论述题1.解析思路：比较SAR和SEM模型的核心区别在于空间效应的引入方式。SAR模型假设一个区域的结果受到其邻近区域结果的影响（空间滞后项WyYt-1），认为空间依赖性是驱动因变量变化的原因之一。SEM模型假设一个区域的结果受到其邻近区域误差项的影响（空间误差项Wyεt），认为空间依赖性是误差项的来源，即一个区域的误差与邻近区域的误差相关。选择哪种模型取决于对空间依赖性的理论认识。如果认为邻近地区的因变量直接影响当前地区，选择SAR；如果认为邻近地区的随机扰动会影响当前地区，选择SEM。实践中可通过检验残差来辅助判断。2.解析思路：选择具体领域，如城市增长。论述SAR模型如何应用于该领域。例如，SAR模型可以用来分析城市人口增长、工业发展或住房价格的空间模式。模型中的ρ系数可以量化城市增长的空间依赖性，即一个城市的发展是否受到其邻近城市发展的正向或负向影响。通过引入其他解释变量（如距离中心、基础设施水平等），可以更全面地理解城市增长的影响因素。论述其应用价值在于揭示空间集聚现象，为城市规划和政策制定提供依据。前景在于结合大数据、地理信息系统等技术，发展更复杂的空间模型，提高预测精度和决策支持能力。3.解析思路：讨论SAR模型应用中的问题与挑战