专题03等腰三角形（期中复习讲义）八年级数学上学期浙教版2024

专题03等腰（边）三角形（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律轴对称图形的识别掌握轴对称图形的定义，学会识别常见轴对称图形及对称轴数量。基础题，选择/填空为主，难度低，易因忽略“完全重合”条件或漏数对称轴出错。轴对称的性质掌握轴对称的性质，学会利用性质找对称点、补全轴对称图形。高频基础题，常考“找对称点坐标”，易因“垂直平分”理解不深出错。轴对称与折叠问题掌握折叠问题的本质，学会利用折叠性质列等式，求线段长度、角度。中档题，常结合矩形、正方形折叠，易因折叠后对应关系找错出错。等腰三角形的三线合一掌握“三线合一”内容，学会利用“三线合一”证明线段相等、角相等或垂直。高频考点，解答题证明/计算为主，易因忽略“等腰三角形”前提（非等腰三角形不适用）出错。等腰三角形的等边对等角掌握“等边对等角”性质，会利用该性质计算等腰三角形的内角。基础题，常结合三角形内角和定理，易因混淆“腰与底”对应的角出错。等腰三角形的定义掌握等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），学会识别等腰三角形，区分腰、底、顶角、底角。基础题，多结合其他考点（如性质、判定）考查，难度低，易因腰和底区分错误影响后续计算。等腰三角形的性质掌握等腰三角形的核心性质，学会综合运用性质解决线段、角度问题。高频基础题，贯穿选择、填空、解答题，是等腰三角形相关题目的核心，易因性质混淆（如与等边三角形性质混淆）出错。等边三角形的性质掌握等边三角形的性质，学会利用性质计算边长、角度。中档题，易因忽略“三角均为60°”或“三边相等”的特殊性出错。等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法（两边相等、等角对等边），学会根据已知条件（边或角）判定三角形是否为等腰三角形。高频考点，解答题证明为主，易因“等角对等边”的条件（需在同一三角形内）忽略而出错。等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法（三边相等、三角均为60°、有一个角为60°的等腰三角形），学会根据边或角的条件判定等边三角形。中档题，选择/填空/解答题小问，易因漏用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”这一简便判定方法出错。将军饮马问题掌握将军饮马问题的解题思路，学会在直线上找一点，使该点到两定点距离和最小。高频中档题，常结合三角形、四边形背景，易因找错对称点（如对称点找反）导致路径计算错误。等腰三角形上最短路径问题掌握等腰三角形中最短路径的求解方法，学会求等腰三角形内一点到各顶点/边的最短距离和。中档偏难题，填空/解答题小问，易因未结合等腰三角形的对称性（如对称轴上的点到两腰距离相等）简化计算出错。等腰三角形与全等三角形综合掌握等腰三角形性质/判定与全等三角形判定的结合运用，学会通过证明全等推导等腰三角形的边/角关系，或反之。高频解答题，拉分点之一，易因全等条件找错（如忽略等腰三角形的边/角等量关系）或证明逻辑混乱出错。等边三角形与全等三角形综合学会利用等边三角形的“三边相等、三角60°”构造全等条件，解决证明、计算问题。中档偏难题，解答题为主，常考“构造等边三角形证明全等”，易因未利用60°角或等边的特殊性构造全等出错。知识点01轴对称与轴对称图形1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。知识点02轴对称的性质由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。知识点03等腰三角形的概念1.定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.知识点04等腰三角形的性质1.性质①两腰相等②两底角相等（简称等边对等角）③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。证明题目中的写法：①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD2.等腰三角形的构造“角平分线+平行线”构造等腰三角形①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形“角平分线+垂线”构造等腰三角形如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分线+中线”构造等腰三角形如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示(5)“平行+等腰”构造等腰三角形已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线知识点05等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）知识点06等边三角形的概念（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°（3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。题型一轴对称图形的识别【典例1】（2223八年级下·浙江·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）A． B．【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，∴不是轴对称图形，故A选项不符合题意；B选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，∴不是轴对称图形，故B选项不符合题意；C选项：沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，∴不是轴对称图形，故C选项不符合题意；D选项：如下图所示，沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，∴是轴对称图形，故D选项符合题意；故选：D．【变式1】下面四个图形中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，据此解答即可．【详解】解：A.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C.选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D.选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．题型二轴对称图形的性质【典例1】（2425八年级上·浙江宁波·期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B=35°，A．90° B．85° C．95° D．105°【答案】C【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：△ABC≌△A′B【详解】解：由题意得：△ABC≌△A∴∠C=∠C∴∠A=180°−50°−35°=95°，故选：C．【变式1】（2425八年级上·浙江台州·期中）如图，AB=AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD=α0°<α<180°，∠ACB=β，则下列关系正确的是（

A．a−β=90° B．α+β=180°C．α=3β D．α+2β=180°【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和的运用，解决问题的关键是作出正确辅助线．连接BE，过A作AF⊥CD于F，依据∠BAC=∠EAC，∠DAF=∠EAF，即可得出∠CAF=12∠BAD【详解】解：如图，连接BE，过点A作AF⊥DC于点F，∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，∴AC垂直平分BE，∴AB=AE，∠BAC=∠EAC，∠ACB=∠ACE，∵AB=AD，∴AD=AE，又∵AF⊥CD，∴∠DAF=∠EAF，∴∠CAF=1又∵∠AFE=90°，∴Rt△ACF中，∠ACE=90°−1∴∠ACB=∠ACE=90°−1∴β=90°−1∴α+2β=180°，故选：D．【变式2】（2223八年级上·浙江丽水·期中）如图，△ABC三个顶点都在小方格的顶点上，请在2×2的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）

