第四章锐角三角函数（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册（原卷版）

第四章锐角三角函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 4【题型1设参数法求锐角三角函数值】 4【题型2网格中求锐角三角函数值】 5【题型3灵活运用已知条件解直角三角形】 6【题型4解双直角三角形】 7【题型5在四边形中解直接三角形】 8【拔尖篇】 10【题型6构造直角三角形求锐角三角函数值】 10【题型7等角转换法求锐角三角函数值】 11【题型8巧设未知数解直角三角形】 12【题型9构造直角三角形进行线段或角的计算】 13【题型10解直角三角形的应用】 14知识点1锐角的三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即2.锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数．3.由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有0<sinA<1且知识点2特殊角的三角函数的值1.根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表：α三角函数α三角函数30°45°60°sin123cos321tan313知识点3锐角的三角函数间的关系在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为（1）同角三角函数间的关系：sin2（2）tanA与sinA，cos知识点4解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．知识点5解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，（1）三边之间的关系：a2（2）两锐角之间的关系：∠A+（3）边角之间的关系：sinA=ac，知识点6解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：已知类型已知条件解法步骤图示两边斜边c、一直角边（如a）（1）b=c（2）由sinA=ac（3）∠Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠两直角边（a，b）（1）c=a（2）由tanA=ab（3）∠一边一角斜边c、一锐角（如∠A（1）∠B（2）由sinA=ac（3）由cosA=b一直角边、一锐角（如a、∠A（1）∠B（2）由tanA=ab（3）由sinA=a知识点7解直角三角形在实际问题中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的步骤：（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．2.常见类型（1）仰角、俯角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．如图（1）所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把∠AOC称为仰角，∠BOC图（1）图（1）图（2）（2）方位角正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角．如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°．（3）坡度、坡角坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=hl，坡度通常写成坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作α，于是有i=tan【培优篇】【题型1设参数法求锐角三角函数值】【例1】（2425九年级上·甘肃天水·期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB交AB于点E，连接BD，若BE=13AB，则cos∠DBE的值是．【变式11】（2025·河南平顶山·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC=【变式12】如图，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，以AD，CD为邻边作矩形ADCE，连接BE交CD边于点F，则cos∠CBE的值为（

A．5147 B．277 C．【变式13】（2025·四川南充·一模）如图，把矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，若ADDC=A．55 B．12 C．35【题型2网格中求锐角三角函数值】【例2】如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（

）A．2 B．32 C．52 【变式21】如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2的值是【变式22】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角∠AOB=60°，点A,B,C都在格点上，则cos∠ABC的值是【变式23】（2025·江苏无锡·二模）如图，在4×3的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点E，则sin∠BED的值是【题型3灵活运用已知条件解直角三角形】【例3】（2425九年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C=45°，∠A=60°，AD=1．按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心、大于12BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交AC于点D，则CD的长为（A．6 B．23 C．3+1 【变式31】（2425九年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠A=12，tan∠B=1A．25 B．3 C．2 D．【变式32】（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2．在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN．分别以M，N为圆心、以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F．作射线AF交BC于点D，则点D到AC【变式33】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°,BC=3,tanC=12，则中线A．5 B．2 C．32 D．【题型4解双直角三角形】【例4】（2425九年级上·山东青岛·期中）如图，将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起，直角边AC与DE完全重合，已知AB长为16cm，若三角尺DEF沿CB方向移动，此时测得OB长是6cm，则移动距离CD是（

）A．2cm B．53cm C．(53−3)cm D．【变式41】（2425九年级上·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AC与点E，若tan∠DEA=43，BC=6，则【变式42】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片ABC中，∠B=57°，∠C=38°，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点B落在AC边上的点E处，折痕AD交BC于点D；再将纸片沿着过点E的直线折叠，使点C落在BC边上的点G处，折痕EF交BC于点F．下列结论成立的是（

）A．DG=EG B．GE⊥AEC．∠DAE=42° D．DE=2GF【变式43】（2025·安徽宣城·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=10，点D为BC中点，点P以每秒1个单位的速度从B出发沿B→A→C运动．当△PCD为等腰三角形时，t的值为（

）A．256或18 B．25C．256或18或19或1196 D．【题型5在四边形中解直接三角形】【例5】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,E,F分别为AD,BC边上的点，且BF=3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，得到四边形EFNM，点A,B的对应点分别为点M,N（点M落在AD上方），连接CN，当C,N,M三点共线时，AE的长为（

