专题11锐角三角函数（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册（原卷版）

专题1.1锐角三角函数教学目标1.借助相似直角三角形的性质，探索并理解锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的定义，能准确表述直角三角形中边角的比值关系；2.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能直接进行特殊角的三角函数计算；3.能在给定直角三角形中，根据边长求锐角的三角函数值，或根据三角函数值判断边的关系教学重难点1.重点（1）锐角三角函数（sinA、cosA、tanA）的概念建立；（2）30°、45°、60°角的三角函数值及应用。2.难点（1）理解“三角函数是锐角与比值的对应关系”，突破“边的比值与角的大小无关”的抽象认知；（2）特殊角三角函数值的推导过程（如利用等腰直角三角形、含30°的直角三角形性质）及记忆规律；（3）避免求三角函数值时“对边、邻边”的对应关系混淆。知识点01锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．注意：（1）正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．（2）sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．（4）由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0【即学即练】1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列式子中正确的是（

A．sinA=BCAB B．tanA=BCAB2．如图，在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，且a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则tanA等于（

）A．ab B．ba C．bc知识点02特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°注意：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．【即学即练】1．下列三角函数中，值为12的是（

A．cos30° B．tan30° C．sin45°2．计算：（1）tan45°=（2）sin60°=知识点03锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【即学即练】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AC的长为（

A．2sinα B．2cosα C．题型01锐角三角函数的概念【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为斜边AC的高，DA．sinA=ADABC．tanA=ABBC【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（

）A．sinA=bc B．tanB=ba【变式2】如图，△ABC中，∠C=90°，则∠A的正弦值可以表示为（

）A．ACAB B．ACBC C．BCAB【变式3】如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠B=50°,BC=70cm，则点C到AB的距离为（

A．70cos50° B．70sin50° C．题型02求角的函数值【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,AC=5，则sinB的值为（A．513 B．1213 C．512【变式1】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么下列等式正确的是（

A．sinA=35 B．cosA=34 【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=4题型03已知函数值求边长【典例3】如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（

）米．A．200cos20° B．200sin20° C．【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，sinB=23，则A．2 B．3 C．4 D．6【变式2】如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，cosA=35，AC=4，那么A．3 B．5 C．203 D．【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=8,tanA=43A．5 B．6 C．8 D．10题型04特殊角三角函数值【典例4】计算cos60°的值为（

A．−12 B．12 C．−【变式1】sin30°=（

A．12 B．1 C．2 【变式2】cos45°的值等于（

A．12 B．22 C．3【变式3】2tanA．12 B．32 C．23题型05同角三角函数的关系【典例5】在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，则【变式1】已知0°<α<90°，如果cosα=3【变式2】已知sinα=33，α是锐角，则【变式3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=45，则题型06特殊角三角函数值的混合运算【典例6】计算(1)2(2)1【变式1】计算：−12【变式2】计算下列各式：(1)3cos(2)tan45°−2【变式3】计算：−题型07三角函数的综合【典例7】阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．求证：asin证明：过点C作CD⊥AB于点D．∵sinA=CD∴CD=bsinA，∴bsinA=asin根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．求证：bsin(2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=160米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin(3)你能直接写出图2中△ABC的面积吗？（用a，b，c及角的锐角三角比表示）【变式1】如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=35【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D．（1）若AC=3,AB=5，求tan∠BCD（2）若BD=1,AD=3，求tan∠BCD【变式3】如图，在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，D是边AC上一点，且tan∠DBC=

（1）试求sinC（2）试求ΔBCD的面积.一、单选题1．如图，在△ABC中，若∠C=90°，则（

A．sinA=ac B．sinA=bc2．sin30°的值是（

A．1 B．33 C．12 3．计算6tan45°−2cosA．3 B．4 C．5 D．64．若∠α的余角是30°，则cosα的值是（

A．12 B．32 C．225．在△ABC中，A、B都是锐角，sinA=32，tanA．∠A=30° B．∠B=30°C．△ABC是等边三角形 D．△ABC是直角三角形6．tan60°+2cos30°A．3 B．3−1 C．3237．如图，△AOB绕点O逆时针旋转40°后得到△DOE．若点A恰好落在边DE上，且∠BOD=105°，则cosB的值是（

A．12 B．22 C．32二、填空题8．计算：