【答案】见解析【分析】本题主要考查了网格作图——画成轴对称图形．解题的关键是熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称．根据成轴对称的定义，图1，作点A，B关于对角线CM所在直线为对称轴的对称点D，E，连接DE，DC，CE，即可；图2，作点B，C关于对角线AN所在直线为对称轴的对称点F，G，连接AF，AG，FG，即可（答案不唯一）．【详解】如图1，作点A，B关于对角线CM所在直线为对称轴的对称点D，E，连接DE，DC，CE，△DEC即为所求作（答案不唯一）；如图2，作点B，C关于对角线AN所在直线为对称轴的对称点F，G，连接AF，AG，FG，△AFG即为所求作（答案不唯一）．题型三轴对称与折叠问题【典例1】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（

）A．∠1与∠3互余 B．∠2=90°C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，由折叠的性质可得2∠1+∠3=180°，求出∠1+∠3=90°，即可判断A；求出∠2=180°−∠1+∠3=90°即可判断B；根据【详解】解：由折叠的性质可得2∠1+∠3∴∠1+∠3=90°，∴∠1与∠3互余，故A正确，不符合题意；∴∠2=180°−∠1+∠3∵∠1≠∠2，∴AE不平分∠BEF，故C错误，符合题意；∵∠1+∠AEC=180°，∴∠1与∠AEC互补，故D正确，不符合题意；故选：C．【变式1】如图，把一张长方形纸片ABCD沿MN折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置，C′D′交BC于点F，若∠AMD

A．108° B．72° C．144° D．126°【答案】A【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键．先根据平角的定义求出∠D'MD，然后根据折叠的性质求出∠【详解】解：∵∠AMD∴∠D∴∠D∵D′∴∠D∴∠MNC故选：A．【变式2】（2526八年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线DE分别交△ABC边AC、AB于点D、E，将△ABC沿DE翻折，使点A恰好与点C重合．若AB=3，BC=2，则△BCE的周长是．【答案】5【分析】本题考查翻折变换，关键是根据翻折得出AE=CE．根据翻折的性质，结合三角形周长定义，数形结合求解即可得到答案．【详解】解：∵将△ABC沿DE翻折，使点A恰好与点C重合，∴AE=CE，∵AB=3，BC=2，∴C△BCE故答案为：5．【变式3】如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG=56°【答案】68°/68度【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后根据平角的定义计算∠AEG的大小．【详解】解：∵ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠GFE=56°，由折叠可得，∠GEF=∠DEF=56°，∴∠DEG=112°，∴∠AEG=180°−112°=68°．故答案为：68°．【变式4】（2425八年级上·浙江金华·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°．(1)如图1，D为BC边上一定点（不与点B，C重合），将△ABD沿AD翻折至△AB′D，连结B′C(2)如图2，当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折至△AB′D①当AB′⊥BC②当△DB′C【答案】(1)∠BAD=∠DC(2)①55°或35°；②∠BAD的度数为1003°或1403°【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=20°，由折叠的性质可得∠BAD=∠B（2）①由等腰三角形的性质可得∠BAB′=∠CA②分别求出△DB【详解】（1）解：∵AB=AC,∠BAC=140°，∴∠ABC=∠ACB=20°，∵将△ABD沿AD翻折至△AB∴∠BAD=∠B∴∠B∴∠AB∴∠DCB（2）①如图，当点B′在BC∵AB′∴∠BAB∴∠BAD=∠B∴∠DCB∵AB∴∠AB当点B′在BC∵AB′∴∠BAH=∠CAH=70°，由折叠可得AB=AB∴∠AB②当点B′在BC设∠BAD=x，则∠DCB∴∠ADC=x+20°，∴∠ADB=160°−x=∠ADB∴∠CDB∴∠DB若DC=CB′时，则∴140°−2x=x+40°，∴x=100若DB′=∴x=140°−2x，∴x=140当DC=DB′时，则∴x=x+40°，则方程无解，当点B′在BC设∠BAD=x，由翻折可得∠B∴∠CAD=140°−x,∠B∴∠AB∴∠CB∵∠BAD=x=∠B∴∠ADB=160°−x=∠ADB∴∠CDB∴∠DCB若DC=CB′时，则∴2x−140°=140°−x，∴x=280若DB′=∴180°−x=2x−140°，∴x=320当DC=DB′时，则∴180°−x=140°−x，则方程无解，同理可得：∠BAD的度数为2803°或综上所述：∠BAD的度数为1003°或1403°或题型四等腰三角形的三线合一【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（

