高数考试易错题及答案

高数考试易错题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.当\(x\to0\)时，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小3.设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)等于（）A.\(f'(x_0)\)B.\(f'(h)\)C.\(f'(x_0+h)\)D.\(f'(0)\)4.曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线斜率为（）A.1B.2C.3D.45.函数\(f(x)=x^3-3x\)的驻点是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=1\)和\(x=-1\)D.\(x=0\)6.\(\int\cosxdx\)等于（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)7.定积分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值为（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.28.若\(f(x)\)的一个原函数是\(\sinx\)，则\(f(x)\)等于（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)9.函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,1)\)处对\(x\)的偏导数为（）A.1B.2C.3D.410.级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收敛的B.发散的C.条件收敛的D.绝对收敛的答案：1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.A8.A9.B10.B二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=|x|\)2.下列极限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续的条件是（）A.\(f(x_0)\)有定义B.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在C.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)处可导4.下列函数中，在其定义域内可导的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=|x|\)D.\(y=e^x\)5.下列积分中，正确的有（）A.\(\intx^3dx=\frac{1}{4}x^4+C\)B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)6.下列级数中，收敛的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)7.二元函数\(z=f(x,y)\)的两个偏导数\(z_x\)和\(z_y\)存在，则（）A.\(z\)一定可微B.\(z\)不一定可微C.\(z\)在该点连续D.\(z\)在该点不一定连续8.下列曲线中，渐近线存在的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{x}{x-1}\)D.\(y=\lnx\)9.对于函数\(y=f(x)\)，下列说法正确的有（）A.驻点可能是极值点B.极值点一定是驻点C.导数不存在的点可能是极值点D.极值点处导数一定为010.下列等式成立的有（）A.\((\intf(x)dx)'=f(x)\)B.\(\intf'(x)dx=f(x)+C\)C.\(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)D.\(\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)\)答案：1.ABD2.AB3.ABC4.ABD5.ABCD6.ACD7.BD8.AC9.AC10.ABCD三、判断题（每题2分，共20分）1.函数\(y=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定义域是\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)\)不存在，则\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）3.函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处可导，则一定在该点连续。（）4.若函数\(y=f(x)\)在区间\((a,b)\)内\(f'(x)>0\)，则\(y=f(x)\)在\((a,b)\)内单调递增。（）5.函数\(y=x^3\)在\(R\)上有极值。（）6.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)。（）7.若\(f(x)\)是奇函数，则\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）8.二元函数\(z=f(x,y)\)的两个二阶混合偏导数\(z_{xy}\)和\(z_{yx}\)一定相等。（）9.幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收敛半径\(R\)可以是\(0\)、正数或\(+\infty\)。（）10.函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分就是该函数所表示曲线与\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)所围成图形的面积。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题（每题5分，共20分）1.求极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。答案：利用重要极限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，当\(x\to0\)时，\(u\to0\)，则\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}3\cdot\frac{\sin3x}{3x}=3\)。2.求函数\(y=x^3-3x^2+5\)的单调区间。答案：先求导\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此为单调递增区间；令\(y'<0\)，解得\(0<x<2\)，此为单调递减区间。3.计算不定积分\(\intxe^xdx\)。答案：用分部积分法，设\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，则\(du=dx\)，\(v=e^x\)。由分部积分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。4.求函数\(z=x^2+y^2\)在点\((1,2)\)处的全微分。答案：先求偏导数\(z_x=2x\)，\(z_y=2y\)。在点\((1,2)\)处，\(z_x(1,2)=2\)，\(z_y(1,2)=4\)。全微分\(dz=z_xdx+z_ydy\)，所以在点\((1,2)\)处\(dz=2dx+4dy\)。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的渐近线情况。答案：垂直渐近线：令分母\(x-1=0\)，得\(x=1\)，所以\(x=1\)是垂直渐近线。水平渐近线：\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平渐近线。2.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^p}\)的敛散性（\(p>0\)）。答案：当\(p>1\)时，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收敛，原级数绝对收敛；当\(0<p\leq1\)时，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)发散，但原级数满足莱布尼茨定理条件，条件收敛。3.讨论二元函数\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的极值情况。答案：先求偏导数\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，解得驻点\((1,-2)\)。再求二阶偏导数，\(A=z_{xx}=2\)，\(B=z_{xy}=0\)，