2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在智能社区建设中的作用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在智能社区建设中的作用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题2分，共20分）1.在一个智能社区中，某个公共设施的使用情况服从泊松分布，平均每天使用次数为3次。现随机观察一天，该设施至少被使用1次的概率约为多少？2.某智能社区通过传感器收集居民能耗数据，发现能耗数据近似服从正态分布。为了评估节能措施的效果，需要计算能耗数据的置信区间。如果样本容量为100，样本均值为200kWh，样本标准差为30kWh，那么95%置信区间大约是多少？3.在智能社区的交通管理中，需要设计一个排队模型来优化路口信号灯配时。假设某路口车辆到达服从指数分布，平均每2分钟到达一辆车，车辆通过路口的时间服从均匀分布，介于1到3分钟之间。该路口的TrafficIntensity(ρ)大约是多少？4.为提高智能社区的安全性，安装了视频监控和入侵检测系统。视频监控识别人脸的准确率为98%，入侵检测系统的准确率为95%。假设一个人是入侵者的概率为1%，如果系统发出入侵警报，那么该人是真正入侵者的概率（即真阳性率）大约是多少？5.某智能社区需要规划一个无线网络覆盖方案。已知社区中心区域信号强度服从瑞利分布，平均信号强度为-80dBm。为了确保99%的用户能获得至少-90dBm的信号强度，需要设计多强的信号发射功率？6.在智能社区的能源管理中，需要根据天气预报和实时能耗数据预测未来负荷。以下哪种统计学习方法最适合用于这种时间序列预测任务？7.线性回归模型在智能社区数据分析中应用广泛。当模型中出现多重共线性时，可能会导致什么问题？8.在智能社区的数据加密中，RSA算法依赖于大素数分解的困难性。如果已知两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q相对容易，但根据n反推p和q被认为是困难的。这种性质体现了密码学中的什么原理？9.图论中的最短路径算法在智能社区的哪些场景中有应用？（多选）10.在机器学习模型评估中，过拟合是指什么情况？二、填空题（每题3分，共15分）1.在智能社区的资源分配问题中，如果使用线性规划模型，其目标函数通常表示为________的最大化或最小化。2.为了分析智能社区居民的出行模式，可以构建一个________模型，节点代表社区内的重要位置，边代表可能的出行路径及其耗时。3.在使用机器学习进行智能社区异常事件检测时，如果将误报（FalsePositive）率控制在5%，那么漏报（FalseNegative）率可能会如何变化（请描述一般趋势）？4.描述一组智能社区传感器数据分布形态的常用统计量包括均值、中位数、方差和________。5.在智能社区的网络安全防护中，防火墙通常工作在________层。三、解答题（每题6分，共30分）1.某智能社区有两个入口，每个入口的车辆通过时间服从独立同分布的指数随机变量，均值为2分钟。为了减少排队时间，社区考虑安装一个智能道闸系统，该系统能将通过时间缩短到1.5分钟。请计算在高峰时段（单位时间到达4辆车），安装道闸系统前后，平均等待时间的变化。2.假设某智能社区内一种常见疾病的发病率为0.1%。社区引入了一种新的快速检测方法，该方法的真阳性率（患病者检测为阳性的概率）为95%，假阳性率（未患病者检测为阳性的概率）为5%。如果随机抽取一人进行检测，结果为阳性，那么该人确实患有这种疾病的概率是多少？3.在智能社区的能源管理中，需要根据历史数据建立温度与空调能耗的关系模型。收集到一组数据：当室外温度为15,18,20,23,25℃时，相应的空调能耗（单位：kWh）为50,45,40,35,30。请计算简单线性回归方程的斜率和截距。4.在智能社区中，某个区域的WiFi信号强度（单位：dBm）与距离中心点的距离（单位：米）近似满足指数衰减关系。已知距离中心点10米处信号强度为-70dBm，请建立一个数学模型描述信号强度S与距离d的关系。5.假设一个智能社区的安全系统由三个独立的传感器组成，每个传感器的故障概率为0.05。系统设计为至少有两个传感器正常工作才能发出警报。请计算该安全系统正常工作的概率。四、综合应用题（每题15分，共30分）1.某智能社区计划在一个公园内设置多个充电桩。已知公园内每天总充电需求（单位：辆·小时）服从正态分布，均值为200，标准差为30。每个充电桩的平均服务能力为10辆·小时/天。为了满足至少95%的充电需求，需要设置多少个充电桩？（提示：可以使用正态分布的分位数）2.某智能社区通过分析居民健康数据，发现居民的日常步数与心率有较强的线性关系。收集到一组样本数据（步数x，心率y）：（2000,75），（4000,80），（6000,85），（8000,90），（10000,95）。请：a.建立步数与心率之间的简单线性回归模型。b.计算该模型的决定系数R²，并简要解释其含义。c.如果某居民某天的步数为7000步，请预测其大致的心率。试卷答案一、选择题1.1-e^(-3)≈0.95022.(194.9,205.1)3.1.5/(1+1.5)=0.64.P(入侵者|警报)=P(警报|入侵者)P(入侵者)/P(警报)=0.98*0.01/(0.98*0.01+0.05*0.99)≈0.1655.需要信号强度≥-90dBm。P(S≥-90)=1-P(S<-90)=1-(S/μ)^(2)*erf((S-μ)/sqrt(2*σ^2))，其中μ=-80,σ=10,S=-90。计算得概率约为0.00135，需要发射功率使得P(S≥-90)≥0.99，或等效地，S的均值μ需要显著高于-90，具体数值需通过仿真或查表确定，通常需要远高于-80dBm，例如-60dBm左右。6.ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）或LSTM（长短期记忆网络）7.模型系数估计不稳定，预测结果不可靠8.困难性原理（HardnessAssumption）9.社区网络规划、交通流量分析、设施布局优化10.模型对训练数据学习过度，泛化能力差二、填空题1.总效益/总成本或目标函数值2.图论/网络流/优化3.可能增加/显著增加（因为将更多人误判为异常，导致需要更多资源确认）4.线性相关系数/协方差5.网络层/OSI3层三、解答题1.系统无道闸时，到达率λ=4辆/分钟，服务率μ=1/2=0.5辆/分钟，交通强度ρ=λ/μ=2。平均等待时间Wq=ρ/(μ(1-ρ))=2/(0.5(1-2))=-4分钟（物理意义无解，说明系统已瘫痪）。系统有道闸时，服务率μ'=1/1.5≈0.667辆/分钟，交通强度ρ'=λ/μ'≈4/0.667≈6。平均等待时间Wq'=ρ'/(μ'(1-ρ'))=6/(0.667(1-6))≈-1.1分钟（物理意义无解，说明系统已瘫痪）。注意：此题模型假设和计算结果可能与现实不完全符合，主要考察基本排队论公式应用。更合理的模型可能是M/M/1/∞或M/G/1，这里简化处理。假设题目意图是计算稳定状态下的平均等待，则无道闸时Wq=8分钟，有道闸时Wq'=2分钟。变化量为8-2=6分钟。2.使用贝叶斯定理：P(患病|阳性)=P(阳性|患病)P(患病)/P(阳性)。P(阳性)=P(阳性|患病)P(患病)+P(阳性|未患病)P(未患病)=0.95*0.01+0.05*0.99=0.0595。P(患病|阳性)=(0.95*0.01)/0.0595≈0.1613.计算均值：x̄=(15+18+20+23+25)/5=21。计算ȳ=(50+45+40+35+30)/5=40。计算斜率b:b=Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)/Σ(xi-x̄)²=[(15-21)(50-40)+(18-21)(45-40)+(20-21)(40-40)+(23-21)(35-40)+(25-21)(30-40)]/[(15-21)²+(18-21)²+(20-21)²+(23-21)²+(25-21)²]=[-6*10-3*5+0*0-2*(-5)+4*(-10)]/[36+9+1+4+16]=[-60-15+0+10-40]/66=-105/66=-35/22≈-1.59。计算截距a:a=ȳ-b*x̄=40-(-35/22)*21=40+35*21/22=40+735/22=(880+735)/22=1615/22≈73.41。回归方程：y≈-1.59x+73.414.指数衰减模型：S=S₀*e^(-k*d)。已知d=10时S=-70，d=0（假设中心点）时S=S₀。S₀=-70/e^(-k*10)。无法仅凭一个点确定k，需要两个点或额外信息。如果补充一个距离d₁和信号强度S₁，可以解出k和S₀。例如，假设d₁=20,S₁=-75，则-75=S₀*e^(-k*20)，联立求解S₀和k。这里只给出模型形式。更常见的模型可能是S=S₀-k*d，当d=10时S=-70，d=0时S=S₀，所以S₀=-70，模型为S=-70-k*d。同样，仅一个点无法确定k。5.每个传感器正常工作的概率为1-0.05=0.95。系统正常工作需要至少两个传感器正常工作。可以使用补事件：系统不正常工作的概率是所有传感器都失效，或只有1个传感器失效。P(不正常)=P(全部失效)+P(恰一个失效)=(0.05)^3+C(3,1)*(0.95)*(0.05)^2=0.000125+3*0.95*0.0025=0.000125+0.007125=0.00725。系统正常工作的概率=1-P(不正常)=1-0.00725=0.99275四、综合应用题1.需求超过供应的概率P(Demand>Supply)=P(Demand>10*N)。设需求X~N(200,30²)。需要计算P(X>10*N)≥0.95。即P(X≤10*N)≤0.05。查标准正态分布表，Z对应于0.05的左侧分位数约为-1.645。标准化：-1.645=(10*N-200)/30。解得10*N=200-1.645*30=200-49.35=150.65。N=150.65/10=15.065。因为充电桩数量必须是整数，且需要满足至少95%的需求，所以需要向上取整。需要设置16个充电桩。2.a.计算均值：x̄=6000,ȳ=85。计算斜率b:b=Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)/Σ(xi-x̄)²=[(2000-6000)(75-85)+(4000-6000)(80-85)+(6000-6000)(85-85)+(8000-6000)(90-85)+(10000-6000)(95-85)]/[(2000-6000)²+(4000-6000)²+(6000-6000)²+(8000-6000)²+(10000-6000)²]=[(-4000)*(-10)+(-2000)*(-5)+0*0+2000*5+4000*10]/[16000000+4000000+0+4000000+16000000]=[40000+10000+0+10000+40000]/36000000=70000/36000000=7/3600=7/3600。计算截距a:a=ȳ-b*x̄=85-(7/3600)*6000=85-7*6=85-42=43。回归方程：y=43+(7/3600)x。b.计算R²:R²=[b*Σ(xi-x̄)(yi-ȳ)]²/[Σ(xi-x̄)²*Σ(yi-ȳ)²]。Σ(yi-ȳ)²=[(75-85)²+(80-85)²+(85-85)²+(90-85)²+(95-85)²]=100+25+0+25+100=250。R²=[(7/3600)*7