）

A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积，由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD垂直平分BC，∴BP=CP，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S△ABC∴BQ=BC⋅AD故选：D．【变式1】（2425八年级下·河南郑州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M是线段A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】连接MA、AD，如图所示，由AB=AC，D为BC边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，根据S△ABC=12×BC×AD=18，BC=6，求出AD=6，因为EF是AB垂直平分线，则MA=MB，△BDM周长=BD+DM+MB=BD+DM+MA，当A、M、D三点共线时，DM+MA最小，值为AD，又BD=【详解】解：连接MA、AD，如图所示：∵AB=AC，D为BC边的中点，∴由等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC，∵BC=6，△ABC的面积为18，即S△ABC则18=1解得AD=6，∵EF是AB垂直平分线，∴MA=MB，∴C△BDM则当A、M、D三点共线时，DM+MA取得最小值，这个最小值就是AD的长度，又∵D为BC边的中点，BC=6，∴BD=1∴△BDM周长最小值为BD+AD=9，故选：C．【点睛】本题考查动点最值问题两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将△BDM的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值．【变式2】（2526八年级上·江苏·期中）如图，在△ABC中，BC=AC，∠B=37°，∠ECM=21°，AF⊥CM，垂足为F．若AF=a，则AB的长为．(用含a的代数式表示)【答案】2a【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，三线合一，画出辅助线以及熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解题关键．作CN⊥AB于N，先根据三角形内角和定理，得出∠BAC=∠CAF，再得出△NCA≌△FCA，进而得出AB=2AN=2a即可求解．【详解】解：如图，作CN⊥AB于N，在△ABC中，AC=BC，∠B=37°，∴∠BAC=∠B=37°，∠ACB=180°−37°×2=106°，AN=BN，又∵∠ECM=21°，∴∠ACF=180°−∠ECM−∠ACB=180°−21°−106°=53°，∵AF⊥CM，CN⊥AB∴∠AFC=∠ANC=90°，∴∠CAF=90°−∠ACF=37°，∴∠CAF=∠BAC，在△NCA和△FCA中∠ANC=∠AFC∠BAC=∠CAF∴△NCA≌△FCA，∴AN=AF=a，∴AB=2AN=2a．故答案为：2a．【变式3】（2324八年级上·安徽芜湖·期中）如图，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为．【答案】55°/55度【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点．先求出∠OCA=110°，再根据线段垂直平分线的性质可得OC=AC,CD⊥OA，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．【详解】解：∵∠ACB=70°，∴∠OCA=110°，∵CD是OA的垂直平分线，∴OC=AC,CD⊥OA，∴∠ACD=1故答案为：55°．【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE相交于点H，AE=BE．(1)求证：△AEH≌△BEC；(2)若AH=4，求BD的长．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．（1）先根据角的代换求得∠DAC=∠EBC，再由“ASA”可证△AEH≌△BEC；（2）由全等三角形的性质可得AH=BC，由等腰三角形的性质可得答案．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°，∠AEB=∠BEC=90°，∴∠DAC=∠EBC，在△AEH与△BEC中∠DAC=∠EBCAE=BE∴△AEH≌△BECASA（2）解：∵△AEH≌△BEC，∴AH=BC=4，∵AB=AC

AD⊥BC，∴BC=2BD，∴AH=2BD=4，∴BD=2.【变式5】（2425八年级上·湖南衡阳·期中）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAC的度数；(3)求证：∠ABF=∠ADC，并直接写出线段CD、BC、BF之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)45°(3)见解析，CD=2BF+BC【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．（1）根据SAS证明△ABC≌△ADE即可；（2）根据∠CAE=90°，AC=AE，求出∠E=45°，根据全等三角形性质得出∠BCA=∠E=45°，根据AF⊥BC，得出∠CFA=90°，即可求出∠CAF=45°；（3）延长BF到G，使得FG=FB，连接AG，由△BAC≌△DAE得∠CBA=∠EDA，证明△CGA≌△CDAAAS，得出CG=CD，根据CG=CB+BF+FG=CB+2BF【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAESAS（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥CB，∴∠CFA=90°，∴∠FAC=45°；（3）解：CD=2BF+BC；理由如下：延长BF到G，使得FG=FB，连接AG，如图所示：∵AF⊥BG，∴AB=AG，∴∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，∴在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠G=∠CDA∴△CGA≌△CDAAAS∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF，∴CD=2BF+BC．

题型五等腰三角形的等边对等角【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC，若CE=5，则BC等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得∠B=72°，再由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，从而得到∠ACE=∠A=36°，然后根据三角形外角的性质可得∠BEC=∠B，从而得到BC=CE，即可求解．【详解】解：∵AB=AC,∠A=36°，∴∠B=1∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠ACE=∠A=36°，∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=CE，∵CE=5，∴BC=5．故选：B【变式1】在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB边上任意一点(点D不与A、B两点重合)，过点D作AB的垂线，与直线AC交于点E，若∠AED=50°，则∠B的度数为（

