专题262反比例函数的性质（举一反三讲义）数学人教版九年级下册

专题26.2反比例函数的性质（举一反三讲义） 【人教版】TOC\o"13"\h\u【题型1比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 2【题型2比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 6【题型3求反比例函数中参数的取值范围】 8【题型4求反比例函数中的图形面积】 11【题型5由图形面积求反比例函数的比例系数】 15【题型6反比例函数中的规律探究】 20【题型7反比例函数中的存在性问题】 25【题型8反比例函数中的动点问题】 32知识点1反比例函数的性质反比例函数y=x，y的取值范围x≠0，y≠k的符号k＞0k＜0图像图像的位置两支曲线分别位于第一、三象限两支曲线分别位于第二、四象限性质在每一象限内，y的值随x值的增大而减小在每一象限内，y的值随x值的增大而增大知识点2比例系数k的几何意义过y=kx(k≠0)连接y=kx(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到k的值，进而确定函数表达式.知识点3反比例函数与一次函数图象的交点问题1.反比例函数y=k1当k1k2>2.反比例函数y=k1联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程k2x2+bx−k1=0．判别式3.观察反比例函数y=k1x(k1（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标x1，x（2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集．如图所示，当k1>0，k2>0时，k2x+b>k1【题型1比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】【例1】（2425八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数y=kx的图象经过点Am,y1，Bm−1,y2，下列说法一定正确的是（A．若k>0，m>0，则y1>y2 B．若k>0C．若k<0，m>0，则y1>y2 D．若k<0【答案】D【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵k>0，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当0<m<1时，m−1<0，∴点A(m,y1)∴y当m>1时，m−1>0，∴点A(m,y1)∵m>m−1，∴yB、∵k>0，∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵m<0，m−1<0，∴点A(m,y1)∵m>m−1，∴yC、∵k<0，∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，当0<m<1时，m−1<0，∴点A(m,y1)∴y当m>1时，m−1>0，∵m>m−1，∴yD、∵k<0，∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵m<0，m−1<0，∴点A(m,y1)∵m>m−1，∴y故选：D．【变式11】（2425九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果反比例函数的图象经过点A2，−2023、Bx1，y1，CxA．y1<y2 B．y1【答案】A【分析】先根据反比例函数y=kx图象经过点A2，−2023得出k=2×−2023<0【详解】解：∵反比例函数y=kx图象经过点∴k=2×−2023∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x∴Bx1，∴y故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．【变式12】（2425九年级上·河南开封·阶段练习）若点A(−7,y1),B(−4,y2),C(5,y【答案】y【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据k>0判断出反比例函数在一、三象限，由横坐标大小判断即可．【详解】解：∵k=5>0，∴反比例函数在一、三象限，故在每个象限内，y随x的增大而减小，∵A(−7,y∴y3故答案为：y3【变式13】（2425九年级下·广东佛山·期中）已知Am+3,2，B3,m3，C(x1,y1)，D(xA．y2<y1<0 B．0<y【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出m=−6，从而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内，y随x的增大而增大，即可得到答案．【详解】解：∵Am+3,2，B3,m∴k=2m+3解得：m=−6，∴反比例函数y=−6x图象位于第二、四象限，且在第二象限内，y随∵C(x1,y1)，∴0<y故选：C．【题型2比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3【答案】x【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先确定反比例函数图象所在象限及单调性．根据y1<y2<0<y3判断点A、B在第四象限，点C【详解】∵反比例函数y=−2x，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵y3∴点Cx∴x3∵y1∴点A(x1,y1)，∴x1<x2，而第四象限的∴x3故答案为：x3【变式21】（2425八年级下·江苏无锡·期中）已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3【答案】x2<【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断k=−a2+1<0，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，【详解】解：∵a∴反比例函数y=−a2+1在每一象限内，y随x的增大而增大，∵y∴Ax1,y1∴x1>0，即x2故答案为：x2【变式22】（2425九年级上·河南漯河·期末）若点Ax1, −2, A．x1<x2<x3 B．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数解析式，求出x1【详解】解：当y=−2时，x1当y=3时，x2当y=6时，x3∵−2<−1<3，∴x2故选：D．【变式23】（2025·天津河西·一模）若点Ax1,−2,Bx2,1A．x3<xC．x1<x【答案】C【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可．【详解】解：∵反比例函数y=k∴反比例函数y=k∵Ax∴点A在第三象限，∴x1又∵1<2，∴x2∴x1故选：C．【题型3求反比例函数中参数的取值范围】【例3】（2425九年级下·河北邯郸·期中）如图，当反比例函数y=kxx>0的图象L将矩形ABCD的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则kA．12<k<15 B．10<k<14 C．4<k<10 D．15<k<16【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态．先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围．【详解】解：矩形内的整数点有3,3,∴当反比例函数图像经过点3,5时，此时k=3×5=15，当反比例函数图像经过点4,4时，此时k=4×4=16，∴15<k<16时，图像下方有点3,4,4,3,故选：D．【变式31】（2425九年级上·四川达州·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～4的整数），函数y=kxx>0的图象为曲线L，若曲线L使得T1A．8≤k≤12 B．8≤k<12 C．8<k≤12 D．