辽宁省部分重点高中联盟2026届新高三起点考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省部分重点高中联盟2026届新高三起点考试数学试题一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，，则p是q成立的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分亦非必要条件【答案】A【解析】由于命题；，推不出故是的充分不必要条件．故选：A.2.设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（）A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】由题意可知，所以，则的虚部为.故选：B.3.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等边三角形的另外两个顶点分别为、，由对称性可知点、关于轴对称，不妨设点在第一象限，则直线的倾斜角为，直线的方程为，联立可得，解得或，即点，故点，则，因此，该等边三角形的边长为.故选：D.4.已知是钝角，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为钝角，则，，所以故，由题意可得，解得，故选：D.5.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（）附：，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.001 B.0.05C.0.01 D.0.005【答案】B【解析】完善2×2列联表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．因为χ2＝，所以根据小概率值的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．故选：B.6.用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设圆形半径为，圆锥底面半径为，则扇形的弧长为，圆锥底面周长为，则，即，则圆锥的高为，则圆锥的体积为设，其中，则，由得；得，则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，即时，圆锥的体积取最大值，且，故选：B.7.已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，定义域为.所以.当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，所以当时，取得最大值为.当，所以函数的值域为.令，则，要使函数的值域为，则，解得或，又，所以，.故选：D.8.7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，不同的分组方法有4,1,1,1；3,2,1,1；2,2,2,1三种；当分组为4,1,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有1种；当分组为3,2,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；当分组为2,2,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；所以乙同组且丙丁同组的概率为.故选：A.二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列四个命题中正确的是（）A.已知随机变量X服从正态分布，若，则B.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4C.已知随机变量X服从二项分布，若，则D.样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强【答案】ACD【解析】对于A，随机变量X服从正态分布，则由，可得，即，故，则，A正确；对于B，将样本点的中心代入，可得，B错误；对于C，随机变量X服从二项分布，则，若，则，C正确；对于D，样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确，故选：ACD.10.在斜三角形中，下列结论可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】在斜三角形中，设内角A、、的对边分别为、、，对于A选项，若，由正弦定理可得，由三角形三边关系可知等式不成立，A错；对于B选项，若，由两角和的正切公式可得，故，因为，故只需即可，合乎题意；对于C选项，若，则，即，所以，即，因为A、，故，，所以，即，即，因为A、，则、，故，所以，由题意可得，故，由于，故，因为正切函数在上单调递增，故，整理得，这与三角形的内角和定理矛盾，C错；对于D选项，若，由可得，即，等式两边平方可得，即，因为，解得，因为，则，故，则，由于，，所以满足条件的锐角A存在，D对.故选：BD.11.设数列和的项数均为m，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为C．已知数列和为集合C中的两个元素，项数均为m，则下列说法正确的是（）A.数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4B.若，则C.若则D.若数列和的距离不超过2025，则m的最大值为3470【答案】ABD【解析】对于A，数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为，正确；对于B，由得，所以数列为以4为周期的周期数列，且，记，则，则，同理，记，可得，正确；对于C，，错误；对于D，因为所以，，因为，所以项数越大，数列和的距离越大，因为，，所以，所以数列和的距离不超过2025，则m的最大值为3470，正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数单调递增区间为________.【答案】【解析】因为，所以令，则，所以函数在上的单调增区间为，因为，所以函数在上的单调增区间为故答案为：.13.如图，在中，，是边上的高，若，则的面积为___________.【答案】3【解析】因为，，所以.故答案为：3.14.设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是_______．【答案】【解析】当时，由题意可得，因为数列是正整数数列，假设，则，为了满足为正，只需，即，假设，则，可得，合乎题意，假设，则，可得不是正整数，故，从而可得，当时，则有，即，解得，当时，，即，解得，当时，，猜想，假设当时，猜想成立，即，当时，，由猜想可得，则，所以，所以，这说明当时猜想也成立，故数列满足，所以，数列的各项依次为：，，，，，，，，，，，由上可知均为偶数，又因为，故的前项中偶数的个数是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.【答案】解：（1）由，根据正弦定理，有即有则有，又，所以，（2）由（1），，则，又为锐角三角形，所以，且，所以，于是则又所以，的取值范围是.16.如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点．（1）证明：A、、三点共线；（2）现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明：因为点在线段上，满足，为的中点，所以，，因为为的中点，所以，因为点在线段上，，即，即，故，所以，所以A、、三点共线.（2）解：因为，，，，故，，因为为的中点，所以，将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，则，因为，、平面，故平面，在中，，，，由余弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，所以，故，因为，故，以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设平面A'CF的一个法向量为，，，则，则，取，可得，设平面A'EP的一个法向量为，，，则，则，取，可得，所以，故.因此，平面A'CF与平面A'EP夹角的正弦值为.17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：存在唯一极大值点，且．【答案】（1）解：，，，∴曲线在点处的切线方程为，即；（2）证明：，令，得或，设，∵在上单调递增，且，，∴存在唯一，使得，即，故时，x-2<0，，，f(x)单调递增，时，x-2<0，，，f(x)单调递减，时，x-2>0，，，f(x)单调递增，∴是函数的唯一极大值点；∵，∴；又，即，∴，令，，则，故在上单调递增，故，综上所述：．18.已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R．（1）求双曲线C的标准方程；（2）试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】解：（1）已知双曲线焦距为4，即，故.

又因为，所以.如图，设点在双曲线上，满足，双曲线的渐近线方程为.而四边形的面积为，且​​由题意得四边形为平行四边形，因为，，解得，，则，同理可得，由平行四边形面积公式得=（为点到直线的距离）.因为；渐近线为.所以；代入得，可得，所以解得，解得，.所以双曲线的标准方程为.（2）易知斜率不存在时候不符合题意，故设直线方程为，，代入双曲线方程联立可得，化简得.且；如图，设，，其中，则由韦达定理得，.直线过和，方程为.直线过和，方程为.直线与交于点，可得，则，可得，则，可得，则，可得，得到，则，故，因为，所以，则，得到，则，故，故解得，同理直线与交于点，其横坐标为.而双曲线在点和处的切线方程分别为，联立解得切线交点的坐标为，.因此，点，，均在直线上；设，，.由中点坐标公式得中点坐标为，故为和的中点，即，因此.19.在一个不透明的袋子中，装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸取到的小球颜色．（1）求某种特定颜色两次都被记下的概率；（2）设第一次摸出个球，两次摸球后，恰有种颜色两次都被记下．①求的分布列；②当时，求．【答案】解：（1）第一次摸球，从个球中至少摸一个球，情况数为；第二次摸球同样有种情况.则两次摸球的总的可能情况数为.除了特定的颜色的球外，对于剩下的种颜色，第一次摸球