专题142全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题14.2全等三角形的判定（一）（举一反三讲义） 【沪科版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1“边角边”（SAS）证明三角形全等】 2【题型2“角边角”（ASA）证明三角形全等】 6【题型3“角角边”（AAS）证明三角形全等】 8【题型4“边边边”（SSS）证明三角形全等】 11【题型5三角形的稳定性】 14【题型6斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】 15【题型7灵活选用方法证明三角形全等】 18【题型8二次证明三角形全等】 24知识点1基本事实“边角边”（SAS）1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点2基本事实“角边角”（ASA）1.两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点3“角边角”的推论“角角边”（AAS）1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点4基本事实“边边边”（SSS）1.三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．2.数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中，∴△ABC知识点5三角形的稳定性生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．知识点6斜边、直角边定理（HL）1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2.数学语言表达:如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′∴Rt【题型1“边角边”（SAS）证明三角形全等】【例1】（2425八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．△ABC中．AB=AC，AD平分∠BAC．点E为AD上一点．则图中全等三角形有对．【答案】3【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用SAS可判定△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得BD=CD，∠ADB=∠ADC，再判定△BDE≌【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，在△BED和△CED中，BD=CD∠ADB=∠ADC∴△BDE≌在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAE=∠CAE∴△ABE≌∴共3对全等三角形，故答案为3．【变式11】（2425八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】A【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据全等三角形的判定定理“SAS”解答即可．【详解】解：在△AOB和DOC中，OA=OD∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOCSAS∴AB=CD，∴此方案依据的数学定理或基本事实是“SAS”，故选：A．【变式12】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF（点B，E，C，F在同一条直线上）．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“SAS”判定即可．【详解】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠ABC=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS【变式13】（2025·安徽·一模）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3【答案】9【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC，进而代入数值解答即可．【详解】解：在AC上截取AE=AB=3，连接DE，如图：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，AE=AB∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED(SAS)∴∠B=∠AED，从而∠BDE=2∠ADB，又∠B=2∠ADB，∴∠AED=∠BDE，从而∠CED=∠CDE，∴CE=CD=6，∴AC=AE+CE=3+6=9，故答案为：9．【题型2“角边角”（ASA）证明三角形全等】【例2】如图，已知∠3=∠4，要说明△ABC≌△DCB，若以“ASA【答案】∠ABC=∠BCD【分析】根据ASA证明△ABC≌△DCB，即可．【详解】解：添加∠ABC=∠BCD，理由如下：∵∠3=∠4，BC=CB∴△ABC≌△DCB．故答案为：∠ABC=∠BCD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式21】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【分析】本题考查三角形全等的判定；根据ASA即可解答．【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合ASA．故选D．【变式22】（2425八年级上·云南临沧·期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，AB=AD，∠B=∠D．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定；先求出∠BAC=∠DAE，再根据ASA即可证得结论．【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADEASA【变式23】如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线MN上取A，B两点，再在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，过点D再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在一条直线上，若此时测得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，则池塘两岸M，N【答案】14【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABC≌△EDC是解题的关键．由垂线的定义可得出∠B=∠EDC=90°，结合BC=DC，∠ACB=∠ECD，即可证出【详解】解：∵AB⊥BF,DE⊥BF，∴∠B=∠EDC=90在△ABC和△EDC中，∠B=∠EDC∴△ABC≌△EDCASA∴AB=ED=16m∵AM=0.5m∴MN=16−0.5−1.5=14m故答案为：14．【题型3“角角边”（AAS）证明三角形全等】【例3】（2425八年级上·四川眉山·期末）如图，∠ACB=90°，CA=CB，分别过点A，B作过点C的直线的垂线AM，BN．若AM=3cm，BN=5cm，则A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS，SSS，直角三角形的判定方法还有HL，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由AM⊥MN，BN⊥MN可得∠M=∠N=90°，进而可得∠A+∠ACM=90°．又由∠ACB=90°可得∠ACM+∠BCN=90°，进而可得∠A=∠BCN．再根据AAS可得△ACM≌△CBN，则可得AM=CN=3cm，BN=CM=5cm，进而可求得【详解】解：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠M=∠N=90°，∴∠A+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠BCN=90°，∴∠A=∠BCN．在△ACM和△BCN中，∠M=∠N∠A=∠BCN∴△ACM≌△CBN(AAS∴AM=CN=3cm，BN=CM=5∴MN=CM+CN=5+3=8cm故选：B．【变式31】（2425八年级上·重庆万州·期中）如图，AE∥FD,CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加的条件可以是下列选项中的（