8<k<12【答案】D【分析】先求出T1∼T4四个点的坐标，分别求出【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，∴T1∴当y=kxx>0过点T当y=kxx>0过点T∴若曲线L使得T1∼T4，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，故选D．【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据题意，求出各点的坐标，是解题的关键．【变式32】（2425九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A3,4，点B0,a，点C6,a，连接BC，过A点作双曲线y=mxx>0交线段BC于点D（不与点B、C重合），已知a>0，若【答案】2<a<4【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用a表示出D点坐标．即可求出BD和DC的长．再由线段BC与双曲线有交点且与点B、C不重合和BD>DC可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范围．【详解】解：由题意可知点A在双曲线上，∴将点A坐标代入双曲线解析式得：4=m解得：m=12．即双曲线解析式为y=12∵B0,a，C∴BC⊥y轴，∴D点纵坐标为a，将D点纵坐标代入双曲线解析式得：a=12即x=12∴D点坐标为12a∵线段BC与双曲线有交点且与点B、C不重合，∴0<12解得：a>2．∵BD=xD−xB∴12a∴a<4．综上可知2<a<4．故答案为：2<a<4．【变式33】（2425八年级下·江苏苏州·期中）如图，△ABC位于第二象限，BC=3,AC=3，直角顶点C在直线y=−x上，且点C的横坐标为−4，边BC、AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为【答案】−【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题，根据所给的信息观察图象是解题的关键．利用C的横坐标为−4，代入y=−x后求出C的坐标，再根据BC=3,AC=3，可得A和B的坐标，设直线OC与AB的交点坐标为E，求出E的坐标后，观察图象即可得到结果．【详解】解：∵C的横坐标为−4，∴把x=−4代入y=−x可得：y=4，∴C−4,4∵BC=3,AC=3，∴A−4,1，B设直线OC与AB的交点坐标为E，则E为AB的中点，如图所示：∴E−反比例函数图象经过A或B时，k=−4×1=−4，反比例函数经过点E时，k=−5由图像可得：双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为故答案为：−25【题型4求反比例函数中的图形面积】【例4】（2425九年级上·贵州六盘水·期末）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90∘，反比例函数y=7x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与A．73 B．72 C．7 【答案】D【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC=AC、AD=BD，设OC=a，BD=b，则点B的坐标为a+b,a−b，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a2−b2=7【详解】解：∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OC=AC，AD=BD，设OC=a，BD=b，则点B的坐标为a+b,a−b，∵反比例函数y=7x在第一象限的图象经过点∴a+ba−b∴S△OAC故答案为：2．【变式41】（2425九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数y=2x与y=4x在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A．1 B．34 C．12 【答案】C【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设P(a,4a)，即可求出点A【详解】解：∵P在反比例函数y=4设P(a,4∴点A，点B在反比例函数y=2∵过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，∴A(a∴AP=a∴S△ABP故选C．【变式42】（2025·湖北·模拟预测）如图，点A在双曲线y=9x上，点B在双曲线y=7x上，且AB∥y轴，则【答案】1【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，理解k的几何意义是解题的关键．延长AB交x轴于点D，连接OA、OB，根据反比例函数中k的几何意义得到S△OBD，S△OAD，从而推出S△AOB，最后利用△ABC【详解】解：延长AB交x轴于点D，连接OA、OB，如图∵点A在双曲线y=9x上，点B在双曲线y=7x∴S△OBD∴∵△ABC和△AOB同底等高∴故答案为：1．【变式43】（2425九年级上·江苏南通·期末）如图，平面直角坐标系中，点P为双曲线y=−6xx<0上任意一点，将点P绕原点O顺时针旋转60°后得到点P′，点Q在直线y=−3x上．若A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接PP′，得到△POP′是等边三角形，得到点P,Q重合，设Qm,n，得到mn=−6，n=−3m，得出O【详解】解：如图，连接PP∵将点P绕原点O顺时针旋转60°后得到点P′，∴PO=P′O∴△POP∴PO=P∵P∴点P,Q重合，设Qm,n∵点P为双曲线y=−6xx<0上任意一点，点Q∴mn=−6，n=−3∴m2=2∴O∵△P∴设OQ边上的高为h，∴h=sin∴S故选：B．【题型5由图形面积求反比例函数的比例系数】【例5】（2425八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O顺时针旋转60°至OB，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点B，过A作AC∥OB交反比例函数的图象于点C，若△OBC的面积为32，则A．−62 B．−322 C．【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义，根据AC∥BO，得到S△BCO=S△BAO，是解答本题的关键．过B点作BE⊥AO于E点，根据旋转的性质可得：OA=OB，∠AOB=60°，即有△OAB是等边三角形，则有AE=EO=1【详解】解：过B点作BE⊥AO于E点，如图，根据旋转的性质可得：OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∵BE⊥AO，∴AE=EO=12∵AC∥∴S△BCO∵S△BCO∴k=3∵反比例函数图象在第二象限，则k<0，∴k=−32故选：D．【变式51】（2425八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点C在y轴上，AB垂直于x轴、点A、B分别在函数y=k1xk1>0，x>0和y=k【答案】−2【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接OA、OB，利用平行线间的距离相等，即可求得S△AOB=S△ABC=5，利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD=12k1【详解】解：连接OA、OB，∵△ABC的顶点C在y轴上，AB垂直于x轴，∴AB∥∴S△AOB∵点A、B分别在函数y=k1x∴S△AOD=1∴12∴k1∵k1②−①得2k故答案为：−2．【变式52】（2425九年级下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x−1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1=2xk>0,x>0，y2=kxx<0的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E

