辽宁省沈文新高考研究联盟2026届高三上学期期初质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈文新高考研究联盟2026届高三上学期期初质量监测数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，，∴.故选：D.2.已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若的解集为或，则解得；若的解集为或，则解得；若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得．又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，．故选：C.3.如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由图可知，“心形”图形关于轴对称，则“心形”在轴上方部分对应的函数为偶函数，则函数为奇函数，故B不正确；函数的定义域为，关于原点不对称，故D不正确；的图象过点，且时，，当且仅当时，等号成立，即函数的最大值为2，又“心形”在轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确；由的图象过点，且时，，当时，等号成立，即函数的最大值为1，满足题意，故C正确．故选：C.4.已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（）A.13 B.14 C.20 D.21【答案】D【解析】因为，由，可得，即有，作出函数的图象如图所示：则有7个根，有10个根，有4个根，所以方程共有个根.故选：D.5.已知是等比数列的前n项和，若，则（）A.1022 B.1023 C.1024 D.1025【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由题意可得解得则故选：B.6.设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设等差数列的公差，则，故.又因为数列为吉祥数列，所以为常数，不妨设，则，则，解得，所以.故选：D.7.已知函数，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由求导得：，因，当且仅当时，等号成立，则，故函数在上为增函数，又，即函数为奇函数.则由可得，进而，解得.故选：B.8.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，则，当时，，所以在上是单调减函数；当时，，所以在上是单调增函数；由可得，由题意可知，存在唯一的整数，使得，则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点，因为，当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意；所以，因为，当直线过点时，则，解得；又，直线，所以此时函数与直线相切于点，当直线过点时，则，且，结合图象可得，所以的取值范围是.故选：A.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（）A.B.不等式的解集是C.D.不等式的解集为【答案】BD【解析】对于A，因为关于的不等式的解集为，所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误；对于B，由已知得和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，解得，对于不等式，即化为，解得，故B正确；对于C，可得，故C错误；对于D，对于不等式，可化为，而，则化为，解得，故D正确．故选：BD.10.已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】设等比数列的公比为，相邻三项为，则或或，故或或，故或，若，则，当为奇数时，，时，故，当为偶数时，，时，故，与题设矛盾；所以，此时，当为奇数时，，当为偶数时，，则，所以在上单调递增，则，由恒成立，故.故选：BCD.11.已知函数，，若存在直线与曲线和均相切，则a的值可能为（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】由题意得，，，又直线与曲线和均相切，设直线与曲线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，设直线与曲线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，两条切线为同一条直线，，由，可得，代入，得，即，令，则问题转化为存在使得，即求的值域，，令，解得，故当时，；当时，，在单调递增；在单调递减，，的值域为，即.故选：ABC．第II卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一、令，①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．②当时，的图象的对称轴方程为，若，则在上单调递减，则只需满足，得；若，则，且时已满足条件．综上，实数的取值范围为．解法二、时，，由得，则在上有解．令，则当时，；当时，，又在单调递增，所以，即，故实数的取值范围为．故答案为：.13.已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为___________．【答案】【解析】在数列中，①，又②，，所以①除以②得．又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，所以．当时，，当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为．故答案为：．14.已知函数，若，则的单调递增区间为_______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______.【答案】①.②.【解析】当时，，因为的定义域为，，故函数为偶函数，当时，，则，即函数在上单调递增，故当时，函数的增区间为；当时，，则，由题意知，对任意的，，则，可得，此时；当时，由可得，由可得，所以，因为函数在区间上单调递增，若，则，，此时函数在区间上不单调；若时，即当时，则当时，，则对任意的，，则，可得，此时；若时，即当时，则当时，，则对任意的，，则，可得，这与矛盾，此时不成立.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：，.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.定义关于的新运算：，其中，为非零常数.（1）当，时，求的值；（2）当时，求不等式组的解集.【答案】解：（1）由题可知，，解得.（2）由题可知，即.又，即，解得；，整理得，解得或，所以解集为或.16.设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数．（1）若，试判断是否为平缓函数？并说明理由；（2）若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有．【答案】（1）解：任取，，只需证，当有一个为0时，不妨设，则；当都不为0时，分母利用不等式，得，结合可得当且仅当时取等号成立，但此时，故严格不等式成立，因此函数是上的平缓函数．（2）证明：由已知可得，由于函数是周期函数，故不妨设，当时，由为上的平缓函数得。当时，不妨设，此时由为上的平缓函数得.综上所述，命题得证.17.已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）解：因为为正项数列，①，当时，得；当时，②，①－②得，，得．所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以．（2）证明：解法1：因为，所以当时，当时也符合，所以原不等式成立．解法2：因为，所以，所以，所以当时，，当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立．18.已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，.（1）求数列，的通项公式.（2）若，求数列前项的和.【答案】解：（1）设等差数列公差为，，整理可得，解得（负值舍去），则；时，，解得，当，，整理可得，则，又，则是首项为，公比为的等比数列，则，于是.（2）由（1）得，，则，，即19.定义双曲