）A．60° B．70° C．70°或20° D．60°或30°【答案】C【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，根据垂线的定义得到∠ADE=90°，从而求得∠A，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键．【详解】解：依题意，①如图1，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°．又∵∠AED=50°，∴∠A=40°．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=1②如图2，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°．又∵∠AED=50°，∴∠BAC=90°+50°=140°，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=1综上所述：∠B=70°或20°故选：C．【变式2】（2324八年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知∠B=20°，∠C=25°，若PM和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ=．【答案】90°/90度【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由PM和QN分别垂直平分AB和AC得到PA=PB，QA=QC，进而得出∠2=∠B,∠1=∠C，即可解答．【详解】解：如图：∵PM和QN分别垂直平分AB和AC，∴AP=PB,AQ=QC，∴∠2=∠B,∠1=∠C，∵∠B=20°,∠C=25°，∴∠3=∠BAC−∠1−∠2=180°−∠B−∠C−∠1−∠2=180°−2(∠B+∠C)=90°，故答案为：90°．【变式3】如图，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若△ABC与△BCD的周长之差为10，求AE的长．【答案】(1)∠BCD=30°；(2)AE=5．【分析】（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；（2）根据DE垂直平分AC得DA=DC，AC=2AE，根据由△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BC+BD+DA=AC+BC+BD+DC，△BCD的周长为BC+BD+DC，又△ABC与△BCD的周长之差为10，则求出AC的长即可；此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°−40°∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴在△DAC中，∠DCA=∠A=40°，∴∠BCD＝∠ACB−∠ACD=30°；（2）解：∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，AC=2AE，由△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BC+BD+DA=AC+BC+BD+DC，△BCD的周长为BC+BD+DC，∵△ABC与△BCD的周长之差为10，∴AC=10，∴AE=5．【变式4】如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到OD=OE，再证明△BOD≌△COEASA得到OB=OC，则可证明∠OBC=∠OCB【详解】证明：∵AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，∴OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，又∵∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COEASA∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．【变式5】（2425八年级上·山东济宁·期中）在△ABC中，AD是中线．(1)如图1，若AB=8，AC=5，求AD的取值范围；(2)如图2，AE是△ACD的中线，若CA=CD，求证：AB=2AE．【答案】(1)3(2)见详解【分析】（1）延长AD到点F，使FD=AD，连接FB，则AF=2AD，而∠FDB=∠ADC，BD=CD，即可根据“SAS”证明△FDB≌△ADC，则FB=AC=5，而AB=8，由AB−FB<AF<AB+FB，然后可求解；（2）延长AE到点H，使HE=AE，连接HD，则AH=2AE，而CA=CD，所以DB=CD=CA，∠CDA=∠CAD，可证明△HED≌△AEC，得DH=CA=DB，∠HDE=∠C，再证明△ADH≌△ADB，进而问题可求解．【详解】（1）解：如图1，延长AD到点F，使FD=AD，连接FB，则AF=2AD，∵AD是△ABC的中线，AB=8，AC=5，∴BD=CD，在△FDB和△ADC中，BD=CD∠FDB=∠ADC∴△FDB≌△ADCSAS∴FB=AC=5，∵AB−FB<AF<AB+FB，即3<AF<13，∴3<2AD<13，∴32（2）证明：如图2，延长AE到点H，使HE=AE，连接HD，则AH=2AE，∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，CA=CD，∴DB=CD=CA,DE=CE,∠CDA=∠CAD，∵∠AEC=∠DEH，∴△HED≌△AECSAS∴DH=CA=DB，∠HDE=∠C，∴∠ADH=∠CDA+∠HDC=∠CAD+∠C，∵∠ADB=∠CAD+∠C，∴∠ADH=∠ADB，∵AD=AD，∴△ADH≌△ADBSAS∴AH=AB，∴AB=2AE．【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式6】如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC．(1)求证：BE⊥AC；(2)求∠C【答案】(1)见解析(2)67.5°【分析】本题考查全等三角形的性质，角平分线的定义，等边对等角，掌握全等三角形的性质是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质得到∠BFD=∠ACD，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠DBF＋∠BFD=90°，进而得到∠BEC=90°解题即可；（2）根据全等得到BD=AD，然后得到∠ABD=∠BAD，然后利用角平分线的定义和三角形的内角和的定理解题即可．【详解】（1）证明：∵△BDF≌△ADC，∴∠BFD=∠ACD，∵AD为△ABC的高线，即AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∴∠DBF＋∠BFD=90°，∴∠DBF＋∠ACD=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC；（2）解：∵△BDF≌△ADC，∴BD=AD，∴∠ABD=∠BAD，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=180°−∠ADB∵BE平分∠ABC，∴∠DBF=1∵由（1）得∠BEC=90°，∴∠C=90°−∠DBF=90°−22.5°=67.5°．题型六等腰三角形的定义【典例1】（2425八年级上·广东肇庆·期中）等腰三角形周长是29，其中一边长是7，则等腰三角形的底边长是（

）A．11 B．15或7 C．7 D．15【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系．【详解】解：①当7为底边时：两腰之和为29−7=22，∴每条腰长为22÷2=11，此时三边为7、11、11，满足三角形三边关系，成立；②当7为腰时：底边长29−7×2=15，此时三边为7、7、15，不满足三角形三边关系，不成立；综上可知：底边长为7，故选：C．【变式1】（2021八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果等腰三角形两边长是6cm和4cm，那么它的周长是（A．10cm B．12cm C．14cm或16【答案】C【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系；根据题意可分当边长6cm为腰长和当边长4cm为腰长时，然后进行求解即可．【详解】解：由题意可分：当边长6cm为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为6cm，6cm，4cm，符合三角形三边关系，所以它的周长为6+6+4=16cm；当边长4cm为腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为6cm，4cm，4cm，符合三角形三边关系，所以它的周长为6+4+4=14cm；故选C．【变式2】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（