A．2 B．32 C．1 【答案】D【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点D作DF⊥y轴于点F，先根据一次函数的解析式求出B0,−1,OB=1，再根据反比例函数y1=2xk>0,x>0【详解】解：如图，过点D作DF⊥y轴于点F，

对于一次函数y=1当x=0时，y=−1，即B0,−1∵点C位于反比例函数y1=2xk>0,x>0∴△COE的面积为12∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴12OB⋅DF=1，即∴DF=2，将x=−2代入一次函数y=12x−1∴D−2,−2将点D−2,−2代入反比例函数y2=故选：D．【变式53】（2425八年级下·山西临汾·期中）如图，平行四边形ABCD的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数y1=kx和y2【答案】−9【分析】延长CD交y轴于E，过点C，CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可得出矩形OGDE的面积为5，矩形CFOE的面积为k，结合平行四边形ABCD的面积为4，可得k值．【详解】解：延长CD交y轴于E，过点C，CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，如图所示：则CF∥根据反比例函数k的几何意义：矩形OGDE的面积为5，矩形CFOE的面积为k，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥∴四边形CDFG为平行四边形，∵平行四边形ABCD的面积为4，∴平行四边形CDFG的面积为4，∴k−5=4∵k<0，∴解得：k=−9，故答案为：−9．【点睛】本题考查了矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义找出S矩形ABEO=5【题型6反比例函数中的规律探究】【例6】（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线y=2x与直线y=2x相交于点A，B，在直线y=2x上取点A12,a1,B1−2,b1，A23,a2,B2−3,b2,A3【答案】508,【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据2025÷4=506⋅⋅⋅1，得出点C2025在矩形M【详解】解：根据题意可知：C1,C2,C3,C4在矩形M1∵2025÷4=506⋅⋅⋅1，∴点C2025在矩形M∴横坐标为507+1=508，把x=508代入y=2x得：∴C2025故答案为：508,1【变式61】（2025·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P

