河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，而，所以.故选：C.3.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】依题意，，，由，得，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：B.4.已知是抛物线上两点，则（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由在抛物线上上，可得解得故选：B.5.下列区间中，函数存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，不存在零点.当时，，由，可得.因为，所以的零点在区间内.故选：A.6.圆上的点到直线的距离可能为（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】D【解析】由圆，圆心，半径为，由题可知，圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的取值范围为.故选：D.7.我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（）A.66个 B.55个 C.36个 D.28个【答案】C【解析】当首位数字为1时，后两位相加为7，“幸运数”分别是116,161,125,152,134,143,107,170，共8个；当首位数字为2时，后两位相加为6，“幸运数”分别是206,260,215,251,224,242,233，共7个；当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350,314,341,323,332，共6个；当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440,413,431,422，共5个；当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个；当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个；当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个；当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个.因此，所有的“幸运数”共有个.故选：C.8.在中，是关于的方程的两个实数根，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可得则，则，所以为钝角，则均为锐角，所以解得.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组数据，则（）A.该组数据的极差为70B.该组数据的众数为30C.该组数据的第60百分位数为40D.该组数据的平均数为60【答案】AB【解析】由题可知，该组数据的极差为，众数为30，故A，B正确；因为，故该组数据第60百分位数为第5个数据，故C错误；该组数据的平均数为，故D错误.故选：AB.10.已知函数的最小正周期为，且，则（）A.B.C.在上恰有4个零点D.将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象【答案】BD【解析】因为的最小正周期为，所以，A不正确.由，得，则.因为，所以，B正确.所以，由，得，由，可得和，得和，则在上恰有2个零点，C不正确.由，得，是偶函数，D正确.故选：BD.11.如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，.现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接.下列结论正确的是（）A.B.直线与所成角的最大值为C.若，则三棱锥外接球的半径为D.若，则直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】因为为的中点，，所以.又是的中点，所以，由，可得，又平面，所以平面，从而，故A正确；由题可知，是直线与所成的角或其补角，由平面，可得平面平面，则点在平面上的投影在直线上的一段线段内（包含），当点在平面上的投影为点时，取得最大值，且最大值为，故B正确；当时，即，又平面，所以，又平面，所以平面，又是以为斜边的直角三角形，所以三棱锥外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，设球心到点的距离为，外接球半径为，则，由题知，所以，解得0，则三棱锥外接球的半径为，故C不正确；过点A作的平行线，并与的延长线交于点，连接，易得平面，则直线与平面所成的角为，在中，，由，可得，由，可得，则，则，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量.若，则__________.【答案】8【解析】因为，所以.又，所以，解得.故答案为：8.13.已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________.【答案】【解析】记的右焦点为，连接,因为线段的中点为为的中点，所以，又因为是双曲线上一点，，所以，由直线的斜率为，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去），即的离心率为，故答案为：.14.已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意知，当时，恒成立，即与同号，当时，可得，所以在上单调递增；当时，可得，所以在上单调递减，因为是定义域为的奇函数，根据奇函数的性质，可得函数在关于原点对称的区间上单调性相同，即在和的单调性相同，即要么递增，要么递减；又因为，由，可得，而，要使方程有解，则，令，则，所以正实数的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】解：（1）设的公差为.由，可得解得则.（2）由（1）可知，当时，，则，则.当时，，则，则.故16.如图，在正三棱柱中，，是的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明：连接并与交于点，连接.在正三棱柱中，四边形为矩形，则是的中点.因为是的中点，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：由（1）可知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为是的中点，所以.因为，所以平面.由，可得.连接，则.设点到平面的距离为，则.由，得，解得，即点到平面的距离为.17.某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.月份123456789101112销售量652331425228374544512538（1）求2024年月销售等级为“特优”的频率.（2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.（3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望.【答案】解：（1）由题可知，2024年中1月、5月、10月的销售等级均为“特优”，故2024年月销售等级为“特优”的频率为.（2）由题可知，2024年2月、6月、11月的销售等级均为“良”，从2024年中任选两个月的销售情况进行分析，则至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率为（或）.（3）由题可知，2024年，有6个月的销售等级为“优”，从而每个月的销售等级为“良”“优”“特优”的概率分别为，的可能取值为，且，，，则的分布列为101520253040.18.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）若，证明：.【答案】（1）解：由，得，则，则，从而曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：由，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，令，则，显然在上恒成立，则在上单调递减，即在上单调递减，则，解得，即的取值范围为.（3）证明：由，可得.令，则.当时，单调递增，当时，单调递减，则，即，当且仅当时，等号成立.由，可得，则，当且仅当时，等号成立.因为上面两个不等式的取等条件不同，所以，从而当时，.19.已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值.（3）已知为坐标原点，点，、是上异于A的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值.【答案】（1）解：设，由题可知，整理