）A．2 B．43 C．163【变式51】（2025·山东聊城·三模）如图，在四边形ABCD中，AE=BE，DF=FB，DF⊥CE，AF∥DC，tan∠ABD=14，EF=2A．32 B．42 C．25【变式52】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，点E为AD的中点，连接BE并延长至点F，连接AF，连接FD并延长交BC延长线于点G，若tan∠FAE=45时，则CG【变式53】（2025·河南商丘·二模）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°,D为线段AC上一点，且AB=AD,E为线段BC的中点，连接BD、ED，延长BA到点F，使得AF=BA，连接DF，过点B作DF的平行线交DA的延长线于点G．(1)四边形BDFG是正方形吗？请说明理由；(2)若tan∠BCA=35【拔尖篇】【题型6构造直角三角形求锐角三角函数值】【例6】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，点E在射线BC上，且CE=12BC，连接EF．若AB=4,AD=6,∠B=60°，则tan【变式61】（2425九年级上·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=25，BC=6，CD是AB边上的中线，则cos∠ADC的值是（A．27 B．57 C．57【变式62】（2425九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上且AB∥OC，线段OA，AB的长分别是方程x2−9x+20=0的两个根（OA<AB），P、Q分别为OA、OC上两点，OQ=5，将△POQ翻折，使点O落在边AB上的点D处，则tan【变式63】（2025·江苏南通·模拟预测）如图，正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE，DE，若∠CED=90°，则sin∠ECD的值是（

A．12 B．32 C．55【题型7等角转换法求锐角三角函数值】【例7】（2025·四川乐山·一模）如图，点E是矩形ABCD中CD边上的一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．若∠DFE的大小为α，且满足sinα−cosαcosα+2【变式71】（2025·山西吕梁·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AC⊥CD，BD平分∠ADC，AC与BD相交于点E，若CD=3，AC=4，则线段BE的长为．【变式72】如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,AB=AC，点D为斜边BC上一点，且BD=3CD，将△ABD沿直线AD翻折，点B的对应点为B′，则sin

【变式73】（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点C是直线l外一定点，AB是直线l上的动线段，AB=5，连接AC、BC，S△ABC=15．求当AC+BC取最小值时sin∠CBA的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将AB看作静线段，则点C在平行于直线l的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当AC+BC取最小值时【题型8巧设未知数解直角三角形】【例8】（2025·广东深圳·模拟预测）在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，过点D作DE⊥AD交AC延长线于点E，若tan∠BAC=247，BDAB=【变式81】（2025·四川广元·中考真题）四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO=2DO，已知AB=4，AD=2，tan∠ACD=35，则AC【变式82】（2425八年级下·北京·期末）如图1，在△ABC中，∠BCA=90°，AB=5，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形PQMN（不重叠、无缝隙），若NH−PG=1，则QH的长为．【变式83】（2425九年级下·贵州贵阳·期中）如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．若cosA=13，△BEF【题型9构造直角三角形进行线段或角的计算】【例9】（2425九年级上·重庆·期中）如图，点D是△ABC外一点，DB=DC，AB与CD相交于点E，∠BDC=∠BAC，连接DA，若AC=4，DA=13，tan∠DBA=12【变式91】如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosB=14，BD是中线，将△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE【变式92】如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作DE//AC交BC于点E，那么DE的长为．

【变式93】如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【题型10解直角三角形的应用】【例10】（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24(1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）；(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离【变式101】（2025·河南·模拟预测）举高灭火机器人是一种可代替消防救援人员进入危险区域进行灭火作业的特种机器人．如图1是一款举高灭火机器人的实物图，图2是其工作示意图，机器人底座可看作矩形ABCD，AB=1m，伸缩臂EF=FG=3m，点G和点E在同一铅垂线上（即GE⊥AD），∠F=110°，伸缩臂GH的最大长度为9m，图中的点均在同一竖直平面内，GH∥EF．当伸缩臂GH达到最大长度时，求举高灭火机器人的最高点H到地面的距离．（参考数据：sin35°≈0.57，【变式102】（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD=11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为26.6°．接着让无人机飞到点E处，DE⊥AD，CE与底板BR