A．(218,1218) B．【答案】A【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论．【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=kx∴P1（1，1），∴k=1，∴在反比例函数的解析式为：y=1x∵B1是P1A的中点，∴P2A1=AB1=12∴OA1=2，∴P2（2，12同理，P3（22，12…∴Pn（2n1，12当n=19时，则有P19的坐标为：（218，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．【变式62】（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，y1=4x和y2=8x，点A1,a在y1=4x上，AB∥x轴交y2=8x于点B，B【答案】8,1【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出B、A1、B1、A2的坐标，即可得出B【详解】解：把A(1,a)代入y1=4即A(1,4)，所以B点的纵坐标是4，把y=4代入y2=8即B(2,4)，所以A1把x=2代入y1=4即A1所以B1把y=2代入y2=8即B1所以A2把x=4代入y1=4即A2所以B2把y=1代入y2=8即B2故答案为：(8,1)．【变式63】（2425九年级上·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数y=4x的图象上有A2,m、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD=12AC，点F1是CD的中点，连接AF1、BF1，得到△AF1B【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出A2,2，得到AC=2，OC=2，BD=1，进而求出B4，1，得到OD=4，则CD=2，根据梯形面积公式求出S四边形ACDB=3，再分别求出S△ACF1=1【详解】解：∵A2,m在反比例函数y=∴m=4∴A2,2∵AC⊥x轴，∴AC=2，OC=2∴BD=1∵BD⊥x轴，∴点B的纵坐标为1，在y=4x中，当y=4∴B4∴OD=4，∴CD=2，∴S四边形∵点F1是CD∴CF∴S△AC∵点F2是D∴DF∴CF∴S△AC∵F3为C∴DF∴CF∴S△AC……，以此类推可知，S△ACFn∴S△A故答案为：2n【题型7反比例函数中的存在性问题】【例7】（2425八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数y=3x经过点Am,63m>0，过点A作AB∥y轴，交反比例函数于点B（点B在点A下方），连接OB

(1)求m的值；(2)求反比例函数解析式；(3)在直线OA上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形？若有，请求出点C的坐标；若没有，请说明理由．【答案】(1)m=6(2)y=(3)C2,23【分析】（1）将Am,63m>0（2）设点B的横坐标为6,y，根据△AOB的面积为123得到12×663−y=12（3）设Cn,3n，根据题意分∠ABC=90°【详解】（1）解：∵正比例函数y=3x经过点∴6∴m=6；（2）解：∵AB∥y轴，△AOB的面积为12∴设点B的横坐标为6,y∴AB=6∴1∴y=2∴B设反比例函数解析式为y=将B6,23∴k=12∴反比例函数解析式为y=12（3）解：∵点C在直线OA上∴设C如图所示，当∠ABC=90°时，即AB⊥BC