）A．70° B．55° C．80°或100° D．70°或55°【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质的理解和掌握，由于不明确70°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要分情况进行分析求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个角是70°，∴当顶角为70°时，那么底角为：180°−70°÷2=55°当底角为70°时，那么另一个底角为70°，故选：D．【变式3】（2223八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1=度．【答案】55.5【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出∠B=∠ACB=69°，根据三角形外角性质得到∠ACD=111°，根据角平分线定义求解即可．【详解】解：∵AB=AC，∠A=42°，∴∠B=∠ACB=1∴∠ACD=∠B+∠A=111°，∵CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠1=1故答案为：55.5．题型七等腰三角形的性质【典例1】（2425八年级上·四川德阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC是锐角，以为斜边在△ABC内部作一个等腰直角三角形△BCD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若F为AC的中点，AB=5，DF=1，则BE=（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】C【分析】延长EF，过C作CG⊥EF，垂足为G，根据全等三角形的判定和性质，则△AEF≌△CGF，推出CG=AE，EF=FG；根据等腰直角三角形的性质，等量代换，则∠CDG=∠DBE，根据全等三角形的判定和性质，则△BDE≌△DCG，得到BE=DG，DE=CG，设BE=x，根据边的关系代换得到AE=x−2，再根据AB=AE+BE=5，即可．【详解】解：延长EF，过C作CG⊥EF，垂足为G，∵DE⊥AB，∴∠AEF=∠BED=90°，∵F为AC的中点，∴AF=CF，在△AEF和△CGF中，∠AFE=∠CFG∠AEF=∠CGF∴△AEF≌△CGFAAS∴CG=AE，EF=FG；∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，∠BDC=90°，∴∠EDB+∠CDG=90°，∵∠EDB+∠EBD=90°，∴∠CDG=∠EBD，在△BDE和△DCG中，∠BED=∠DGC∠DBE=∠CDG∴△BDE≌△DCGAAS∴BE=DG，DE=CG，设BE=x，∴DG=x=DF+FG=1+EF=1+DE+DF=2+DE=2+CG=2+AE，∴AE=x−2，∵AB=AE+BE=5，∴x−2+x=5，∴x=7∴BE=3.5．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，得到相等的边．【变式1】（2324八年级下·广西河池·期中）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，G是CE的中点．求证：(1)DG⊥CE；(2)∠B=2∠BCE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键．（1）连接DE，根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质解答即可；（2）由（1）知：△CDE是等腰三角形，则BE=DE=CD，根据三角形外角的性质可得∠B=∠EDB=2∠BCE．【详解】（1）证明：连接DE，∵CE是△ABC的中线，∴DE是△ABD的中线，∵AD是高，∴∠ADB=90∵DE是△ABD的中线，∴DE=1∵DC=BE，∴DC=BE=DE，∴△EDC是等腰三角形，∵G是CE的中点，∴DG⊥CE．（2）∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，∴∠EDB=2∠BCE，∴∠B=2∠BCE．【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）根据题意，则∠ACG=∠BCG=45°，∠CAF=∠CBF=45°，等量代换，则∠CAF=∠BCG，根据全等三角形的判定和性质，即可；（2）延长CG交AB于H，连接AG，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到CH是AB的垂直平分线，则AH=BH，AG=BG，根据平行线的判定和性质，则AD∥CG，∠D=∠EGC，根据∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，推出∠D=∠DAG，根据全等三角形性质，则△AFC≌△CGB，得到CF=BG，根据E为AC边的中点，全等三角形的判定和性质，则△ADE≌△CGEAAS【详解】（1）证明，如下：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∵CG平分∠ACB交BD于点G∴∠ACG=∠BCG=45°，∴∠CAF=∠BCG，∵AC=BC，∠ACF=∠CBG，∴△AFC≌△CGBASA∴AF=CG．（2）证明，如下：延长CG交AB于H，连接AG，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH是AB的垂直平分线，∴AH=BH，AG=BG，∴∠ABG=∠GAB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∠DAB=90°，∴∠D=∠EGC，∵∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，∴∠D=∠DAG，∴DG=AG=GB，∵△AFC≌△CGB，∴CF=BG，∴DG=CF，∵E为AC边的中点，∴AE=CE，∵∠AED=∠CEG，∴△ADE≌△CGEAAS∴DE=GE，∴DG=2DE，∴CF=2DE．

【变式3】（2425八年级上·江苏南通·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若【答案】BC=10cm【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质、含30°的直角三角形性质．延长AD交BC于G，延长ED交BC于F，如图所示，由等腰三角形三线合一性确定AG⊥BC、BG=CG=12BC，再由等边三角形的判定与性质求出相关角度与线段长，在Rt△DGF中，由含30°的直角三角形性质得出GF=【详解】解：延长AD交BC于G，延长ED交BC于F，如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴由等腰三角形三线合一性可得AG⊥BC，AG是△ABC边BC上的中线，∴BG=CG=1∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEF是等边三角形，则∠EFB=60°，EF=BF=BE=7cm，∵DE=3cm，∴DF=EF−ED=7−3=4cm，在Rt△DGF中，∠EFB=60°，则∠GDF=30°，∴GF=12DF=2cm∴BC=2BG=10cm．题型八等边三角形的性质【典例1】如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为（

）A．15° B．20° C．30° D．40°【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，再根据等边对等角的性质求出∠E=∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠E的度数．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°，∴∠E=30°，故选：C．【变式1】如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE，则∠E=（

