专题21函数的概念（举一反三讲义）（原卷版）

专题2.1函数的概念（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1函数的概念】 2【题型2同一函数的判断】 3【题型3具体函数的定义域的求解】 4【题型4抽象函数的定义域的求解】 4【题型5函数值域的求解】 5【题型6已知函数定义域、值域求参数】 5【题型7已知函数类型求解析式】 6【题型8已知f(g(x))求解析式】 6【题型9分段函数及其应用】 71、函数的概念考点要求真题统计考情分析(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数(3)了解简单的分段函数，并会应用2022年浙江卷：第14题，5分2023年北京卷：第11题，5分2025年北京卷：第7题，4分函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.预计明年高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域为主，主要在选择题中考查.知识点1函数的定义域、值域的求法1．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.2．求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.3．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.知识点2函数解析式的四种求法1．函数解析式的四种求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.知识点3分段函数的应用1．分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【题型1函数的概念】【例1】（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数y=fx图象的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①③【变式11】（2425高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（

）A． B． C． D．【变式12】（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（

）A．A=R,B=yC．A=x∣x≥0【变式13】（2425高一上·黑龙江大庆·期中）若函数y=f(x)的定义域为M＝{x|−2≤x≤2}，值域为N＝A． B．C． D．【题型2同一函数的判断】【例2】（2025·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．f(x)=x(x2+1)x2+1C．f(x)=1，g(x)=x∘ D．f(x)=x【变式21】（2425高一下·河北保定·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．f(x)=1,g(x)=x0 C．f(x)=x+1,g(x)=x2−1【变式22】（2425高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：①fx=x2x,gx=x2A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【变式23】（2425高一上·江西赣州·开学考试）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（

）A．fx=1C．f(x)=1,g(x)=x0 【题型3具体函数的定义域的求解】【例3】（2025·湖南岳阳·模拟预测）函数y=x+1−xA．0,1 B．0,1 C．0,+∞ D．【变式31】（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y=f(x+1)x−1A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪【变式32】（2025·海南·模拟预测）函数f(x)=A．−∞,1 B．1,2 C．−∞,2 D．−∞,1【变式33】（2425高一下·浙江金华·阶段练习）函数fx=xA．−∞,−4∪C．−4,0∪0,1 【题型4抽象函数的定义域的求解】【例4】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数y=f2x的定义域为−2,4，则y=fx−fA．−2,2 B．−2,4C．−4,4 D．−8,8【变式41】（2425高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数fx的定义域为−1,1，则函数gx=A．−1,1 B．1 C．1,3 D．1,2【变式42】（2025·江西九江·模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−1,5，则函数y=f2xA．0,3 B．−3.3 C．[−3,3【变式43】（2425高一上·云南楚雄·期末）已知函数fx的定义域为−1,2，则函数gx=A．−1,1 B．1 C．1,3 D．−1,3【题型5函数值域的求解】【例5】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数fx=4x22xA．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【变式51】（2425高一上·辽宁朝阳·期末）函数fx=x−1A．−∞,−52 B．−∞,−【变式52】（2425高一上·北京·期中）下列函数中，值域为0,4的是（

）A．fx=x−1，x∈1,2,3,4,5C．fx=16−【变式53】（2025·北京·高考真题）已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得fA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型6已知函数定义域、值域求参数】【例6】（2425高一上·江苏常州·期中）若函数fx=1kx2+kx+1A．(0,4) B．(0,4] C．0,4 D．k<0或k>4【变式61】（2526高一上·全国·课后作业）函数y=3xkx2+2kx+1的定义域为RA．−∞,0∪1,+∞B．−∞【变式62】（2425高一上·北京·阶段练习）已知函数fx=x2−4x+3在m,n上的值域为0,1A．1,2 B．2−1,2 C．1,22 【变式63】（2425高一上·贵州毕节·期末）已知函数fx=1a−1x2+A．1,9 B．1,8 C．1,9 D．1,8【题型7已知函数类型求解析式】【例7】（2425高一上·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足f0=2，fA．x2+x+2 B．x2−2x+2 C．【变式71】（2425高一上·天津·期中）已知函数fx=kx+b为一次函数，且f(2)=−1,f(4)=3，则f−1A．3 B．−3 C．−7 D．7【变式72】（2324高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．5【变式73】（2425高一上·全国·课后作业）图象是以1,3为顶点且过原点的二次函数fx的解析式为（A．fx=−3xC．fx=3x【题型8已知f(g(x))求解析式】【例8】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−x2A．1x−12−1C．4x−12−1【变式81】（2025·辽宁沈阳·二模）已知fx−1=ex，则A．e B．2e C．e2 【变式82】（2425高一上·湖南衡阳·期中）函数fx满足若fgx=9x+3，gxA．fx=3x C．fx=27x+10 【变式83】（2425高一上·浙江·期中）已知函数fx−2=x−4x+5A．f(x)=x2+1(x≥0)C．f(x)=x2(x≥0)【题型9分段函数及其应用】【例9】（2025·吉林长春·三模）已知函数f(x)=2x,x>0f(x+2),x≤0，则A．1 B．2 C．4 D．8【变式91】（2025·江西上饶·一模）设fx=x,0<x<13x−1,x≥1A．12 B．13 C．19【变式92】（2025·江西·模拟预测）已知函数fx满足fx+1=fx2,fA．1 B．4 C．5 D．2024【变式93】（2025·吉林·模拟预测）已知fx=2x−1,x<1,x2A．1 B．4 C．1或4 D．2一、单选题1．（2025·山东·一模）函数fx=x−1A．4,+∞ B．C．−2,4 D．−2．（2025·山西·模拟预测）已知ffx=x2A．0 B．1 C．0或1 D．23．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（A．f(x)=x B．f(x)=lnx C．f(x)=4．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数fx=x2的定义域A⊆R，值域B=9A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在R上的函数fx满足对于任意实数x，y均有fxy=yfx，且2f2A．675 B．1350 C．2025 D．40506．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的x,y∈R，都有f(x+y+f(x))=6x+2y+3，则一次函数y=f(x)的解析式为（

）A．y=x+1 B．y=2xC．y=2x+1 D．y=x7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数fx的定义域为0,3.记fx的定义域为集合A,f2x−1的定义域为集合BA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．（2025·云南红河·三模）定义在R上的函数y=fx满足：∀x∈R都有fx+1−fx≤x，fx+2−fA．45 B．46 C．91 D．92二、多选题9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（

）A．函数vx=xB．函数vx=xC．函数y=fx的图象与直线x=2024D．函数fx=x−110．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数f(x)=2x2A．f(x)+f(−x)=0 B．f(x)≤2C．f(x)+f(1x)=211．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)⋅f(y)=f(x+y)+f(2−x)⋅f(2−y)，且f(0)=1，f(−2)=0，则（

）A．f(x)=f(−x)B．f(x+4)=f(x)C．f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)+⋯+f(2026)=1012D．[f(x)]三、填空题12．（2025·上海·三模）函数y=2x−3+113．（2025·上海宝山·二模）已知函数fx=x2+214．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数fx满足：∀x，y∈R都有fx+fy=ffx+y四、解答题15．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域：(1)f(x)=3x(2)f(x)=1(3)f(x)=6(4)f(x)=4−x16．（2425高一下·广西柳州·开学考试）（1）已知函数fx是一次函数，且ffx（2）