2025年大学《统计学》专业题库- 概率统计与决策分析研究

2025年大学《统计学》专业题库——概率统计与决策分析研究考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设事件A和B互斥，P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）。A.P(A|B)=P(B|A)B.P(A|B)=0C.P(A∪B)=P(A)+P(B)D.P(A∩B)=P(A)P(B)2.设随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=4，则随机变量Y=3X-5的期望E(Y)和方差Var(Y)分别为（）。A.1,12B.1,36C.6,12D.6,363.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xn是来自总体X的样本，则样本均值X̄=(1/n)Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ的期望和方差分别为（）。A.μ,σ²/nB.μ,σ²C.μ/n,σ²/nD.μ,σ4.在假设检验中，发生第二类错误是指（）。A.H₀为真，接受H₀B.H₀为真，拒绝H₀C.H₀为假，接受H₀D.H₀为假，拒绝H₀5.设X₁,X₂,...,Xn是来自总体N(μ,σ²)的样本，当σ²已知时，检验H₀:μ=μ₀vsH₁:μ≠μ₀，应使用的检验统计量是（）。A.t=(X̄-μ₀)/(S/√n)B.z=(X̄-μ₀)/(σ/√n)C.z=(X̄-μ₀)/(S/√n)D.χ²=(n-1)S²/σ²二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在题后的横线上）6.若事件A,B,C相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7，则P(A∪B∪C)=______。7.设随机变量X的密度函数为f(x)={c(x+1),0≤x≤2;0,其他}，则常数c=______。8.设总体X的均值E(X)=3，方差Var(X)=1，X₁,X₂,...,Xn是来自总体X的样本，则根据中心极限定理，当n足够大时，样本均值X̄近似服从的分布是______。9.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,...,Xn是来自总体X的样本，则θ=(1/n)Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ是参数λ的______估计量。10.在决策分析中，若决策者对各种自然状态发生的可能性有主观估计，则这种决策属于______型决策。三、计算题（每小题8分，共32分）11.甲乙两人投篮，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.6。两人各投篮一次，求：(1)两人都投中的概率；(2)至少有一人投中的概率；(3)若已知甲投中了，求乙也投中的条件概率。（假设甲乙投篮结果相互独立）12.设随机变量X的密度函数为f(x)={1/2,-1≤x≤1;0,其他}。(1)求随机变量X的分布函数F(x)；(2)求P(X²>1/4)。13.设总体X服从正态分布N(μ,4)，从中抽取容量为9的样本，样本均值为X̄=2.5。(1)求参数μ的95%置信区间（已知σ=2）；(2)若σ未知，求参数μ的95%置信区间（查表得t₀.025(8)=2.306）。14.某工厂生产的产品分为一等品、二等品和废品，其概率分别为0.6、0.3、0.1。现从中随机抽取3件产品，求：(1)恰好有2件一等品的概率；(2)至少有1件废品的概率。四、证明题（每小题10分，共20分）15.设X₁,X₂,...,Xn是来自总体N(μ,σ²)的样本，证明样本方差S²=[(Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>(Xᵢ-X̄)²)/(n-1)]是总体方差σ²的无偏估计量。16.设离散随机变量X的所有可能取值为x₁,x₂,x₃，其概率分布为P(X=xᵢ)=pᵢ,i=1,2,3，且p₁=0.2,p₂=0.5。若E(X)=2.5,Var(X)=0.9，求p₃及X取各个值的概率。五、综合应用题（每小题14分，共28分）17.某公司考虑是否投产一种新产品。市场状况有“好”、“中”、“差”三种，其发生的概率分别为0.2、0.5、0.3。公司若投产，在不同市场状况下的收益（单位：万元）如下表所示（表中“-10”表示亏损10万元）：|市场状况|投产收益||:-------|:-------||好|30||中|10||差|-10|公司决策者认为“好”和“中”市场状况的发生与其个人努力有关，因此决定付出努力。若付出努力，市场状况为“好”的概率提高到0.4，为“中”的概率不变，为“差”的概率降至0.2。若不付出努力，则市场状况发生的概率不变。(1)公司不付出努力时，投产的期望收益是多少？(2)公司付出努力时，投产的期望收益是多少？(3)根据期望收益决策，公司是否应该付出努力？（提示：比较期望收益）18.某实验室需要购买一台设备A或设备B。两台设备的使用寿命（单位：年）均服从指数分布。设备A的平均寿命为5年，设备B的平均寿命为7年。若购买设备A，维修费用每年为200元；若购买设备B，维修费用每年为300元。试从期望总费用角度分析，应购买哪台设备？（提示：考虑设备寿命期望和年维修费用，计算使用周期内的平均年费用进行比较）---试卷答案一、选择题1.C2.D3.A4.C5.B二、填空题6.0.9527.1/38.N(3,1/n)9.无偏10.风险三、计算题11.(1)0.42(2)0.92(3)7/912.(1)F(x)={0,x<−1;(x+1)/2,−1≤x≤1;1,x>1}(2)1/213.(1)(2.045,2.955)(2)(2.212,2.788)14.(1)0.216(2)0.351四、证明题15.证明：E(S²)=E([(Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>(Xᵢ-X̄)²)/(n-1)])=E(σ²)=σ²。故S²是σ²的无偏估计量。16.p₃=0.3P(X=x₁)=0.2,P(X=x₂)=0.5,P(X=x₃)=0.3五、综合应用题17.(1)期望收益=0.2*30+0.5*10+0.3*(-10)=8万元(2)期望收益=0.4*30+0.5*10+0.2*(-10)=14万元(3)因为付出努力的期望收益(14万元)大于不付出努力的期望收益(8万元)，所以应该付出努力。18.设备A：平均寿命E(A)=5年，年维修费用200元，平均年费用=(2