2025年大学《应用统计学》专业题库- 时间序列分析在趋势预测中的应用

2025年大学《应用统计学》专业题库——时间序列分析在趋势预测中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在括号内）1.若一个时间序列数据的逐期增长量大致相等，则其趋势近似于（）。A.指数曲线B.对数曲线C.幂曲线D.线性趋势2.在简单指数平滑法中，平滑系数α的取值范围为（）。A.0≤α≤1B.-1≤α≤1C.0<α<1D.α>13.对于具有明显趋势和季节性成分的时间序列数据，通常不宜直接使用（）进行预测。A.简单移动平均法B.指数平滑法（霍尔特模型）C.指数平滑法（霍尔特-温特斯模型）D.朴素预测法4.在时间序列分析中，对非平稳序列数据进行差分处理的主要目的是（）。A.增强数据的季节性B.使数据转换为平稳序列，以便应用某些模型C.减少数据的随机波动D.将趋势转换为季节性5.下列哪个指标更适用于衡量预测值与实际值绝对偏差的大小？（）A.决定系数(R²)B.平均绝对误差(MAE)C.均方根误差(RMSE)D.平均绝对百分比误差(MAPE)二、填空题（每小题2分，共10分。请将答案填在横线上）6.时间序列的四个基本构成要素通常记为T,S,C,I，其中I代表__________。7.指数平滑法中，平滑值的计算公式Sₜ₊₁=αYₜ+(1-α)Sₜ体现了__________原则。8.霍尔特（Holt）模型适用于对具有__________和趋势成分的时间序列数据进行预测。9.判断时间序列数据是否平稳，常用的统计检验方法有单位根检验（如ADF检验），其基本思想是检验时间序列的单位根是否存在，单位根的存在意味着序列__________。10.模型选择时，常用的信息准则有AIC和BIC，其中BIC相对于AIC在惩罚__________方面更为严格。三、简答题（每小题5分，共15分）11.简述简单移动平均法与指数平滑法的主要区别。12.解释什么是时间序列的平稳性？为什么大多数时间序列模型（如ARIMA）都要求或倾向于使用平稳时间序列？13.在应用指数平滑法进行预测时，如何选择合适的平滑系数α？（至少提两种方法或考虑因素）四、计算题（每小题8分，共24分）14.某商店monthly销售量数据如下：50,55,58,60,62,65,68,70。试用三点移动平均法（采用中心化三项移动平均）计算3期移动平均数，并绘制移动平均数随时间变化的图形（仅描述图形形态即可，无需具体坐标）。15.假设某指标时间序列数据的一阶差分后呈现稳定白噪声，原始序列的第一个观测值为100。请分别用简单指数平滑法（α=0.3）和霍尔特线性趋势模型（初始值α̂₀=100,α̂₁=1）计算第4期的预测值Y₄̂。16.某时间序列数据拟合线性趋势方程后，得到的方程为Ŷₜ=120+5t（其中t为时间序号，从1开始）。请计算该序列的环比发展速度（即t期与(t-1)期预测值的比值）的一般表达式。五、综合应用题（共16分）17.某地区历年GDP数据（单位：亿元）如下：100,105,112,121,133,147,163,182,202,223。要求：a.绘制时间序列图，简要描述其趋势特征。b.假设数据呈现线性趋势，试用最小二乘法拟合线性趋势方程。c.计算该方程的估计标准误差（即预测误差的标准差，可用Sₑ表示）。d.若该地区2024年的GDP预测值为250亿元，请计算其与（b）中拟合趋势方程预测值的相对误差（绝对值）。---试卷答案一、选择题1.D2.C3.A4.B5.B二、填空题6.随机性（或随机波动）7.指数衰减（或加权移动）8.季节性9.非平稳（或不收敛）10.参数个数三、简答题11.简单移动平均法赋予近期和远期观测值相同的权重，而指数平滑法赋予近期观测值更高的权重（指数权重），权重呈指数衰减。移动平均法计算简单，但对近期变化反应较慢。12.平稳性意味着时间序列的统计特性（如均值、方差）不随时间变化。许多时间序列模型（特别是基于自回归ARIMA模型）的假设前提是序列是平稳的或经过差分后变为平稳的。这是因为平稳性使得模型参数（如自回归系数）具有时间不变性，从而能够稳定地估计和预测。