）A．AB=BC B．∠E=∠F C．∠A=∠D D．AE=DF【答案】D【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，再根据选项进行判断即可．【详解】解：∵AE∥FD,CE∥FB，∴∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，选项中只有当AE=DF时，△EAC≌△FDBAAS，添加其它选项都不能证明△EAC≌△FDB故选：D．【变式32】（2425七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知AD是△ABC边BC的中线．CE∥BF，CE、BF与直线AD的交点分别为点E、F，请说明△CDE与△BDF全等的理由．【答案】理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到CD=BD，平行得到∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，利用AAS，即可得证．【详解】解：△CDE与△BDF全等的理由如下：∵AD是△ABC边BC的中线，∴CD=BD，∵CE∥BF，∴∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，∴△CDE≌△BDFAAS【变式33】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④

【答案】①②④【分析】由BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，得BE∥AD，则∠ABE=∠BAD，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE=∠CAD，即可证明△CBE≌△ACD，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB>BC，BC>CE，则AB>CE，可判断③错误；由CE=AD，BE=CD，且CE−CD=DE，得AD−BE=DE，可判断【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴AD∥BE，∴∠ABE=∠BAD，故①正确；∵∠E=∠ADC=∠ACB=90°，∴∠BCE=∠CAD=90°−∠ACD，在△CBE和△ACD中，∠E=∠ADC∠BCE=∠CAD∴△CBE≌△ACDAAS，故②∵BC⊥AC，CE⊥BE，∴AB>BC，BC>CE，∴AB>CE，故③错误；∵△CBE≌△ACD，∴CE=AD，BE=CD，∵CE−CD=DE，∴AD−BE=DE，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE=∠CAD及△CBE≌△ACD是解题的关键．【题型4“边边边”（SSS）证明三角形全等】【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AFEF=CEEF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.【详解】（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CBDE=BF∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AFEF=CEEF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CBDE=BF∴△ADE≌△CBF.（3）AD与CB不一定平行，理由如下：∵只给了两组对应相等的边，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行，【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【变式41】（2425八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的判定依据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理推出即可解答．【详解】解：在△AEG和△AFG中，AE=AFAG=AG∴△AEG≌△AFGSSS故选：D．【变式42】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．由SSS即可证明即可．【详解】证明：在△ABC和△ADE中，AB=AD∴△ABC≌△DEFSSS【变式43】（2425八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E，求∠EDC的度数．【答案】20°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出∠ADC的度数．证明△ADB≌△ADC，可得∠CAD=∠BAD=20°,∠ADB=∠ADC=90°，由DE⊥AC和三角形的内角和定理求出∠ADE=70°，即可求解．【详解】解：∵AB=AC,BD=CD,AD=AD，∴△ADB≌△ADC(SSS∴∠CAD=∠BAD=20°,∠ADB=∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°−∠CAD=70°，∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−70°=20°．【题型5三角形的稳定性】【例5】（2425七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（

）A．两点之间，线段最短B．三角形的任意两边之和大于第三边C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案．【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性；故选：D．【变式51】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性【答案】D【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形，∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性．故选：D．【变式52】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是．【答案】③【详解】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案是③．【变式53】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上根木条．【答案】2【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线，∴至少要钉上2根木条，故答案为：2．【题型6斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】【例6】（2425八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：．

【答案】HL【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N．因为直尺的宽度相等，所以PM=PN，同时OP=OP（公共边），∠PMO=∠PNO=90°，证明Rt△OPM≌可得∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB，因此这种画法的依据是HL．【详解】解：如图2中，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．

∵尺的宽度相等，∴PM=PN，∵PM⊥OA.PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，在Rt△OPM和RtOP=OPPM=PN∴Rt△OPM≌∴∠POM=∠PON，∴OP平分∠AOB，画法的依据是：HL．故答案为：HL．【变式61】如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（

