专题01空间向量及其运算（期中复习讲义核心10大题型）高二数学上学期人教版A版

专题01空间向量及其运算（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律共线向量掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养.基础必考点，常出现在小题共面向量理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养.基础必考点，常出现在小题空间向量基本定理及其应用1、会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养.2、会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长、数量积,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.高频易错点，数量积、模长、夹角的运算及最值（范围）出错空间向量的坐标运算及其应用1、掌握向量平行、向量垂直的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题,强化数学运算的核心素养.2、能熟练应用两个向量数量积、夹角与向量长度的坐标计算公式,提升逻辑推理的核心素养.基础必考点，常出现在小题知识点01空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；知识点02空间向量的加法、减法运算4、空间向量的加法运算律知识点03空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2、数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同与向量的方向相反知识点04共线向量与共面向量3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．5、空间共面向量的表示6、拓展知识点05空间两个向量的夹角3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为，知识点06空间向量的数量积特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;2、空间向量数量积的应用3、向量的投影5、数量积的运算：知识点07空间向量基本定理1、空间向量基本定理2、基底与基向量3、单位正交基底4、正交分解知识点08空间向量的正交分解及其坐标表示1、空间直角坐标系空间直角坐标系及相关概念2、空间向量的坐标表示知识点09空间向量运算的坐标表示运算坐标表示加法减法数乘数量积2、两个向量的平行与垂直3、向量长度的坐标计算公式空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度4、两个向量夹角的坐标计算公式5、两点间的距离公式6、中点坐标公式题型一空间向量的线性运算解｜题｜技｜巧【答案】B【分析】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案.故选：B.【答案】B【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可.故选：B.【答案】D【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.故D错误.

故选：D.【答案】【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案.

故答案为：.【答案】【详解】故答案为：.题型二空间向量共线问题解｜题｜技｜巧A． B． C． D．【答案】B【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量.所以向量平行于，又直线与相交，所以向量不平行于.故选：B.A． B．1 C．3 D．或3【答案】C【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值.故选：CA． B． C． D．8【答案】C∵、、三点共线，故选：C．【答案】5【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解.故答案为：5

【答案】/0.75【详解】如图所示：

故答案为：.题型三空间向量共面问题解｜题｜技｜巧2、拓展【答案】C【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理.与条件矛盾，故A错误；与条件矛盾，故B错误；故选：CA．9 B．10 C．11 D．12【答案】B故选：B.A． B． C． D．【答案】A故选：A.【答案】ABD【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.故选：ABD.【答案】【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可.故答案为：.【答案】【详解】因为，，是三个不共面的非零向量，故答案为：【答案】4【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可.【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面，故答案为：4.题型四用基底表示向量解｜题｜技｜巧用基底表示向量的步骤（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.（2）找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.（3）下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.【答案】B【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可.故选：B．【答案】C【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解.故选：C.【答案】C【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可．故选：C．A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得.故选：D．【详解】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.

题型五空间向量基本定理求数量积、模长、夹角解｜题｜技｜巧1、合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.2、模长（1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.3、夹角（1）求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角.（3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,π2],而<AB→,CD→>∈[0,π],故α=<AB→,CD→>或α=π【答案】B故选：BA．1 B． C． D．【答案】D所以则异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【答案】BD【分析】根据空间向量运算逐项分析判断.设直线与所成的角为，故选：BD．【答案】故答案为：.【答案】16【详解】如图：故答案为：16题型六空间直角坐标系解｜题｜技｜巧建系确定点的坐标的原则（1）建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.②充分利用几何图形的对称性.（2）求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.【答案】A【分析】根据点在坐标平面内射影的特点，直接写出答案即可．故选：A.【答案】C故选：C【答案】D故选：D【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解.(1)写出，，，四点的坐标；(2)写出向量，，的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.（2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标.【答案】答案见解析【分析】取的中点E，连接OE，由题意可证OD，OE，两两垂直，则以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，即可写出各点坐标.【详解】解：取的中点E，连接OE，如图，以为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则O，E，A，D四点共面，平面xOz，题型七数量积、模长、夹角的坐标运算（含平行、垂直的应用）解｜题｜技｜巧2、利用向量方法求长度或距离的基本方法3、求两个非零向量夹角的两种途径4、平行与垂直（1）两个向量的平行与垂直（2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.A． B． C．4 D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示，列式计算即得.故选：BA． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解.故选：C【答案】D故选：D.【答案】ABD【分析】应用空间向量模长、夹角的坐标运算及单位向量的概念依次判断各项的正误.故选：ABD（2）利用向量模长和垂直公式建立等量关系，解方程得到结果.（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．(2)求与夹角的余弦值；【答案】(1)9(3)【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题．题型八投影向量的计算解｜题｜技｜巧A． B． C． D．【答案】A【分析】利用投影向量的定义可得结果.【详解】如下图所示：故选：A.【答案】B【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案.故选：B【答案】D【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可.故选：D.【答案】D故选：D.A．12 B． C． D．【答案】D故选：D.题型九空间向量运算证明垂直与平行问题（含坐标法）解｜题｜技｜巧1、利用空间向量基本定理（1）合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.（2）当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.（3）证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.2、利用坐标（1）利用向量证明直线平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明.【答案】证明见解析【答案】证明见解析(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证；知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(1)求的模：【答案】(1)(3)证明见解析

(1)用，，表示向量；(2)证明见解析；【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得结果；【答案】证明见解析【详解】证明：如图，【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析题型十空间向量运算中的最值范围问题A．最大值为2 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为2【答案】B故选：B.【答案】A【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解.故选：A【答案】A【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解.设直线与直线所成角为，故选：A.A． B． C． D．【答案】A【详解】根据已知条件，以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，故选：A【答案】D故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量的运算，根据题意确定点所在的位置是解题的关键．【答案】1【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可.故答案为：1.

故答案为：.【答案】以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，故答案为：期中基础通关练（测试时间：60分钟）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出点的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得的值.故选：B.【答案】B【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解.故选：B.A．4 B． C．1 D．0【答案】A【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.故选：A.A． B．1 C．2 D．3【答案】C故选：C.【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.故选：AA．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量．故选：C．A． B．2 C．4 D．5【答案】A【分析】根据四点共面，结合空间向量基本定理即可求解.故选：A【答案】D【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可判断.故选：D.A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B故选：B【答案】A故选：A.

A． B．1 C． D．【答案】B【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，方法二：由题意可知，故选：B.A． B．7 C． D．【答案】D故选：DA． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解.故选：AA． B． C． D．【答案】D故选：DA． B． C．0 D．2【答案】C.故选：C.【答案】C故选：C.【答案】B如图，以点为原点建立空间直角坐标系，故选：B.【答案】B故选：B.【答案】ABD故选:ABD【答案】AD【分析】利用投影向量的定义及空间向量的基本定理计算即可.【详解】所以在上的投影为点，在上的投影为点，故选：AD【答案】/0.4【分析】根据空间向量共面定理即可求得.故答案为：.【答案】【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值.故答案为：.【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解.【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，计算可得.【分析】