∵AB∥y轴，∴BC⊥y轴∴3∴n=2∴C2,2如图所示，当∠ACB=90°时，

∴A∴6−n整理得，n解得n=3或6（舍去）∴C3,3综上所述，点C的坐标为C2,23或【点睛】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【变式71】（2425九年级上·四川成都·期末）一次函数y=12x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A2,a在直线BC上，过点(1)求出a，k的值；(2)在x轴上是否存在点D，使得∠BOA=∠OAD，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)a=3，k=6(2)D2,0或【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：（1）把点A2,a代入一次函数解析式，求出a的值，进而求出k（2）分点D在x轴的正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：把点A2,a代入y=12∴A2,3∴k=2×3=6；（2）解∶①当点D在x轴的正半轴上时，∵∠BOA=∠OAD，∴AD∥OB，∴AD⊥x轴，∵A∴D2,0②当点D在x轴的负半轴上时，设AD交y轴与点F，∵∠BOA=∠OAD，∴OF=AF，设F0,m∴m2=4+3−m∴F0,设直线AD的解析式为：y=kx+136，把A2,3∴y=5∴当y=0时，x=−26∴D−∴D2,0或D【变式72】（2425九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图象相交于Am,2，B(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求出点B的坐标及△AOB的面积；(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)B−2,−1，(3)存在，0,3或0,−3【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；（3）设P0,a，表示出A【详解】（1）解：把Am,2，代入y=x+1，得：m+1=2∴m=1，∴A1,2∴k=1×2=2，∴y=2（2）联立y=x+1y=2x，解得：x=1∴B−2,−1∵y=x+1，当x=0时，y=1，∴C0,1∴S△AOB（3）存在，设点P0,a∵A1,2，B∴AP∵点B，A，P为顶点的三角形是以AB为直角边的直角三角形，①当AP为斜边时：1+a−22=18+4+②当BP为斜边时：1+a−22+18=4+∴P0,3或P【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．【变式73】（2425九年级上·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x+b与反比例函数y=kx的图象交点于点An,6与x轴交于点C，y(1)求k、b的值；(2)连接AO，求△AOC的面积；(3)在反比例函数图象上存在一点D，若点Q为坐标轴上的一动点，当以A、B、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标．【答案】(1)k=−12，b=4；(2)△AOC的面积为12；(3)点Q−4,0或0【分析】（1）由直线y=−x+b图象过点An,6，与y轴交于点B0,4，可求出b=4，n=−2，则有点A−2,6（2）由（1）得一次函数解析式为y=−x+4，则点C4,0（3）分当点Q在y轴上时和当点Q在x轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解；【详解】（1）解：∵直线y=−x+b图象过点An,6，与y轴交于点B∴4=−0+b，6=−n+b，∴b=4，n=−2，∴点A−2,6∵反比例函数y=kx的图象过点∴k=−2×6=−12；（2）解：如图，由（1）得b=4，∴一次函数解析式为y=−x+4，当y=0时，x=4，∴点C4,0∴OC=4，∴△AOC的面积为12（3）解：当点Q在y轴上时，设点Q0,c，点D∵以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴BQ和AD是对角线，且互相平分，∴0+02∴m=2，∴点D2∴4+c2∴c=−4，∴点Q0当点Q在x轴上时，设点Qt,0，点D若AQ、BD为对角线，则6+02=4−∴m=−6，t=−4，∴点Q−4若AD、BQ为对角线，则0+42=6−∴m=6，t=4，∴点Q4,0此时点Q在AB的延长线上，不合题意舍去，当AB、PQ为对角线时，同理可求点P−1.2,10综上所述：点Q−4,0或0【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键.【题型8反比例函数中的动点问题】【例8】（2425八年级下·四川眉山·期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为10,0，点B的坐标为10,8．(1)求直线AC的解析式；(2)已知直线AC与双曲线y=mx(m≠0)在第一象限内有一交点Q为5,n；若动点P从A点出发，沿折线AO→OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求△OPQ的面积S与点P(3)在（2）的条件下，当S≥10时，求t的取值范围．【答案】(1)y=−(2)S＝(3)0≤t≤2.5或7≤t≤9【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标，然后利用待定系数法求函数的解析式；（2）分类讨论：当0≤t≤5时，OP=10−2t，当5<t≤9时，OP=2t−10；利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可；（3）分类讨论：当0≤t≤5时，当5<t≤9时，结合函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵点A的坐标为10,0，点B的坐标为10,8，∴C0,8设直线AC的解析式为y=kx+bk≠0，将A10,0、10k+b=0b=8，解得：k=−∴直线AC的解析式为：y=−4（2）∵Q5,n在直线AC∴n=−4又∵双曲线y=mxm≠0∴m=5×4=20，∴y=20②当0≤t≤5时，OP=10−2t，过Q作QD⊥OA，垂足为D，如图所示：∵Q5,4∴QD=4，∴S=1当5<t≤9时，OP=2t−10，过Q作QE⊥OC，垂足为E，如图所示：∵Q5,4∴QE=5，∴S=1综上所述，S＝如图，（3）把S=10代入S=20−4t，得10=20−4t，t=2.5．把S=10代入S=5t−25，得10=5t−25，t=7．结合图象可知，当S≥10时，t的取值范围是0≤t≤2.5或7≤t≤9．【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求函数解析式，画函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，分类讨论是解题的关键．【变式81】（2425九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知A13,y1，B3,y2为反比例函数y=1x图象上的两点，动点Px,0

A．13,0 B．43,0 C．【答案】D【分析】连接AB交x轴于点P′，当A、B、P共线时取等号，即点P与点P′重合，此时线段AP与线段BP之差达到最大，利用待定系数法求得直线AB的表达式，然后令【详解】解：连接AB交x轴于点P′，则AP−BP≤AB，当A、B、P共线时取等号，即点P与点P′重合，此时线段AP与线段

∵A