）A．20° B．25° C．10° D．15°【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用．根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到∠CDG=∠CGD=12∠ACB=30°【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CG=CD，∴∠CDG=∠CGD=1∵DF=DE，∴∠E=∠EFD=1故选：D．【变式2】如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，E是AD上一点．若∠CED=55°，则∠ABE=度．【答案】25【分析】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=35°=∠EBC，即可得出结论．【详解】解：∵三角形ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠CED=55°，∴∠ECB=35°=∠EBC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=25°．故答案为：25．【变式3】如图△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在CB延长线上．求证：(1)DB=CE；(2)求∠DBE的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是证明△ADB≌△AEC．（1）首先根据等边三角形的性质可得AD=AE，AB=AC，∠1=∠2=60°，再证明∠DAB=∠EAC，即可利用SAS判定△ADB≌△AEC，再根据全等三角形对应边相等可证出DB=CE．（2）由△ADB≌△AEC得∠ABD=∠C=60°，再由平角的定义求解即可．【详解】（1）证明：如图，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠1=∠2=∠C=∠ABC=60°，∴∠2+∠3=∠1+∠3，即∠DAB=∠EAC，在△ADB和△AEC中AD=AE∠DAB=∠EAC∴△ADB≌△AECSAS∴DB=CE．（2）解：由（1）知△ADB≌△AEC，∴∠ABD=∠C=60°，∵∠ABC+∠ABD+∠DBE=180°,且∠ABC=60°，∠ABD=60°，∴∠DBE=180°−60°−60°=60°．【变式4】如图，△ABC是等边三角形，延长BA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连结AE，CD，EA的延长线交(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠CFE的度数【答案】(1)证明见解析(2)∠CFE=60°【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质．（1）先证明AB=AC，∠ABC=∠CAB，可得∠ABE=∠CAD，再进一步证明△ABE≌△CADSAS（2）由等边三角形的性质可得∠ABC=60°，结合△ABE≌△CAD，可得∠E=∠D，再进一步解答即可．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB，∴∠ABE=∠CAD，∵AD=BE，∴△ABE≌△CAD（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△ABE≌△CAD，∴∠E=∠D，∴∠CFE=∠DAF+∠D=∠BAE+∠E=∠ABC=60°．题型九等腰三角形的判定解｜题｜技｜巧1.等角判定法（高频）：已知“两角相等”（如∠B=∠C），直接用“等角对等边”证AB=AC，判定为等腰三角形；2.三线逆用法：若“一个三角形中，一条线段既是中线又是高”（如AD是△ABC的中线且AD⊥BC），则AB=AC，判定为等腰；3.全等辅助法：缺角相等时，作角平分线/高，证三角形全等（如作AD平分∠BAC，证△ABD≌△ACD），得AB=AC。【典例1】已知∶如图DE∥BC,∠1=∠E．(1)求证：BE平分∠ABC．(2)三角形BDE是什么三角形？【答案】(1)见解析(2)等腰三角形【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键：（1）平行线的性质，得到∠E=∠2，等量代换，得到∠1=∠2，即可得到BE平分∠ABC；（2）等角对等边，得到BD=DE，即可得出结论．【详解】（1）解：∵DE∥BC，∴∠E=∠2，∵∠1=∠E，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC；（2）∵∠1=∠E，∴BD=DE，∴三角形BDE是等腰三角形．【变式1】如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F(1)求证：AD⊥CF；(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△ACF是等腰三角形，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定．（1）证明△CBF≌△ACDSAS，可得∠BCF=∠CAD，可证明∠CAD+∠GCA=90°（2）由（1）可得CF=AD，又因为BE垂直平分DF，可得AF=AD，可证明CF=AF，可知△ACF为等腰三角形．【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°，又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°，∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB，又∵D为BC的中点，∴CD=DB，∴BF=CF，在△CBF和△ACD中，BF=CF∠CBF=∠ACD=90°∴△CBF≌△ACDSAS∴∠BCF=∠CAD，又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，∴AD⊥CF；（2）解：△ACF是等腰三角形，理由如下：由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．【变式2】（2425八年级下·陕西榆林·期中）如图，在△ABD和△DCA中，AB=DC，AC交BD于点O，且AC=DB．求证：△AOD是等腰三角形．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据SSS证明△ABD≌△DCA，再根据全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，然后根据等腰三角形的判定即可得证．【详解】证明：在△ABD和△DCA中，∵AB=DC∴△ABD≌△DCASSS∴∠ADB=∠DAC，∴OA=OD，∴△AOD是等腰三角形．【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，CE=DB．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=50°时，求∠DEB+∠FEC的度数；(3)当∠EDF=60°时，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)115°(3)∠A=60°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=50°可求出∠ABC=∠ACB=65°，根据△DBE≅△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEB+∠FEC的度数；（3）可证△DEF是等边三角形，可得∠DEF=60°，由外角的性质可求∠B=∠C=60°，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，BE=CF∠ABC=∠ACB∴△DBE≌△ECFSAS∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE=∠FEC，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°∴∠B=1∴∠DEB+∠BDE=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°；（3）∵∠EDF=60°，DE=EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60°，∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE=∠CEF，∵∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，∴∠B=∠DEF=60°，∴∠C=∠B=60°，∴∠A=180°−∠B−∠C=60°．【变式4】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．