第三章二次根式（举一反三讲义）数学湘教版2024八年级上册（原卷版）

第三章二次根式（举一反三讲义）全章题型归纳 【湘教版2024】TOC\o"13"\h\u【培优篇】 4【题型1二次根式的概念及其有意义的条件】 4【题型2利用二次根式的性质化简】 4【题型3最简二次根式】 4【题型4求二次根式中的参数值】 5【题型5二次根式的运算或化简求值】 5【拔尖篇】 5【题型6复合二次根式的化简】 5【题型7利用分母有理化求值】 6【题型8二次根式的规律探究】 7【题型9二次根式的新定义】 8【题型10二次根式的实际应用】 9知识点1二次根式的概念1.定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数．2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）．知识点2二次根式有无意义的条件当例如：因为x2+2x+1=知识点3二次根式的性质1.二次根式a具有双重非负性：被开方数2.(a)2=a3.a2=a如(±拓展：(a)2运算结果(aa的取值a≥0任意实数作用①用来去根号，化简二次根式；②可用a=①用来去根号，化简二次根式；②将根号外的非负因式平方后移到根号内.例如：若a≥0,则2a=知识点4二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即a∙例如：2∙2.二次根式的乘法法则的拓展（1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即a∙（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即ma知识点5积的算术平方根1.积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即ab=运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式．2.该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即abc=3.应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用ab=a∙b(a知识点6二次根式的除法1.二次根式的除法法则两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即ab2.二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即a÷3.二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即ma知识点7商的算术平方根商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即ab知识点8最简二次根式1.被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式．2.化为最简二次根式的步骤（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；（2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方；（3）利用ab（4）分母有理化，化去分母中的根号；（5）约分化简，整理成最简二次根式．知识点9二次根式的加减运算二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行：知识点10二次根式的混合运算1.运算法则与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．2.实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算．3.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式．【培优篇】【题型1二次根式的概念及其有意义的条件】【例1】（2425八年级下·山东德州·阶段练习）已知3x−6+6−3x+y=2025，则2025xy的值为（）A．20253 B．20252 C．2024【变式11】（2425八年级下·广东东莞·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．−2 B．33 C．5 D．【变式12】（2425八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知：y=x−4+4−x3【变式13】（2425八年级下·湖南岳阳·开学考试）若x、y为实数，且满足24−x+y=x−4，则【题型2利用二次根式的性质化简】【例2】（2425八年级下·福建龙岩·阶段练习）把分式a−1a，根号外的字母aA．a B．−a C．−a D．【变式21】（2425九年级上·四川乐山·阶段练习）若xy>0，则−x2yA．x−y B．−xy C．−xy 【变式22】若m<0，则把式子mxA．−m2x B．−m2x【变式23】若1575n是整数，写出一个正整数n的可能值．【题型3最简二次根式】【例3】（2425八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知x2+1是最简二次根式，且与5可以合并，则x的值为（A．2 B．−4 C．4 D．±2【变式31】（2425八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A．18 B．63aC．a2−2a+4 【变式32】将式子35−a（a为正整数）化为最简二次根式后，可以与8合并．写出一个符合条件a的值．【变式33】已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x【题型4求二次根式中的参数值】【例4】若2−72=a−b7，其中a，【变式41】二次根式2b+1与a−1的和为0，则a+b的值为．【变式42】（2025九年级下·河北·专题练习）若m2=22，则整数m【变式43】已知10−n是整数，则正整数n所有可能值共有个，它们的和为．【题型5二次根式的运算或化简求值】【例5】已知x=2+1，(1)x2(2)xy【变式51】计算：(1)3+3(2)45÷(3)18÷(4)3+3【变式52】（2425八年级上·四川达州·阶段练习）已知x=2−3，求代数式7+【变式53】已知x+y=−5，xy=4，求xy【拔尖篇】【题型6复合二次根式的化简】【例6】观察下列各式：5+268+27=(1+7)+21×7=【变式61】（2425九年级下·山东滨州·开学考试）2−3+4−2A．23−3 B．23−1【变式62】设a为−13+5−3−A．75 B．22 C．2−1【变式63】（2425八年级上·浙江温州·期末）化简23−610+43−22A．3+2 B．3−22 C．3+22【题型7利用分母有理化求值】【例7】（2425八年级上·四川成都·期中）阅读下面计算过程：121315试求：(1)17+6(2)求11+(3)若a=15−2【变式71】通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化．如12(1)将下列二次根式分母理化：2−312=(2)甲、乙两人化简x−yx甲：x−y乙：x−y请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（）A．甲对乙错

B．甲错乙对

C．甲、乙全对

D．甲、乙全错(3)已知有理数a、b满足a2+1+b2【变式72】（2425八年级上·河北保定·期中）【阅读材料】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如35，23，23+1这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35【解决问题】(1)仿照上面的解题过程，化简：17(2)计算：12(3)已知a=13+2，【变式73】（2425八年级上·重庆·期中）例如：2+1①若a是3的小数部分，则3a的值为3②比较大小：2024−③变形：13④计算23+⑤已知a=m+1−mm+1+m，b=m+1以上结论正确的是（

）A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤【题型8二次根式的规律探究】【例8】化简：18+11+1A．1 B．223 C．22【变式81】（2425九年级下·山东烟台·期末）观察下列等式：①3+22=2+12；②5+2【变式82】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：1+13=3+13=4×13A．2024 B．20252 C．2023 D．【变式83】（2425八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题：①1+1②1+1③1+1…请你利用发现的规律，计算：1+11【题型9二次根式的新定义】【例9】（2425八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）定义：我们将a+b与a+ba−b因为18−x−11−x×18−x+11−x=（1）已知：20−x+4−x=8，则x（2）计算：13【变式91】（2425八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数a,b，定义运算※如下：当a<b时，a※b=2a+b，当a≥b时，a※b=2a−b，例如A．43−52 B．−52 C．【变式92】（2425八年级下·四川绵阳·阶段练习）定义：因为a+ba−b=a2−b2【变式93】对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m①18⊗2=22②11⊗2③a⊗b⋅以上说法中正确的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型10二次根式的实际应用】【例10】如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为8π，宽为2πA．12π B．18π C．24π【变式101】如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1=18，S2【变式102】（2425八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16df，其中v表示车速（单位：kmh），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d=2