高数考试 试卷及答案

高数考试试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数$y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定义域是（）A.$x\geq1$B.$x>1$C.$x\leq1$D.$x<1$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.$\infty$3.函数$y=x^3$的导数是（）A.$y'=3x^2$B.$y'=x^2$C.$y'=3x$D.$y'=3$4.若$f(x)$的一个原函数是$x^2$，则$f(x)$为（）A.$2x$B.$x^3$C.$x$D.$2$5.$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$6.曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A.1B.2C.3D.47.函数$y=\cosx$的周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$8.当$x\to0$时，$x^2$是比$x$的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小9.若$y=e^{2x}$，则$y'$等于（）A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^x$D.$2e^x$10.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.$e$D.$\infty$二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=x^3$2.以下极限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$3.下列求导正确的是（）A.$(x^n)'=nx^{n-1}$B.$(\sinx)'=\cosx$C.$(\lnx)'=\frac{1}{x}$D.$(e^x)'=e^x$4.不定积分的性质有（）A.$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$为常数）B.$\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx$C.$(\intf(x)dx)'=f(x)$D.$\intf'(x)dx=f(x)+C$5.函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导的必要条件有（）A.函数在点$x_0$处连续B.函数在点$x_0$处有极限C.左导数等于右导数D.函数在点$x_0$处的切线存在6.下列哪些是无穷小量（）A.当$x\to0$时，$x$B.当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}$C.当$x\to0$时，$\sinx$D.当$x\to\infty$时，$x$7.曲线$y=f(x)$的拐点可能出现在（）A.$f''(x)=0$的点B.$f''(x)$不存在的点C.$f'(x)=0$的点D.函数的间断点8.定积分$\int_{a}^{b}f(x)dx$与哪些因素有关（）A.被积函数$f(x)$B.积分下限$a$C.积分上限$b$D.积分变量$x$9.以下哪些是基本初等函数（）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数10.函数$y=f(x)$的极值点可能是（）A.$f'(x)=0$的点B.$f'(x)$不存在的点C.区间端点D.函数的间断点三、判断题（每题2分，共20分）1.函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内是单调递减的。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_0$处一定连续。（）3.函数$y=\tanx$的定义域是$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ$。（）4.常数的导数为0。（）5.若$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上一定连续。（）6.函数$y=\sqrt{x}$是幂函数。（）7.无穷大量与无穷小量的乘积一定是无穷小量。（）8.曲线$y=x^3$的凹凸性在整个定义域内不变。（）9.定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量的符号无关。（）10.若$f(x)$为奇函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.求函数$y=x^3-3x^2+1$的单调区间。答案：先求导$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'>0$，得$x<0$或$x>2$，此为单调递增区间；令$y'<0$，得$0<x<2$，此为单调递减区间。2.计算$\intx^2e^xdx$。答案：用分部积分法，设$u=x^2$，$dv=e^xdx$，则$du=2xdx$，$v=e^x$。$\intx^2e^xdx=x^2e^x-2\intxe^xdx$，再对$\intxe^xdx$用分部积分，最终得$e^x(x^2-2x+2)+C$。3.求曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(1,1)$处的切线方程。答案：先求导$y'=-\frac{1}{x^2}$，在点$(1,1)$处切线斜率$k=-1$。由点斜式得切线方程为$y-1=-(x-1)$，即$x+y-2=0$。4.简述函数极限的定义。答案：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（不论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\tox_0$时的极限。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$y=\frac{1}{x-1}$的图像特征。答案：定义域为$x\neq1$。当$x\to1^+$时，$y\to+\infty$；当$x\to1^-$时，$y\to-\infty$。在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上分别单调递减，以$x=1$为垂直渐近线，$y=0$为水平渐近线。2.如何利用导数判断函数的最值？答案：先求函数定义域，再求导找出驻点和导数不存在的点。然后判断这些点两侧导数的正负确定单调性，进而确定极值点。最后比较极值点和区间端点的函数值大小，最大的为最大值，最小的为最小值。3.定积分与不定积分有什么联系和区别？答案：联系：不定积分是所有原函数，定积分是