(1)求证：△ABE为等腰三角形；(2)已知AC=13,BD=5，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；（1）由题意易得∠AFE=∠AFB=90°，∠EAF=∠BAF，然后根据三角形内角和可得∠AEF=∠ABF，进而问题可求证；（2）连接DE，由（1）可知AD垂直平分BE，则有BD=ED，然后可得∠EDC=∠C，则有CE=BD，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵BE⊥AD，∴∠AFE=∠AFB=90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠BAF，又∵在△AEF和△ABF中，∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，∴∠AEF=∠ABF，∴AE=AB，∴△ABE为等腰三角形；（2）解：连接DE，如图所示：∵AE=AB，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BE，∴BD=ED，∴∠DEF=∠DBF，∵∠AEF=∠ABF，∴∠AED=∠ABD，又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C，∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠EDC=∠C，∴EC=ED，∴CE=BD，∴AB=AE=AC−CE=AC−BD=8．题型十等边三角形的判定解｜题｜技｜巧1.等腰+60°法（高频）：已知“等腰三角形+一个角=60°”（无论顶角还是底角），直接判定为等边，如AB=AC且∠A=60°→AB=AC=BC；2.三角相等法：已知“三个角都相等”（如∠A=∠B=∠C=60°），直接判定；3.全等证边法：已知“一个三角形与等边三角形全等”（如△ABC≌△DEF，△DEF是等边），则△ABC是等边。【典例1】如图，AG、BG均是△AGB的两边，AG的垂直平分线DM交BG的垂直平分线EN于点H．(1)若△GMN的周长为15cm，求AB(2)若∠MHN=80°，求∠MGN的度数．(3)若M、N是线段AB的三等分点（点M在点N的左侧），直接判断△MGN的形状．【答案】(1)15cm(2)20°(3)△MGN是等边三角形【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．（1）利用线段垂直平分线的性质进行求解即可；（2）利用线段垂直平分线的性质得到∠AMD=∠GMD=∠HMN，∠BNE=∠GNE=∠HNM，然后利用三角形的内角和定理及平角的概念即可求解；（3）利用三等分点得出AM=MN=BN，再利用线段的垂直平分线的性质得出AM=MG,BN=NG，得出MG=MN=NG，即可得出结论．【详解】（1）解：∵DM垂直平分线段AG，EN垂直平分线段BG，∴AM=MG,BN=NG，∵△GMN的周长为15cm，即MG+MN+NG=15，∴AB=AM+MN+BN=15,∴AB的长为：15cm；（2）解：∵DM垂直平分线段AG，EN垂直平分线段BG，∴∠AMD=∠GMD=∠HMN,∠BNE=∠GNE=∠HNM，∴∠AMD+∠BNE=∠HMN+∠HNM=180°−∠MHN=100°，∴∠AMG+∠BNG=2∠AMD+∠BNE∴∠GMN+∠GNM=360°−∠AMG+∠BNG∴∠MGN=180°−∠GMN+∠GNM（3）解：△MGN是等边三角形，理由如下：∵M、N是线段AB的三等分点，∴AM=MN=BN，由（1）得AM=MG,BN=NG，∴MG=MN=NG，∴△MGN是等边三角形．【变式1】（2425七年级下·吉林·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分别为D,E，连接DE．求证：△CDE是等边三角形．【答案】见解析【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一．根据等边三角形三线合一推出CE=12BC,CD=12【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠C=60°，∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴CE=12BC∴CE=CD，∵∠C=60°，∴△CDE是等边三角形．【变式2】如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，AC=BD，CE=DF，若∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明△ACE≌△BDF(SSS)，得到∠AEC=∠BFD，进而有MF=ME，进而由∠FME=60°即可得证．【详解】证明：在△ACE和△BDF中，AC=BDAE=BF∴△ACE≌△BDF(SSS)，∴∠AEC=∠BFD，∴MF=ME，∵∠FME=60°，∴MFE是等边三角形．【变式3】（2425八年级上·天津·期中）在△ABC中，AB=AC．(1)尺规作图：在图1中作∠ABC的角平分线，交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；(2)如图2，在（1）条件，若BD⊥AC，求证：△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，熟记角平分线的作法，掌握等边三角形的判定方法是解题的关键．（1）根据角平分线的作法作出图形即可；（2）由（1）知，BD是∠ABC的角平分线，∠ABD=∠CBD，然后证明△ABD≌△CBDASA，所以AB=BC，则有AB=BC=AC【详解】（1）解：如图1所示，角平分线BD即为所求；（2）证明：由（1）知，BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBDASA∴AB=BC，又∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形．【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度数；(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．【答案】(1)40°(2)等边三角形，理由见解析【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）利用等边三角形的性质求出∠BAC的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ABC=∠C=∠BDC=80°，从而根据∠BDE=180°−∠BDC−∠ADE求解即可；（2）利用等腰三角形的性质求出∠ABD=60°，然后根据DF=BD证明△BDF是等边三角形即可．【详解】（1）解：在等边△ADE中，∠EAC=∠ADE=60°，∵∠EAB=2∠BAC，∴∠BAC=20°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=80°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=80°，∴∠BDE=180°−∠BDC−∠ADE=40°．（2）解：△BDF是等边三角形．理由如下：由（1）可得∠BDC=∠ACB=80°，∴∠CBD=180°−∠BDC−∠ACB=20°，∵∠ABC=80°，∴∠FBD=∠ABC−∠CBD=60°，∵DF=BD，∴△BDF是等边三角形．题型十一将军饮马问题解｜题｜技｜巧两点一线模型：目标：在直线l上找P，使PA+PB最小；步骤：①作A关于l的对称点A'；②连A'B，与l的交点即为P；③PA+PB=A'B（最短）；两点两线模型：目标：在l、m上找P、Q，使PA+PQ+QB最小；步骤：①作A关于l的对称点A'，B关于m的对称点B'；②连A'B'，交l于P、交m于Q；③PA+PQ+QB=A'B'；【典例1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，利用无刻度直尺作图．(1)画△A′B′C(2)在直线l上作点P，使AP+CP的值最小；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到AB、BC两边的距离相等．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．（1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得；（2）连接AC′，与直线l的交点即为点P，再证明△ACP为直角三角形，即可得（3）连接BB【详解】（1）解：如图，△A（2）解：如图，点P即为所求．（3）解：如图，点Q即为所求．【变式1】如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，利用无刻度直尺作图．(1)画△A′B′C(2)在直线l上作点P，使AP+CP的值最小，此时∠APC=；(3)在直线l上找一点Q，使点Q到AB、BC两边的距离相等．【答案】(1)见解析(2)见解析；90°(3)见解析【分析】本题考查了画轴对称图形、正方形的性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．