13.可通过试错法，比较不同α下模型的预测误差（如MAE、MSE），选择误差最小的α。也可考虑平滑系数之和（简单平滑）或初始状态约束（霍尔特、霍尔特-温特斯）来确定α。四、计算题14.计算过程：n=8,k=3(中心化)移动平均期数N=2k-1=5需要计算从t=3到t=6的移动平均：MA₃=(Y₁+Y₂+Y₃)/3=(50+55+58)/3=53.33MA₄=(Y₂+Y₃+Y₄)/3=(55+58+60)/3=57.33MA₅=(Y₃+Y₄+Y₅)/3=(58+60+62)/3=60.67MA₆=(Y₄+Y₅+Y₆)/3=(60+62+65)/3=63.67MA₇=(Y₅+Y₆+Y₇)/3=(62+65+68)/3=66.00MA₈=(Y₆+Y₇+Y₈)/3=(65+68+70)/3=68.33移动平均数随时间变化的图形形态：呈现上升趋势，且上升趋势比原始数据更平滑，滞后于原始数据。15.简单指数平滑：Y₄̂=αY₃+(1-α)Y₃̂=0.3*65+(1-0.3)*100=19.5+70=89.5霍尔特线性趋势模型：âₜ=αYₜ+(1-α)(âₜ₋₁+b̂ₜ₋₁)b̂ₜ=β(âₜ-âₜ₋₁)+(1-β)b̂ₜ₋₁初始值：α̂₀=100,b̂₀=1(假设初始趋势为1)Y₄̂=α̂₃+b̂₃需要计算α̂₃和b̂₃：â₁=αY₁+(1-α)(α̂₀+b̂₀)=0.3*100+0.7*(100+1)=30+70.7=100.7b̂₁=β(â₁-α̂₀)+(1-β)b̂₀=1*(100.7-100)+0*1=0.7â₂=αY₂+(1-α)(â₁+b̂₁)=0.3*105+0.7*(100.7+0.7)=31.5+71.09=102.59b̂₂=β(â₂-â₁)+(1-β)b̂₁=1*(102.59-100.7)+0*0.7=1.89â₃=αY₃+(1-α)(â₂+b̂₂)=0.3*112+0.7*(102.59+1.89)=33.6+73.71=107.31b̂₃=β(â₃-â₂)+(1-β)b̂₂=1*(107.31-102.59)+0*1.89=4.72Y₄̂=α̂₃+b̂₃=107.31+4.72=112.0316.环比发展速度=本期预测值/上期预测值Ŷₜ=120+5tŶ(t-1)=120+5(t-1)=120+5t-5=115+5t环比发展速度=Ŷₜ/Ŷ(t-1)=(120+5t)/(115+5t)一般表达式为：(120+5t)/(115+5t)五、综合应用题17.a.时间序列图绘制描述：图形呈现明显的上升趋势，且增长速度逐渐加快（曲线越来越陡峭）。b.最小二乘法拟合线性趋势方程：令Y=GDP,t=时间序号(1,2,...,10)Ȳ=(100+105+...+223)/10=1328/10=132.8t̄=(1+2+...+10)/10=55/10=5.5n=10∑tY=1*100+2*105+...+10*223=8376∑t²=1²+2²+...+10²=385b̂=[n∑tY-(∑t)(∑Y)]/[n∑t²-(∑t)²]=[10*8376-55*1328]/[10*385-55²]=[83760-72560]/[3850-3025]=11200/825≈13.60â=Ȳ-b̂t̄=132.8-13.60*5.5=132.8-74.80=58.00拟合方程为：Ŷₜ=58.00+13.60tc.估计标准误差计算：首先计算各期预测值Ŷₜ和实际值Yₜ的残差eₜ=Yₜ-Ŷₜ：|t|Yₜ|Ŷₜ=58+13.6t|eₜ=Yₜ-Ŷₜ|eₜ²|1100|71.60|28.40|800.96|2105|85.20|19.80|392.04|3112|98.80|13.20|174.24|4121|112.40|8.60|73.96|5133|126.00|7.00|49.00|6147|139.60|7.40|54.76|7163|153.20|9.80|96.04|8182|166.80|15.20|231.04|9202|180.40|21.60|466.56|10223|194.00|29.00|841.00|∑eₜ²=3200