）A．CE=BC B．AB=DEC．∠A=∠D D．∠ABC=∠E【答案】B【分析】本题考查运用“HL”证明三角形全等，根据“HL”证明三角形全等的条件即可解答．【详解】解：∵DC⊥AE，∴∠ACB=∠DCE=90°，当AB=DE时，在Rt△ABC和RtAB=DEAC=DC∴Rt△ABC≌故选：B【变式62】（2425八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=∠BAC，F为边AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据题意得到∠CBF=∠ABC=90°，AB=BC，即可证明Rt△ABE≌【详解】证明：∵∠ABC=90°，F为边AB延长线上的一点，∴∠CBF=∠ABC=90°，∵∠BCA=∠BAC，∴AB=BC．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌【变式63】（2425八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段AB上，且AD=BC，分别过点C，D在AB的异侧作FC⊥AB，ED⊥AB，连接EF交AB于点G，(1)求证：DE=CF．(2)求证：G是线段AB的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．（1）由FC⊥AB，ED⊥AB得∠FCB=90°，∠EDA=90°，证明（2）证明△FCG≌△EDGAAS，得到CG=DG【详解】（1）∵FC⊥AB，∴∠FCB=90°，∵AD=BC，AE=BF，∴△FCB≌△EDAHL∴DE=CF；（2）∵DE=CF，∠FCG=∠EDG=90°，∠FGC=∠EGD，∴△FCG≌△EDGAAS∴CG=DG，即G是线段AB的中点．【题型7灵活选用方法证明三角形全等】【例7】（2425八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】我们知道：三角形全等的判定方法有：“SSS，SAS，ASA，AAS”，面对于“SSA”，课本第38页提供了如下材料：思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不一定成立．那么，什么情况下，“SSA”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．【初步思考】我们不妨设这个对应角为∠B，然后对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了△ABC≌△DEF．请聪明的你完成李明的推理过程；(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①如图4，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，则△ABC≌△DEF的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；②如图4，△ABC和△DEF是不全等的，∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：．【答案】(1)HL(2)见解析(3)①见解析；②∠B≥∠A或∠B+∠C=90°【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）首先得出△CBG≌△FEH，则CG=FH，进而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出（3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；②利用①中方法可得出当∠B≥∠A或∠B+∠C=90°【详解】（1）解：∵∠B=∠E=90°，∴△ABC和△DEF是直角三角形，在Rt△ABC和RtAC=DF∴Rt△ABC≌Rt故答案为：HL；（2）证明：在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E，且∠B,∠E都是钝角，如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角，∴180°−∠ABC=180°−∠DEF,∴∠CBG=∠FEH,在△CBG和△FEH∠CBG=∠FEH∴△CBG≌△FEH∴CG=FH,在Rt△ACG和Rt△DFHAC=DF∴Rt△ACG≌Rt∴∠A=∠D,在△ABC和△DEF中∠A=∠D∴△ABC≌△DEF；（3）解：①在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E，且∠B,∠E都是锐角，如图，△DEF和△ABC不全等；②由①图可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，∴∠A>∠B∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，则△ABC≌△DEF．当∠B+∠C=90°，即∠A=∠D=90°，在Rt△ABC和RtAC=DF∴Rt△ABC≌Rt故答案为：∠B≥∠A或∠B+∠C=90°．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方式解题的关键．【变式71】（2425八年级上·山西晋城·期末）如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与△ABC全等的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可．【详解】解：A、根据“ASA”可证明与原三角形全等，不符合题意；B、根据“SAS”可证明与原三角形全等，不符合题意；C、根据“SSS”可证明与原三角形全等，不符合题意；D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意；故选：D．【变式72】（2425七年级下·北京·期中）下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有．①AB=3，BC=7，CA=11，②∠A=30°，∠B=70°，AC=3；③∠A=30°，AB=7，BC=11；④∠A=30°，AB=14，BC=9．【答案】②【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解．【详解】解：①AB=3，BC=7，CA=11，3+7<11，不能画出三角形；②∠A=30°，∠B=70°，AC=3，根据“AAS”能画出唯一的△ABC；③∠A=30°，AB=7，BC=11，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC；④∠A=30°，AB=14，BC=9，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC；综上所述，能画出唯一的△ABC的有②，故答案为：②．【变式73】（2425九年级上·贵州遵义·期中）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=FC，∠A=∠EDF，请从以下三个选项中①AB=DE，②∠ACB=∠DFE，③∠B=∠E，选择一个选项作为已知条件，使得△ABC≌△DEF．(1)你选择添加的选项是______（填序号）；(2)添加条件后，请证明△ABC≌△DEF．【答案】(1)①或②或③(2)见详解【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，（1）添加①或②或③均可证明全等；（2）由平行线的性质可得∠D=∠A，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等．【详解】（1）解：选择①或②或③（2）选择①，证明如下：∵AD=FC，∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中AC=DF∠A=∠EDF∴△ABC≌△DEFSAS选择②，证明如下：∵AD=FC，∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中∠A=∠EDF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEFASA选择③，证明如下：∵AD=FC，∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中∠A=∠EDF∠B=∠E∴△ABC≌△DEFAAS【题型8二次证明三角形全等】【例8】（2425八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形ACBD中，E是对角线AB上一点，AC=AD，BC=BD，求证：△AEC≌△AED．【答案】证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明△ABC≌△ABDSSS得出∠CAB=∠DAB，再证明△AEC≌△AED【详解】证明：在△ABC和△ABD中，AC=ADBC=BD∴△ABC≌△ABDSSS∴∠CAB=∠DAB，在△AEC和△AED中，AC=AD∠CAE=∠DAE∴△AEC≌△AEDSAS【变式81】（2425七年级下·全国·随堂练习）如图，△ABC和△DCB的顶点A和D在BC的同侧，AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O，试说明：△ABO≌△DCO．下面是小明的解答过程：解：在△ABC和△DCB中，因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以△ABC−△OBC≌△DCB−△OBC，所以△ABO≌△DCO．请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来．