（1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得；（2）连接AC′，与直线l的交点即为点P，再证明△ACP为直角三角形，即可得（3）连接BB【详解】（1）解：如图，△A（2）解：如图，点P即为所求．根据题意得：AC=12+32∴AC∴△ACP为直角三角形，且∠APC=90°；故答案为：90°（3）解：如图，点Q即为所求．【变式2】如图，已知△ABC．(1)请用尺规作图法作出BC的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E；(2)请用尺规作图法作出∠C的平分线CF，交AB于点F；(3)请用尺规作图法在BC上找一点P，使△PEF的周长最小．（注意：保留作图痕迹，不写作法）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决；（1）利用线段垂直平分线的作法得出BC的垂直平分线即可；（2）利用角平分线的作法得出即可；（3）由于△PEF的周长=PF+PE+EF，而EF是定值，故只需在BC上找一点P，使PF+PE最小，作出F关于BC的对称点为F′，连接E【详解】（1）解：如图所示：DE即为所求；（2）解：如图所示：CF即为所求；（3）解：如图所示：P点即为所求．题型十二等腰三角形上最短路径问题【典例1】如图，BD是等边△ABC边AC上的高，M，N分别是AB，AC上的两个定点，BM=AN=2cm，AD=4.5cm，若在BD上有一动点H，使MH+NH最短，则MH+NH的最小值为（A．5cm B．6cm C．8cm【答案】D【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题等知识，正确地画出图形找到MH+NH的最小值时点H的位置是解题的关键．作点M关于BD的对称点M′，连接M′N，则M′在BC上，M′N与【详解】解：∵△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，∴AB=AC=BC=2AD=9cm，BD平分∠ABC，∠C=60°，∴CN=AC−AN=7cm，作点M关于BD的对称点M′，连接M′N，则M′在BC上，M′BM'=BM=2cm，∴CM∴CM又∠C=60°，∴△M∴M′∴MH+NH的最小值为7cm．故选：D．【变式1】如图，等边△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F分别为AB，BC上的两个定点且BE=CF=3，DE=2，在CD上有一动点M使ME+MF最短，则ME+MF的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】在AB上找到E点关于CD的对称点E'，连接E'F交CD于点M，连接EM，推出ME+MF的最小值是E'F【详解】解：在AB上找到E点关于CD的对称点E'，连接E'F交CD于点M此时CD是EE∴ME=ME'，此时ME+MF取最小值，最小值为ME∵等边△ABC中，CD⊥AB，∴AD=BD=BE+DE=3+2=5，∴BE'=BD+D∵等边△ABC中，BC=AB=10，∠B=60°，又CF=3，∴BF=BC−CF=7=BE∴△BE∴E即ME+MF的最小值为7．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示．【变式2】（2526八年级上·江苏徐州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点M，N，D是BC的中点，P是MN上任意一点，连接PC，PD．若∠B=α，则当△PCD的周长取最小值时，∠CPD=．（用含α的代数式表示）【答案】180°−2α【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接AP．根据MN垂直平分AC，推出PA=PC，∠PAC=∠PCA，所以PC+PD=PA+PD，当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．据此解答即可．【详解】解：如图，连接AP．∵MN垂直平分AC，∴PA=PC，∠PAC=∠PCA，∴PC+PD=PA+PD，当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．∴△PCD周长最小值=PC+PD+CD=AD+CD．∵AB=AC，点D是边BC的中点，∴∠BAC=2∠CAD，∵∠CPD=∠PAC+∠PCA=2∠CAD，∴∠BAC=∠CPD，∴∠CPD=180°−2α．故答案为：180°−2α．【变式3】如图，等边△ABC（三边相等，三个内角都是60°的三角形）的边长为10cm，动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，0<t≤10，DC和BE交于点(1)在运动过程中，CD与BE始终相等吗？请说明理由；(2)连接DE，求t为何值时，DE∥(3)若BM⊥AC于点M，点P为BM上的点，且使PD+PE最短．当t=7时，PD+PE的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．【答案】(1)CD与BE始终相等，理由见解析．(2)t=5．(3)7【分析】（1）本题根据题干的条件证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形性质，即可解题．（2）本题考查几何动点问题及等腰三角形的性质，根据DE∥BC，推出∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED，得到AD=AE，结合（1）中DA=EC，等量代换得到AE=EC，再题意列出方程，即可求解．（3）本题考查利用将军饮马模型求线段和的最小值及等边三角形的判定和性质，作D点关于BM的对称点D′交BC于点D′，连接D′E，交BM于点P，再利用轴对称性确定线段DP+PE=D【详解】（1）解：CD与BE始终相等，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=CA，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，又∵动点D和动点E同时出发，分别以每秒1cm的速度由A向B和由C向A运动，∴DA=EC，∴△ADC≌△CEBSAS∴CD=BE，∴CD与BE始终相等；（2）解：连接DE，∵DE平行于BC，∴∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED=60°，∴AD=AE，由（1）可知，DA=EC，∴AE=EC，∴1×t=10−1×t，解得t=5．（3）解：∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，作D点关于BM的对称点D′交BC于点D′，连接D′∵DP=D′∴DP+PE=D∵t=7，∴AE=BD=BD′=3∴CD′=7∴△CD∴D∴PD+PE的最小值为7．【点睛】本题考查了等边三角形判定和性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、几何动点问题、将军饮马模型求线段和的最小值，解题的关键在于利用轴对称找出动点取得最小值的位置．题型十三等腰三角形与全等三角形综合【典例1】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A=∠ABE，若AC=10，BC=6，则BD的长为（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】D【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，则△BDC≌△EDC，得到DB=DE，BC=EC；根据等角对等边，则AE=BE，即可．【详解】∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°，在△BCD和△ECD中，∠BCD=∠ECDCD=CD∴△BCD≌△ECDSAS∴DB=DE，BC=EC，∵∠A=∠ABE，∴AE=BE，∵AC=10，BC=6，∴EC=6，AE+EC=10，∴AE=4，∵BE=ED+DB=2DB=4，∴DB=2．故选：D．【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，点E在CA上，连接BE，过A作AD⊥BE于D，∠DAE=∠ABD．(1)求∠CBD的度数；(2)连接CD，求证：AD(3)在（2）的条件下，若BD+BC=2AD，S△BCD=9，求【答案】(1)45°(2)见解析(3)CD=6【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活应用各性质定理是解题的关键．（1）设∠DAE=∠ABD=β，∠BAC=2α，根据等边对等角，以及三角形内角和等于180°，可得到∠ABC=90°−α，在Rt△ABD中，根据两锐角互余可得α+β=45°，进而根据∠CBD=∠ABC−∠ABD求解即可；（2）过C作CK⊥AD于K，证明△BAD≌△ACK(AAS)，得到AD=CK，从而根据三角形面积公式即可得证；（3）在BD上截取DJ=AD，连接AJ，CJ，则BC+BJ=DJ，通过证