江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期10月三校联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期10月三校联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线过点与点，则这条直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线过点与点，所以该直线的斜率为，设这条直线的倾斜角为，则，所以.故选：D.2.已知直线与平行，则实数的值为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】因为直线与平行，所以，得.故选：D3.圆的圆心到直线的距离为（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】圆的圆心坐标，所以圆心到直线的距离为.故选:D.4.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】B【解析】如图，连接,因，则，由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小，最小值为,此时，的最小值为.故选：B.5.已知直线关于直线对称的直线被圆截得的弦长为，则实数的值为（）A.4 B. C.8 D.【答案】B【解析】因为直线与直线的交点为,所以直线经过点,取直线上一点关于对称的点为在直线上,所以,所以的直线方程为,圆心到直线的距离为,圆的半径,所以,解得,故选:B.6.圆与的公共弦长为（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】圆：①，所以，.圆：②，所以，.因为，所以圆与圆相交.因此公共弦所在直线的方程为①②：，圆的圆心到公共弦的距离为，即公共弦长为.故选：A.7.已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（）A.x﹣y+2＝0 B.xy+2＝0 C.xy+2＝0 D.x﹣2y+2＝0.【答案】D【解析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，又线段AC中点坐标为（2，2），则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2，即x﹣2y+2＝0．故选：D．8.已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是．A. B. C. D.【答案】D【解析】恒过，斜率为，定义域为．如图，可知，且与相切时，取范围的边界，方程有一个解时，即，当时，，又，此时．∴的取值范围为．故选．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中正确的有（）A直线过定点B.点关于直线的对称点为C.两条平行直线与之间的距离为D.当实数时，直线和互相垂直【答案】BCD【解析】对于A，，，故直线过定点，故A错误；对于B，设点关于直线的对称点为,则即点关于直线的对称点为，B正确；对于C，，，故C正确；对于D，时，，故直线和互相垂直，故D正确；故选：BCD.10.已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（）A.△PAB的面积的最大值为12B.，关于轴对称C.当时，D.直线的斜率的取值范围为【答案】ABD【解析】设，由可得，，即，所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为．对于A选项，，选项A正确；对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上，直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点，由题可知，，由角分线定理逆定理得，故，又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确；对于C选项，当时，，而，则△PSQ为等腰三角形，过作于，则，则，由垂径定理可得，选项C错误；对于D选项，当直线与圆相切时，连接，得到，此时，，由勾股定理得，由锐角三角函数的定义得，由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知，得到直线斜率的取值范围为，选项D正确．故选：ABD．11.已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.直线与直线斜率乘积为定值B.存在点，使得C.有最小值D.的范围为【答案】ACD【解析】对于A，由椭圆，可得，则，设，则，可得，所以，故A正确；对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得，则，故B错误；对于C，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，即有最小值，故C正确；对于D，因为，则点Q在椭圆外，由如图所示，设直线与椭圆相交于，又，则，因为，且，可得，即，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________.【答案】4【解析】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，是的中点，是的中点，为△的中位线，，由椭圆的定义得．故答案为：4．13.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为__________.【答案】【解析】由题意可知，圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，故切线长的最小值为.14.动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为_________.【答案】【解析】圆的几何性质可知，，四边形的面积为，，所以直线，过定点，直线过定点，且两直线的系数满足，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为，所以的最大值为，所以的最大值为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点.（1）求BC边所在直线的一般式方程；（2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标.解：（1）直线的斜率，直线的方程为，所以BC边所在直线的一般式方程为.（2）依题意，，设点到直线的距离为，由的面积等于2，得，解得，于是，解得或，所以点的坐标为或.16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点.（1）求的方程；（2）当时，求的面积；（3）求的取值范围.解：（1）由题设得到，且，即，∴,故椭圆方程为：.（2）∵为椭圆上的一点，∴，平方得①，在中，由余弦定理，得，即②，由，得，即，所以的面积.（3）设，则，所以，.因为，，.∵，∴.所以的取值范围是.17.如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是O，在圆内（除去圆心）取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过F；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．这些折痕围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心O的距离为2，按上述方法折纸，如图所示．（1）以FO所在的直线为x轴，FO的中点M为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）求经过点F，且与直线FO夹角为的直线交椭圆于C，D两点，求的面积．解：（1）如图，设为椭圆上一点，由题意可知且，所以点是以F，O为椭圆的左、右焦点，长轴长的椭圆，即，，所以，，，所以椭圆的标准方程为．（2）经过F且与直线FO夹角为的直线的倾斜角为或，由椭圆的对称性，不妨设直线的倾斜角为，即直线的斜率，又，则直线CD：．设，，联立，消去y得．方法一：解得，不妨取，，将，的值分别代入，得，，所以，，所以．点到直线CD：的距离，故的面积．方法二：，则，，所以．点到直线CD：的距离，故的面积．18.已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．（1）当时，求出点的坐标；（2）经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；（3）求线段的中点的轨迹方程．解：（1）直线的方程为，点在直线上，设，因为，由对称性可得：由对称性可知，由题所以，所以，解之得：故所求点的坐标为或．（2）设，则的中点，因为是圆的切线，所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故圆E方程为：化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或,所以经过三点的圆必过定点或．（3）由可得：，即，由可得过定点.因为N为圆的弦的中点，所以，即，故点N在以为直径的圆上，点N的轨迹方程为.19.设，，，圆Q过A，B，D三个点.（1）求圆Q的方程；（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；（3）设斜率为k直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.（1）解：由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线