专题254用频率估算概率（高效培优讲义）数学人教版九年级上册（原卷版）

专题25.4用频率估算概率教学目标掌握用频率估算概率的方法，并能够在题目中熟练的进行应用。掌握频率与概率的区别于联系，能够熟练的利用他们的实际意义解决相关问题。教学重难点重点（1）用频率估算概率。2.难点（1）利用频率的意义求值。知识点01用频率估算概率用频率估算概率：大量重复实验时，事件发生的在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计，这个固定的就是这个事件的概率。实验次数越多，用频率估算概率越准确。一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率即为p（A）=。【即学即练1】1．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）：射击次数20401002004001000“射中9环以上”的次数153378158321801“射中9环以上”的频率0.750.830.780.790.800.80根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（）A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9【即学即练2】2．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．27 D．30知识点02频率与概率的区别与联系频率与概率的区别与联系：事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数。频率是一个，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应事件出现的可能性大小。概率是一个，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能精确的反应事件发生的可能性大小。【即学即练1】3．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（）次数1002003004005006007008009001000频率0.600.450.550.470.480.520.510.490.500.50A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5题型01用频率估算概率【典例1】某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：抛掷次数n2060100120140160500100020005000“正面朝上”的次数m12385862758827556011002750正面朝上的频率m0.600.630.580.520.540.550.550.560.550.55则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（）A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60【变式1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（）累计抽测的学生数n100200300400500600800近视学生数与n的比值0.4230.4100.4000.4010.4130.4090.410A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410【变式2】如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：投篮次数（n）50100150200250300500投中次数（m）286078104124153252估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（）（精确到0.1）A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6【变式3】某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：射击次数1002003004005008001000“射中10环”的次数65136210284350552700“射中10环”的频率0.650.680.700.710.700.700.70根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（）A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69题型02根据频率的意义求值【典例1】一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（）A．15 B．10 C．4 D．3【变式1】一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（）A．40 B．30 C．16 D．50【变式2】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为18cm2，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为（）A．10.8cm2 B．9.6cm2 C．7.2cm2 D．11.2cm2【变式3】某商场利用如图所示的转盘进行抽奖游戏，规定：顾客随机转动转盘一次，当转盘停止后，指针指向阴影区域就能获奖（若指向分界线，则重转）．通过大量游戏，发现中奖的频率稳定在0.3，那么可以推算出所有阴影部分的圆心角之和大约是（）A．72° B．90° C．108° D．126°1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（）A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同2．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：试验次数100300500100016002000“有2个人同月过生日”的次数7922938578112461560“有2个人同月过生日”的频率0.790.7630.770.7810.7790.78通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是（）A．0.79 B．0.78 C．0.77 D．0.763．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（）累计抽测的学生数n1002003004005006007008009001000体质健康合格的学生数与n的比值0.850.90.930.90.890.90.910.910.920.92A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.94．一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（）A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm26．某同学做“抛硬币”试验，下面是他的试验数据：抛掷次数100200300400500正面朝上次数5199154200248若抛硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．300 B．400 C．500 D．6007．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（）A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm28．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（）A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是308500B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是0.618 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是0.6209．一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（）A．3张 B．15张 C．5张 D．10张10．随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示：投掷次数m5001000150020002500300040005000“正面向上”的次数n26051179310361306155820832598“正面向上”的频率n0.5200.5110.5290.5180.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③11．在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则纸箱中白球最可能为个．12．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共5只，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据，请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近．（精确到0.1）摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.60113．如图，是一张边长为3cm的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为cm2．14．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，发现摸到红球的频率稳定在0.7，请你估计这个口袋中红球有个．15．小明看到公园地面上有一个心形封闭图形A，为了研究图形A的面积，设计了一项试验：在图形A外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：掷石子的总次数p50100200500…石子落在图形A内的次数m154380201…石子落在阴影部分的次数n3557120299…随着投掷次数的不断增多，石子落在图形A内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形A内的概率为；由此估计图形A的面积为平方米．16．一个不透明的箱子里装有2个红球和1个黄球，每个小球除颜色以外其他完全相同．（1）现从该箱子里摸出一个球，记下颜色后放回箱子里，摇匀，再摸出一个球，用画树状图或者列表的方法求两次摸出的小球颜色不同的概率；（2）如果在箱子里增加x个白球（与其他小球除颜色外完全相同），把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，记下颜色后放回，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，请你估计增加的白球数量．17．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1000200040005000800010000…摸到白球的次数m74914992998375160007501…摸到白球的频率0.74900.74950.74950.75020.7500.7501…（1）根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？（2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概18．某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．如表是进行研究时所得到的数据．试验的种子数n100400600100030005000发芽的粒数ma38257095428594750发芽频率m0.9300.9550.950b0.9530.950（1）求出a，b的值；（2）任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01）19．THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